Arytmetyczne własności różniczki

Stwierdzenie [różniczka sumy funkcji] Jeśli $ f,g\colon \R^n\supset\Omega\to\R^m $ są różniczkowalne w punkcie $ \aa\in\Omega $, to funkcja $ f+g\colon\Omega\to\R^m $ jest różniczkowalna w $ \aa $ i zachodzi wzór

\[ D(f+g)(\aa)=Df(\aa)+Dg(\aa)\, . \]
Dowód: Stosujemy Stwierdzenie [link]. Wzory [link] dla funkcji $ f,g $ dodajemy stronami; ponieważ $ o(\|\hh\|)+o(\|\hh\|)=o(\|\hh\|) $, więc uzyskujemy warunek (ii) Stwierdzenia [link] dla funkcji $ f+g $. Szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi jako proste ćwiczenie. □

Uogólnimy teraz wzór $ (fg)'=f'g +fg' $ na przypadek wielowymiarowy. Okazuje się, że jeśli można zdefiniować `iloczyn' przekształceń różniczkowalnych $ f $, $ g $ (to może być np. iloczyn funkcji o wartościach w $ \R $ i $ \R^m $, albo iloczyn skalarny wektorów z $ \R^m $, albo iloczyn wektorowy wektorów z $ \R^3 $, albo iloczyn macierzy o odpowiednich rozmiarach, gdy wartości $ f,g $ są macierzami itp.), to ów iloczyn jest różniczkowalny, a jego pochodną oblicza się podobnie, jak dla funkcji z $ \R $ w $ \R $.

Twierdzenie [różniczka `iloczynu'](#) Jeśli $ f\colon \R^n\supset\Omega\to\R^m $ i $ g\colon \R^n\supset\Omega\to\R^k $ są różniczkowalne w punkcie $ \aa\in\Omega $, a przekształcenie

\[ B\colon \R^m\times\R^k\ni (\xx,\yy)\mapsto B[\xx,\yy]\in\R^l \]

jest dwuliniowe (Oznaczenie $ B[f,g] $ Czytelnik może zastąpić przez $ f\cdot g $ - wtedy analogia z przypadkiem jednowymiarowym będzie widoczna jak na dłoni.), to wówczas funkcja

\[ B[f,g]\colon \R^n\supset \Omega\ni \xx\mapsto B[f(\xx),g(\xx)]\in \R^l \]

jest różniczkowalna w punkcie $ \aa\in \Omega $ i zachodzi równość

\[ \begin{equation} \label{dwulin} DB[f,g](\aa)\hh=B[Df(\aa)\hh, g(\aa)] + B[f(\aa),Dg(\aa)\hh] \qquad\mbox{dla wszystkich $\hh\in\R^n$.} \end{equation} \]
Uwaga Nie zakładamy, że $ B[f,g]=B[g,f] $ (bo np. mnożenie macierzy nie jest działaniem przemiennym). Dlatego we wzorze dwulin nie wolno zamieniać kolejności argumentów $ B $ w składnikach prawej strony.

    Dowód Twierdzenia [link] Wobec Stwierdzenia [link],

\[ \begin{eqnarray} f(\aa+\hh)-f(\aa) & =& Df(\aa)\hh + R_f(\hh)\, , \label{df}\\ g(\aa+\hh)-g(\aa) & =& D g(\aa)\hh + R_g(\hh)\, , \label{dg} \end{eqnarray} \]

gdzie $ \|R_f(\hh)\|=\|R_g(\hh)\|=o(\|\hh\|) $ dla $ \hh\to \zero $. %

\[ \begin{equation} %\label{oreszty} %\|R_f(\hh)\|=\|R_g(\hh)\|=o(\|\hh\|) \qquad\mbox{dla $\hh\to %\zero$.} %\end{equation} \]

Ustalmy zatem liczbę $ \delta>0 $ tak, aby dla wszystkich $ \|\hh\|<\delta $ mieć

\[ \begin{equation} \label{malereszty} \|R_f(\hh)\|+\|R_g(\hh)\|<\|\hh\|. \end{equation} \]

Korzystając z dwuliniowości $ B $, piszemy

\[ \begin{eqnarray*} \lefteqn{ B[f(\aa+\hh),g(\aa+\hh)]-B[f(\aa),g(\aa)] }\\ &=& B[f(\aa+\hh),g(\aa+\hh)]-B[f(\aa),g(\aa+\hh)]\\ & & {}+B[f(\aa),g(\aa+\hh)]-B[f(\aa),g(\aa)] \\ & = & B[f(\aa+\hh)-f(\aa),g(\aa+\hh)] + B[f(\aa),g(\aa+\hh)-g(\aa)] \\ & = & B[f(\aa+\hh)-f(\aa),g(\aa)] + B[f(\aa),g(\aa+\hh)-g(\aa)] \\ & &{} + B[f(\aa+\hh)-f(\aa),g(\aa+\hh)-g(\aa)] \ \stackrel{\text{ozn.}}=\ S_1 + S_2 + S_3\, . \end{eqnarray*} \]

Do prawej strony wstawiamy teraz równości df i dg. Składnik

\[ S_1= B[f(\aa+\hh)-f(\aa),g(\aa)] = B[Df(\aa)\hh, g(\aa)] + B[R_f(\hh),g(\aa)], \]

gdzie $ B[R_f(\hh),g(\aa)]=o(\|\hh\|) $ dla $ \hh\to 0 $ (to łatwo wynika z dwuliniowości $ B $). Podobnie,

\[ S_2= B[f(\aa), Dg(\aa)\hh] + B[f(\aa),R_g(\hh)] = B[f(\aa), Dg(\aa)\hh] + o(\|\hh\|)\, , \qquad \hh\to \zero. \]

Dlatego suma $ S_1+S_2 $ daje prawą stronę wzoru dwulin z tezy, z błędem $ o(\|\hh\|) $. Wreszcie, składnik $ S_3=o(\|\hh\|) $ dla $ \hh\to\zero $. Istotnie, każde przekształcenie dwuliniowe $ B $ spełnia nierówność

\[ \bigl\|B[\xx,\yy] \bigr\|\le C\|\xx\|\, \cdot \|\yy\| \]

z pewną stałą $ C $ zależną od $ B $. (Czytelnik może to udowodnić samodzielnie, naśladując dowód Stwierdzenia [link] Dlatego

\[ \begin{eqnarray*} \|S_3\|& \le &C\|Df(\aa)\hh+R_f(\hh)\|\cdot \|Dg(\aa)\hh+R_g(\hh)\| \\ & \le & C\cdot M^2\|\hh\|^2 \qquad\mbox{dla $\|\hh\|<\delta$,} \end{eqnarray*} \]

gdzie, wobec oszacowania malereszty, można wziąć np. stałą $ M=\|Df(\aa)\|+\|Dg(\aa)\|+1 $. Ostatecznie więc

\[ \begin{multline*} B[f(\aa+\hh),g(\aa+\hh)]-B[f(\aa),g(\aa)]=\\ =S_1+S_2+S_3=\text{prawa strona wzoru \eqref{dwulin}} + o(\|\hh\|) \qquad\mbox{dla $\hh\to\zero$.} \end{multline*} \]

Wobec Stwierdzenia [link], dowód jest zakończony.□

Twierdzenie [różniczka złożenia funkcji](#) Niech $ \Omega_1\subset \R^n $ i $ \Omega_2\subset\R^m $ będą zbiorami otwartymi. Jeśli $ f\colon \Omega_1\to \R^m $ jest różniczkowalne w punkcie $ \aa\in \Omega_1 $, a $ \Omega_2\supset f(\Omega_1) $ i$ g\colon \Omega_2\to \R^k $ jest różniczkowalne w punkcie $ \bb=f(\aa) $, to złożenie $ g\circ f $ jest różniczkowalne w punkcie $ \aa $ i zachodzi wzór

\[ \begin{equation} D(g\circ f)(\aa)= Dg(\bb)\circ Df(\aa)= Dg\bigl(f(\aa)\bigr) \circ Df(\aa)\, . \end{equation} \]
Dowód: Wobec Stwierdzenia [link],

\[ \begin{eqnarray} f(\aa+\hh)-f(\aa) & =& Df(\aa)\hh + R_f(\hh)\, , \label{df-2}\\ g(\bb+\ww)-g(\bb) & =& D g(\bb)\ww + R_g(\ww)\, , \label{dg-2} \end{eqnarray} \]

gdzie $ \|R_f(\hh)\|=o(\|\hh\|) $ dla $ \hh\to \zero $ i $ \|R_g(\ww)\|=o(\|\ww\|) $ dla $ \ww\to \zero $. Do dg-2 podstawmy $ \bb=f(\aa) $ oraz $ \ww=\ww(\hh)= f(\aa+\hh)-f(\aa) $. Korzystając z df-2, otrzymujemy

\[ \begin{eqnarray} g\circ f(\aa+\hh)-g\circ f(\aa) &= & g(\bb+\ww)-g(\bb)\nonumber \\ & = & D g(\bb)\ww + R_g(\ww)\nonumber \\ & = & Dg (\bb)\bigl(Df(\aa)\hh + R_f(\hh)\bigr) + R_g(\ww) \nonumber \\ & = & \bigl[Dg (\bb)\circ Df(\aa)\bigr] \hh + R, \label{DgDf} \end{eqnarray} \]

gdzie reszta

\[ R =Dg (\bb)\bigl(R_f(\hh)\bigr) + R_g(\ww)\, . \]

Niech $ M=\|Dg(\bb)\|+\|Df(\aa)\|+1 $. Dla małych $ \|\hh\| $ jest $ \|R_f(\hh)\|< \|\hh\| $ i dlatego

\[ \|\ww\|=\|Df(\aa)\hh + R_f(\hh)\|\le \|Df(\aa)\|\cdot \|\hh\| + \|R_f(\hh)\|\le M\|\hh\|\, . \]

Zatem $ \ww=\ww(\hh)\to\zero $, gdy $ \hh\to \zero $ i mamy

\[ \begin{eqnarray*} \frac{\|R\|}{\|\hh\|} &\le & \frac{M \|R_f(\hh)\|+\|R_g(\ww)\|} {\|\hh\|} \\ & = & M \frac{\|R_f(\hh)\|} {\|\hh\|} + \frac{\|\ww\|}{\|\hh\|}\cdot \frac{\|R_g(\ww)\|} {\|\ww\|}\\ & \le & M \biggl(\frac{\|R_f(\hh)\|} {\|\hh\|} + \frac{\|R_g(\ww)\|} {\|\ww\|}\biggr) \longrightarrow 0 \quad \mbox{dla }\hh\to \zero, \end{eqnarray*} \]

tzn. $ R=o(\|\hh\|) $ dla $ \hh\to \zero $. Wobec równości DgDf i Stwierdzenia [link], zachodzi równość $ D(g\circ f)(\aa)=Dg(\bb)\circ Df(\aa) $.□

Uwaga Zgodnie z definicją różniczka $ D(g\circ f)(\aa) $ złożenia $ g\circ f\colon \R^n\supset \Omega_1\to \R^k $ powinna być przekształceniem liniowym z $ \R^n $ w $ \R^k $. Istotnie tak jest: $ Df(\aa)\colon \R^n\to \R^m $ i$ Dg(\bb)\colon \R^m\to \R^k $, więc ich złożenie jest przekształceniem liniowym z $ \R^n $ w $ \R^k $. Twierdzenie [link] ma następującą interpretację: macierz Jacobiego różniczki przekształcenia $ g\circ f $ jest iloczynem macierzy Jacobiego przekształceń $ g $ i $ f $, wziętych w odpowiednich punktach. Z wieloma zastosowaniami tej interpretacji Czytelnik spotka się wkonkretnych przykładach.