Miara powierzchniowa na rozmaitościach zanurzonych

W tym rozdziale zajmiemy się definicją tzw. miary powierzchniowej na $ m $-wymiarowej rozmaitości zanurzonej $ M\subset \R^n $ oraz opisem własności tej miary. Definicję wprowadzimy tak, aby dla $ m=1 $ otrzymać długość krzywej, a dla $ m=2 $ - pojęcie pola powierzchni gładkiej, odpowiadające naturalnym intuicjom.

Czytelnik pamięta zapewne, że na I roku studiów określiliśmy długość krzywej jako kres górny długości łamanych wpisanych w tę krzywą. Pomysł, stojący za definicją miary powierzchniowej, jest w istocie podobny. Zaczniemy jednak od przykładu, który świadczy o tym, że definiowanie pola powierzchni gładkiej wiąże się z pewnymi trudnościami.

Przykład [chińska latarnia H. A. Schwarza, 1880] Dla danych liczb naturalnych $ m,n>1 $ opiszemy powierzchnię wielościenną $ L_{m,n} $, złożoną z $ 2mn $ przystających trójkątów równoramiennych o wierzchołkach położonych na powierzchni bocznej walca obrotowego o promieniu podstawy $ r=1 $ i wysokości $ h=1 $. Poprowadźmy $ n+1 $ płaszczyzn poziomych $ \pi_0,\pi_2,\ldots,\pi_n $; pierwsza z nich zawiera dolną podstawę walca, ostatnia - górną podstawę, a odległość sąsiednich płaszczyzn jest równa $ 1/n $. Płaszczyzny te przecinają powierzchnię boczną walca wzdłuż $ n+1 $ okręgów. Na każdym okręgu ustalamy $ m $ punktów, stanowiących wierzchołki $ m $-kąta foremnego; robimy to tak, aby punkty na $ (j+1) $-szym okręgu leżały nad środkami łuków, wyznaczonych przez punkty na $ j $-tym okręgu. (Czytelnik, dbający o pełną formalną ścisłość, może opisać współrzędne tych punktów w $ \R^3 $. Rzeczą bardziej pouczającą jest jednak samodzielnie wykonanie kilku rysunków.) Liczba wszystkich punktów wynosi $ (n+1)\cdot m $. Powierzchnia $ L_{m,n} $ jest sumą wszystkich trójkątów, których podstawa łączy dwa sąsiednie punkty na tym samym okręgu, a trzeci wierzchołek znajduje się na sąsiednim okręgu, nad lub pod środkiem łuku wyznaczonego przez końce podstawy. Otrzymujemy w ten sposób $ 2m $ trójkątów między każdą parą sąsiednich okręgów. Razem trójkątów jest $ 2mn $. Rozwiązując dwa łatwe zadania z geometrii płaskiej, sprawdzamy, że każdy z tych trójkątów ma podstawę $ a_{m,n} $ i wysokość $ h_{m,n} $ dane wzorami

\[ 	a_{m,n}=2\sin \frac \pi m\, ,\qquad h_{m,n}=\sqrt{\frac 1{n^2} + \Big(1-\cos\frac \pi m\Big)^2}=\sqrt{\frac 1{n^2}+4\sin^4\frac{\pi}{2m}} 	\]

Dlatego pole $ P_{m,n} $ chińskiej latarni $ L_{m,n} $ wynosi

\[ \begin{align*} P_{m,n}&=2mn\cdot \frac{a_{m,n}h_{m,n}}2   =2mn \sin \frac \pi m\,\sqrt{\frac 1{n^2}+4\sin^4\frac{\pi}{2m}}\\ &=2\pi \cdot \frac{\sin (\pi /m)}{\pi / m}\cdot \sqrt{ 1+4n^2\sin^4\frac{\pi}{2m}}\, . \end{align*} \]

Nietrudno zauważyć, że granica podwójna $ \lim_{m,n\to\infty} P_{m,n} $ nie istnieje, z uwagi na zachowanie czynnika pod pierwiastkiem kwadratowym. Dla $ m=n\to\infty $ otrzymujemy $ P_{n,n}\to 2\pi $. Jednak np. dla $ n=2m^2 $ jest

\[ \lim_{m\to\infty}P_{m,2m^2}=2\pi \lim_{m\to\infty} \frac{\sin (\pi /m)}{\pi / m}\cdot \sqrt{ 1+16 m^4\sin^4\frac{\pi}{2m}}=2\pi\sqrt{1+\pi^4}\, . \]

Łatwo wskazać takie ciągi $ n_j,m_j\to\infty $, dla których $ P_{m_j,n_j}\to 2\pi \cdot A $, gdzie $ A\ge 1 $ jest z góry zadaną liczbą (zainteresowany Czytelnik zrobi to bez trudu sam). Wreszcie, $ P_{m,m^3}\to\infty $ dla $ m\to \infty $.

Widać więc, że wynik przybliżania powierzchni bocznej walca za pomocą trójkątów o bokach o coraz mniejszej długości zależy nie tylko od liczby tych trójkątów, ale i od proporcji ich boków. Różne wyniki uzyskuje się dlatego, że dla $ n\gg m $ kąt między płaszczyzną trójkąta i powierzchnią walca jest oddzielony od zera. □

Definicja miary powierzchniowej

Wyznacznik Grama. Intuicje geometryczne.

Przypomnijmy, że wyznacznikiem Grama wektorów $ \ww_1,\ldots,\ww_m\in \R^n $ nazywamy liczbę

\[ \begin{equation} 	\label{gram} G(\ww_1,\ww_2,\ldots,\ww_m)=\det \Big(\langle \ww_i,\ww_j\rangle\Big)_{i,j=1,\ldots,m}\, . \end{equation} \]

Na wykładach Geometrii z Algebrą Liniową dowodzi się następujących własności wyznacznika Grama:

  1. $ G(\ww_1,\ww_2,\ldots,\ww_m)=0 $, gdy wektory $ \ww_1,\ldots,\ww_m\in \R^n $ są liniowo zależne.
  2. Zachodzi wzór
    $$G(\ww_1,\ww_2,\ldots,\ww_m)=h^2\cdot G(\ww_2,\ldots,\ww_m),$$

    gdzie $ h=\dist(\ww_1,\text{span}\, (\ww_2,\ldots,\ww_m)) $ jest długością rzutu prostopadłego wektora $ \ww_1 $ na podprzestrzeń $ \R^n $ prostopadłą do $ \text{span}\, (\ww_2,\ldots,\ww_m) $. W szczególności,

    \[ \begin{multline}  		\label{gramwys} 		G(\ww_1,\ww_2,\ldots,\ww_m)= 		\|\ww_1\|^2\cdot G(\ww_2,\ldots,\ww_m),\\ \qquad\mbox{gdy wektor $\ww_1\perp \ww_j$ dla $j=2,\ldots,m$.} 	\end{multline} \]

Ponadto, wprost z definicji wyznacznika Grama i definicji iloczynu dwóch macierzy wynika, że dla $ m=n $ liczba $ G(\ww_1,\ww_2,\ldots,\ww_n) $ jest równa kwadratowi wyznacznika macierzy o kolumnach $ \ww_i $, a więc kwadratowi $ n $-wymiarowej miary Lebesgue'a równoległościanu rozpiętego na wektorach $ \ww_i $.

Posługując się wzorem gramwys i definicją, nietrudno zauważyć, że dla $ m=2 $ i $ n=3 $ liczba $ G(\ww_1,\ww_2) $ jest kwadratem pola równoległoboku rozpiętego na wektorach $ \ww_1,\ww_2\subset \R^3 $. Przyjmuje się, że $ m $-wymiarowa objętość równoległościanu, rozpiętego na wektorach $ \ww_1,\ldots,\ww_m\in \R^n $, jest równa pierwiastkowi z wyznacznika Grama tych wektorów. Z powyższych uwag wynika, że jest to interpretacja naturalna i sensowna.

\subsection*{Intuicje geometryczne}

Opiszemy teraz intuicję, kryjącą się za definicją $ m $-wymiarowej miary powierzchniowej na rozmaitości $ M\subset \R^n $. Przypuśćmy, że dla pewnego zbioru otwartego $ U\subset \R^n $ część wspólna $ U\cap M $ jest równa $ \Psi(V) $, gdzie $ V $ jest zbiorem otwartym w $ \R^m $. Zakładamy, że przekształcenie

\[ \Psi \colon \R^m\supset V\to \Psi(V)=M\cap U\subset \R^n \]

jest homeomorfizmem na obraz, klasy $ C^1 $, a jego różniczka $ D\Psi(\xx) $ ma maksymalny rząd $ m $ (tzn. jest monomorfizmem liniowym) w każdym punkcie $ \xx\in V $.

Parametryzacja fragmentu rozmaitości dwuwymiarowej; obrazy małych kwadratów w dziedzinie $ V $ parametryzacji $ \Psi $ są krzywoliniowymi czworokątami na powierzchni $ M $.

Dla uproszczenia pomyślmy najpierw o przypadku $ m=2 $, $ n=3 $; przekształcenie $ \Psi $ określa wtedy, jak należy umieścić (płaski, dwuwymiarowy) zbiór $ V $ jako (pozbawioną zagięć i sklejeń) powyginaną powierzchnię w trójwymiarowej przestrzeni. (Z taką sytuacją spotkał się już Czytelnik np. w Przykładzie . Obcinając to przekształcenie do kwadratu $ (0,2\pi)^2 $, otrzymamy parametryzację torusa z usuniętymi dwoma okręgami. " title="przyklad:obmotki), gdzie opisywaliśmy powierzchnię torusa obrotowego jako obraz pewnego przekształcenia $ F\colon \R^2\to\R^3 $. Obcinając to przekształcenie do kwadratu $ (0,2\pi)^2 $, otrzymamy parametryzację torusa z usuniętymi dwoma okręgami. " class="ext">[link] Obrazami kwadracików w dziedzinie $ V $ są krzywoliniowe czworokąty na powierzchni $ M\cap U $. Jeśli $ K\subset V $ jest małym kwadratem o wierzchołku $ \xx\in V $ i bokach równoległych do osi układu współrzędnych, to obraz $ \Psi(K) $ jest - niemalże, z bardzo dobrym przybliżeniem! - równoległobokiem zawartym w (afinicznej) płaszczyźnie stycznej do $ M $, o bokach równoległych do wektorów $ D\Psi(\xx)\ee_1 $ i $ D\Psi(\xx)\ee_2 $, gdzie $ \ee_i $ oznaczają wektory standardowej bazy w $ \R^2 $. Zatem

\[ \text{Pole}\, \big(\Psi (K)\big) \approx\text{pole równoległoboku} =  \sqrt{\det \Big(D\Psi(\xx)^T D\Psi(\xx)\Big)}\cdot \lambda_2(K)\, . \]

Proszę zauważyć, że przekształcenie liniowe $ D\Psi(\xx)\colon \R^2\to\R^3 $ przeprowadza kwadrat jednostkowy $ [0,1]^2\subset \R^2 $ na równoległobok rozpięty na wektorach $ \ww_1=D\Psi(\xx)\ee_1 $ i $ \ww_2 = D\Psi(\xx)\ee_2 $; kwadrat pola tego równoległoboku jest równy wyznacznikowi Grama $ G(\ww_1,\ww_2)=\det (D\Psi(\xx)^TD\Psi(\xx)) $, gdyż elementy macierzy $ D\Psi(\xx)^TD\Psi(\xx) $ to właśnie iloczyny skalarne wektorów $ \ww_1=D\Psi(\xx)\ee_1 $ i $ \ww_2 = D\Psi(\xx)\ee_2 $.

Dlatego jest rzeczą naturalną przyjąć, dla $ m=2 $ i $ n=3 $ oraz zbiorów mierzalnych $ A\subset V\subset \R^2 $, definicję

\[ \begin{equation} 	\label{sigmadwa} 	\sigma_2(\Psi(A))=\int_A \sqrt{\det \Big(D\Psi(\xx)^T D\Psi(\xx)\Big)}\,\,\, d\lambda_2(\xx)\, ; \end{equation} \]

symbol $ \sigma_2 $ oznacza tu dwuwymiarową miarę powierzchniową na rozmaitości $ M\subset \R^3 $, parametryzowanej przez odwzorowanie $ \Psi $.

W ogólnym przypadku, dla $ 1\le m\le n $, postępuje się podobnie, przyjmując, że dla $ M\cap U=\Psi(V) $, gdzie parametryzacja $ \Psi $ jest różnowartościowa i jej różniczka ma rząd $ m $, miara powierzchniowa $ \sigma_m $ podzbiorów $ M\cap U $ określona jest wzorem

\[ \begin{equation} 	\label{sigma-m} 	\sigma_m(\Psi(A))=\int_A \sqrt{\det \Big(D\Psi(\xx)^T D\Psi(\xx)\Big)}\,\,\, d\lambda_m(\xx)\, \qquad\mbox{dla $A\subset V\subset \R^m$, $A\in \Leb(\R^m)$.} \end{equation} \]

Sens powyższego wzoru jest następujący. W małej skali przekształcenie klasy $ C^1 $ jest z dobrym przybliżeniem liniowe. Dlatego miarę gładkiej, $ m $-wymiarowej powierzchni przybliżamy za pomocą sumy $ m $-wymiarowych objętości równoległościanów, będących obrazami (pod działaniem różniczki parametryzacji) małych, $ m $-wymiarowych kostek, zawartych w dziedzinie przekształcenia.

Cały powyższy opis należy jednak traktować wyłącznie jako pewną intuicję. Nie znamy na razie odpowiedzi na następujące pytania:

  1. Czy każdy zbiór $ M\subset \R^n $, dopuszczający (lokalnie) podany wyżej opis parametryczny, rzeczywiście jest rozmaitością?
  2. Czy definicja miary $ \sigma_m $ na $ M\cap U $ nie zależy od wyboru parametryzacji $ \Psi $? Jak postąpić, gdy rozmaitość $ M $ jest sumą wielu części $ M\cap U_i $, opisanych za pomocą różnych parametryzacji $ \Psi_i\colon V_i\to M\cap U_i\subset \R^n $?

W kolejnym podrozdziałach (patrz [link] i [link] niżej) przekonamy się, że wzory sigmadwa- sigma-m istotnie nie zależą od wyboru parametryzacji $ \Psi\colon V\to M\cap U $. Zanim jednak przejdziemy do ogólnych, abstrakcyjnych rozważań, poczyńmy dwie uwagi, które ułatwiają obliczanie pola gładkich powierzchni w $ \R^3 $.

Uwaga Niech $ m=2 $, $ n=3 $ i $ \Psi(\xx)=(\xx,f(\xx)) $, gdzie $ f\colon \R^2\supset V\to \R $ jest funkcją klasy $ C^1 $. Rozmaitość (powierzchnia) $ M=\Psi(V) $ jest wtedy wykresem funkcji $ f $. Mamy

\[ D\Psi^T D\Psi =\begin{pmatrix} 1 & 0 & f_{x_1}\\[3pt] 0 & 1 & f_{x_2} \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 	1 & 0 \\ 	0 & 1 \\ 	f_{x_1} & f_{x_2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+f_{x_1}^2 & f_{x_1}f_{x_2}\\[4pt] f_{x_1}f_{x_2} & 1+f_{x_2}^2 \end{pmatrix} \]

i dlatego

\[ \begin{equation} 	\label{wykresdwa} 	\sqrt{\det \Big(D\Psi(\xx)^T D\Psi(\xx)\Big)}= \sqrt{1+f_{x_1}^2(\xx)+f_{x_2}^2(\xx)}\, . \end{equation} \]
Zadanie [tożsamość Lagrange'a] Niech $ M $ będzie macierzą o trzech wierszach i dwóch kolumnach. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że

\[ \begin{equation} 	\det (M^TM)= A^2+B^2+C^2, \end{equation} \]

gdzie $ A $, $ B $ i $ C $ oznaczają minory $ 2\times 2 $ macierzy $ M $. Ogólniej, dla dowolnych wektorów $ \uu,\vv \in \R^n $ zachodzi równość

\[ \|\uu\|^2\cdot \|\vv\|^2- \langle\uu,\vv\rangle^2 = \sum_{1\le i<j\le n} (u_iv_j-v_iu_j)^2\, . \]

Przykład [pole sfery] Niech $ M=\{(x,y,z)\in \S^2\colon z>0\} $ będzie połówką sfery jednostkowej. Wtedy $ M $ jest wykresem funkcji

\[ 	f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}, \qquad x^2+y^2<1 	\]

Łatwo obliczamy

\[ f_x=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\, , \qquad f_y=\frac{-y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\, , \qquad \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\, . \]

Dlatego, posługując się wzorem sigmadwa i równością wykresdwa, a następnie przechodząc do całkowania we współrzędnych biegunowych (jak wtedy, gdy korzystając z twierdzenia Fubiniego i twierdzenia o zamianie zmiennych obliczaliśmy całkę $ \int_\R e^{-x^2}\, dx $), otrzymujemy

\[ \begin{align*} \sigma_2(M)&=\int_{\{(x,y)\colon x^2+y^2<1\}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\, d\lambda_2(x,y)\\ & = \int_0^{2\pi}\biggl(\int_0^1 \frac{r\, dr}{\sqrt{1-r^2}}\biggr)\, d\theta= 2\pi \cdot \Big(-\sqrt{1-r^2}\Big)\bigg|_{r=0}^{r=1}=2\pi. \end{align*} \]

Wynik, jak widać, jest zgodny z oczekiwaniami. □

Przejdziemy teraz do uściślenia wszystkiego, co zostało powiedziane wyżej.

Parametryczny opis rozmaitości zanurzonych

(#)

W podrozdziale [link] definiowaliśmy $ m $-wymiarowe rozmaitości zanurzone w $ \R^k $ jako zbiory, które lokalnie, w otoczeniu każdego ze swoich punktów, są wykresami $ k-m $ pewnego układu funkcji $ m $ zmiennych. Do definiowania miary powierzchniowej i jej obliczania przyda się nam równoważny, tzw. parametryczny opis takich rozmaitości.

Definicja Niech $ 1\le m < n $ i niech $ V\subset \R^m $ będzie zbiorem otwartym. Będziemy mówić, że przekształcenie

\[ 	\Psi\colon \R^m\supset V\to \R^n 	\]

jest parametryzacją klasy $ C^k $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \Psi\in C^k(V,\R^n) $ jest homeomorfizmem na obraz, a ponadto przekształcenie przekształcenie $ D\Psi(\xx) $ jest włożeniem liniowym (monomorfizmem) dla każdego $ \xx\in V $.

Twierdzenie Niech $ M\subset \R^n $ i niech $ \pp\in M $ będzie ustalonym punktem. Następujące warunki są równoważne:

  1. Istnieje kula $ B(\pp,r) $ w $ \R^{n} $ taka, że $ M\cap B(\pp,r) $ jest wykresem pewnej funkcji $ m $ zmiennych klasy $ C^k $, tzn. istnieje $ m $-wymiarowa podprzestrzeń liniowa
    $$P=\text{span}\, (\ee_{i_1},\ldots,\ee_{i_m})\subset \R^{m},$$

    zbiór $ \Omega $ otwarty w $ P $ i funkcja $ \varphi\in C^k(P,P^\perp) $ takie, że

    \[ 			M\cap B(\pp, r)= \text{wykres}\, \varphi \cap B(\pp,r), 			\]

    gdzie

    \[ 		\text{wykres}\, \varphi=\{(\xx,\yy)\in \R^{n}= P\oplus P^\perp\colon \xx\in \Omega, \ \yy=\varphi (\xx)\}\, . 		\]
  2. Punkt $ \pp $ ma takie otoczenie otwarte $ U\subset \R^n $, że $ M\cap U=\Psi(V) $ dla pewnej parametryzacji $ \Psi\in C^k $, $ \Psi\colon \R^m\supset V\to \R^n $.

(#)

Pierwszy warunek powyższego twierdzenia pojawił się, dla $ k=1 $, w definicji rozmaitości zanurzonej klasy $ C^1 $ (patrz podrozdział [link]).

Dowód: Z pierwszego warunku wynika oczywiście drugi. Jeśli $ M\cap B(\pp, r) $ jest wykresem funkcji $ \varphi\colon \R^m\cong P\to \R^{n-m}\cong P^\perp $, to wówczas przekształcenie

\[ \Psi\colon \R^m \ni \xx\longmapsto \big(\xx,\varphi(\xx))\in P\oplus P^\perp \cong \R^n \]

jest parametryzacją, tej samej klasy gładkości, co $ \varphi $. Nietrudno sprawdzić, że $ \Psi $ jest homeomorfizmem na obraz. Wreszcie, macierz różniczki $ \Psi $, która ma $ n $ wierszy i $ m $ kolumn, zawiera - w górnych wierszach - klatkę, która jest macierzą identycznościową $ m\times m $. Dlatego rząd $ D\Psi(\xx) $ jest maksymalny dla każdego $ \xx $.

Wykażemy, że drugi warunek pociąga za sobą pierwszy. Niech $ M\cap U=\Psi(V) $ dla pewnej parametryzacji $ \Psi $ klasy $ C^k $ i niech $ \Psi(\aa)=\pp $. Z definicji, pewien minor $ m\times m $ macierzy $ D\Psi(\aa) $ nie znika; to oznacza, że dla pewnych $ 1\le i_1< \cdots < i_m \le n $ przekształcenie

\[ f=(\Psi_{i_1},\Psi_{i_2},\ldots,\Psi_{i_m})\colon V\to \R^m \]

spełnia w punkcie $ \aa\in V $ założenia Twierdzenia [link] o funkcji odwrotnej. Zatem, $ f $ jest dyfeomorfizmem klasy $ C^k $ (patrz Uwaga [link]) pewnego otoczenia $ V_1 $ punktu $ \aa $ na otoczenie otwarte $ V_2 $ punktu $ f(\aa) $.

Oznaczmy teraz $ P= \text{span}\, (\ee_{i_1},\ldots,\ee_{i_m}) $ (dla numerów $ i_k $, użytych w definicji $ f $); płaszczyzna $ P $ zawiera obraz $ V_2 $ dyfeomorfizmu $ f $. Płaszczyzna $ P^\perp $ jest wówczas rozpięta na pozostałych $ n-m $ wektorach standardowej bazy; oznaczmy je $ \ee_{j_1},\ldots,\ee_{j_{n-m}} $. Niech $ \pi_1 $ oznacza rzut prostopadły na $ P $, zaś $ \pi_2=\mathrm{Id}_{\R^n}-\pi_1 $ - rzut prostopadły na $ P^\perp $.

Nietrudno teraz wskazać funkcję $ \varphi\colon P\to P^\perp $, której wykres pokrywa się ze zbiorem $ M $ w otoczeniu punktu $ \pp $. Połóżmy mianowicie

\[ \varphi\colon=\pi_2\circ \Psi\circ f^{-1} \colon \R^m\cong P\supset V_2\to P^\perp \cong \R^{n-m}\, . \]

Zauważmy, że dla każdego $ \yy=(y_{i_1},y_{i_2},\ldots,y_{i_m})\in V_2\subset P $ jest $ (\Psi\circ f^{-1})_{i_s}(\yy)=y_{i_s} $; to wynika wprost z określenia $ f $. Innymi słowy, $ \pi_1\circ \Psi\circ f^{-1} $ jest identycznością na $ V_2 $. Dlatego wykres $ \varphi $ to zbiór punktów $ (\xx,\varphi(\xx)) $, gdzie

\[ \begin{gather*} P\supset	V_2\ni \xx =  \pi_1\circ \Psi\circ f^{-1} (\xx)\, ,\\ P^\perp \ni \varphi(\xx)= \pi_2\circ \Psi\circ f^{-1} (\xx)\, . \end{gather*} \]

Innymi słowy,

\[ \begin{equation} 	\label{paramwykres} 	(\xx,\varphi(\xx))=\Psi\circ f^{-1} (\xx), \qquad \xx\in V_2, \end{equation} \]

więc (w małym otoczeniu punktu $ \pp $) wykres funkcji $ \varphi $ jest tym samym, co obraz przekształcenia $ \Psi $. □

Definicja Będziemy mówić, że $ M\subset \R^n $ jest rozmaitością $ m $-wymiarową klasy $ C^k $, jeśli w każdym punkcie $ \pp\in M $ spełniony jest jeden z warunków równoważnych Twierdzenia [link]. Jeśli $ \Psi\colon V\to \Psi(V)=U\cap M $ jest parametryzacją części wspólnej zbioru otwartego $ U $ z rozmaitością $ M $, to przekształcenie $ \Psi^{-1}\colon M\cap U\to V $ nazywa się mapą. Zbiór map, których dziedziny pokrywają rozmaitość $ M $, nazywa się atlasem. (#)
Uwaga [przestrzeń styczna] W Twierdzeniu [link] opisaliśmy przestrzeń styczną do rozmaitości $ M $ w punkcie $ \pp $. Przypomnijmy: jeśli w otoczeniu punktu $ \pp $ rozmaitość $ M $ jest wykresem funkcji $ \varphi\colon \R^m\to\R^{n-m} $, to kładąc $ \Phi(\xx)=(\xx,\varphi(\xx)) $ i przyjmując $ \aa=\Phi^{-1}(\pp)\in \R^m $, otrzymujemy

\[ T_{\mpp} M=\mathrm{Im}\, D\Phi(\aa)\, . \]

Porównując ten wynik ze wzorem paramwykres, wnioskujemy łatwo, że jeśli $ U\cap M=\Psi(V) $, gdzie $ \Psi $ jest jakąkolwiek parametryzacją klasy $ C^k $ i $ \Psi(\aa)=\pp\in M $ dla pewnego $ \aa\in V\subset \R^m $, to wówczas

\[ T_{\mpp} M=\mathrm{Im}\, D\Psi(\aa), \]

gdyż różniczka $ D(f^{-1}) $ dyfeomorfizmu $ f^{-1} $ we wzorze paramwykres jest izomorfizmem liniowym.

Twierdzenie o rzędzie. Poprawność definicji miary $ \sigma_m $.

(#)

Aby wykazać niezależność definicji miary powierzchniowej na rozmaitości $ M $ od wyboru parametryzacji, udowodnimy ważne twierdzenie, opisujące strukturę takich przekształceń klasy $ C^k $, których różniczka ma stały rząd.

Twierdzenie [o rzędzie](#) Załóżmy, że przekształcenie $ \Psi\colon \R^m\supset V\to \R^n $ jest klasy $ C^k $, a jego różniczka $ D\Psi(\xx) $ ma we wszystkich punktach $ \xx $ zbioru $ V $ rząd równy $ r $, gdzie $ r $ jest ustaloną liczbą naturalną. Wówczas dla każdego punktu $ \aa\in V $ istnieją zbiory otwarte $ U_1\ni \aa $ i $ U_2\ni \Psi(\aa) $ oraz dyfeomorfizmy klasy $ C^k $,

\[ 	f_1\colon \R^m\supset U_1\to f_1(U_1)\subset \R^m\, , \qquad f_2\colon \R^n\supset U_2\to f_2(U_2)\supset \R^n\, , 	\]

takie, że

\[ f_2\circ \Psi\circ f_1^{-1}(\xx)=\big(x_1,x_2,\ldots,x_r,\, \underbrace{0,\ldots,0}_{n-r \text{ zer}}\, \big), \qquad \xx=(x_1,\ldots,x_m)\in f_1(U_1)\, . \]
Dowód: Ustalmy $ \aa\in V $. Z założenia, pewien minor $ r\times r $ macierzy $ D\Psi(\aa) $ nie znika. Przenumerowując w razie potrzeby zmienne (w dziedzinie i w obrazie), możemy bez zmniejszenia ogólności przyjąć, że

\[ \det\Bigl(\pcz{\Psi_i}{x_j}(\aa)\Bigr)_{i,j=1,\ldots,r}\not = 0. \]

Połóżmy

\[ f_1(\xx)=(\Psi_1(\xx),\ldots,\Psi_r(\xx),x_{r+1},\ldots, x_m), \xx\in V. \]

Nietrudno sprawdzić, że macierz $ Df_1 $ ma blokową postać

\[ Df_1 = \begin{pmatrix}\Big(\displaystyle\frac{\partial\Psi_i}{\partial x_j}\Big)_{i,j=1,\ldots,r} & \ast \\[15pt] \zero & \mathrm{Id}_{(m-r)\times (m-r)} \end{pmatrix}\, . \]

Dlatego

\[ \det Df_1(\aa)=\det\Bigl(\pcz{\Psi_i}{x_j}(\aa)\Bigr)_{i,j=1,\ldots,r}\not = 0. \]

Wybierzmy otoczenie $ U_1 $ punktu $ \aa $ tak, aby $ f_1 $ było na $ U_1 $ dyfeomorfizmem klasy $ C^k $ na pewien $ m $-wymiarowy przedział otwarty $ f_1(U_1) $. Wprost z określenia $ f_1 $ wynika, że

\[ \Psi\circ f_1^{-1}(\xx)=(x_1,\ldots,x_r,h_{r+1}(\xx),\ldots, h_n(\xx)), \qquad \xx\in f_1(U_1)\, , \]

gdzie $ h_s $ są pewnymi funkcjami klasy $ C^k $. Mamy

\[ D(\Psi\circ f_1^{-1})=D\Psi\circ D(f_1^{-1}), \]

a ponieważ różniczka $ D(f_1^{-1}) $ dyfeomorfizmu $ f_1^{-1} $ jest izomorfizmem liniowym, więc rząd przekształcenia $ D(\Psi\circ f_1^{-1}) $ jest taki sam, jak rząd $ D\Psi $, tzn. równy $ r $. Stąd łatwo wynika, że

\[ \pcz{h_s}{x_t}(\xx)=0 \qquad \mbox{dla $s,t>r$} \]

- w przeciwnym razie rząd macierzy $ D(\Psi\circ f_1^{-1}) $ byłby większy od $ r $. Zatem funkcje $ h_s $ na przedziale $ f_1(U_1) $ zależą tylko od zmiennych $ x_1, \ldots, x_r $. Połóżmy teraz

\[ f_2(x_1,\ldots, x_n)=\big(x_1,\ldots,x_r,x_{r+1}-h_{r+1}(x_1,\ldots,x_r),\ldots, x_n-h_n(x_1,\ldots,x_r)\big). \]

Łatwo sprawdzić, że $ f_2 $ jest dyfeomorfizmem (dyfeomorfizm odwrotny uzyskujemy, zmieniając w powyższym wzorze minusy na plusy!) i że $ f_2\circ \Psi\circ f_1^{-1} $ przeprowadza punkt $ \xx $ w $ (x_1,\ldots, x_r,0,\ldots, 0) $. □

Odnotujmy ważny wniosek z twierdzenia o rzędzie.

Lemat [o funkcjach przejścia] Jeśli $ M\subset \R^n $ jest rozmaitością $ m $-wymiarową, zbiór $ U\subset \R^n $ jest otwarty, a przekształcenia

\[ 	\Psi_i\colon \R^m\supset V_i\to \Psi_i(V_i)=U\cap M\subset \R^n\, , \qquad i=1,2, 	\]

są parametryzacjami klasy $ C^k $, to złożenie $ \Psi_2^{-1}\circ \Psi_1\colon V_1\to V_2 $ jest dyfeomorfizmem klasy $ C^k $ zbiorów otwartych w $ \R^m $.(#)

Dowód: Ustalmy $ \aa\in V_1\subset\R^m $. Z Twierdzenia [link] wynika, że dla pewnych dyfeomorfizmów $ f_1 $, $ f_2 $ równość

\[ f_2\circ \Psi_1\circ f_1^{-1}(\xx)=(x_1,\ldots,x_m,0,\ldots,0) \]

zachodzi w otoczeniu punktu $ f_1(\aa)\in \R^m $. Obraz przekształcenia $ f_2\circ \Psi_1\circ f_1^{-1} $ można utożsamić z $ \R^m $, a samo to przekształcenie -- z identycznością na $ \R^m $, która jest gładka i odwracalna. Zauważmy teraz, że

\[ (f_1)^{-1}\circ \big(f_2\circ \Psi_1\circ f_1^{-1}\big)^{-1}\circ f_2\circ \Psi_2 = \Psi_1^{-1}\circ \Psi_2  \]

jest klasy $ C^k $, bo lewa strona powyższej równości jest złożeniem przekształceń klasy $ C^k $. Zamieniając $ \Psi_1 $ i $ \Psi_2 $ rolami w powyższym rozumowaniu, wnioskujemy, że również $ \Psi_2^{-1}\circ \Psi_1  $ jest klasy $ C^k $. Ponieważ parametryzacje $ \Psi_i $ są homeomorfizmami, więc $ \Psi_2^{-1}\circ \Psi_1  $ (iprzekształcenie doń odwrotne, $ \Psi_1^{-1}\circ \Psi_2 $) jest dyfeomorfizmem. □

Stwierdzenie [niezależność miary powierzchniowej od wyboru parametryzacji] Załóżmy, że $ M\subset \R^n $ jest rozmaitością $ m $-wymiarową klasy $ C^1 $, zbiór $ U\subset \R^n $ jest otwarty, a przekształcenia

\[ 	\Psi_i\colon \R^m\supset V_i\to \Psi_i(V_i)=U\cap M\subset \R^n\, , \qquad i=1,2, 	\]

są parametryzacjami klasy $ C^1 $. Niech $ B=\Psi_1(A_1)=\Psi_2(A_2) $, gdzie $ A_i\subset V_i $ dla $ i=1,2 $, będzie borelowskim podzbiorem $ M $. Wówczas

\[ \int_{A_1} \sqrt{\det \Big(D\Psi_1(\xx)^T D\Psi_1(\xx)\Big)}\,\,\, d\lambda_m(\xx)= \int_{A_2} \sqrt{\det \Big(D\Psi_2(\xx)^T D\Psi_2(\xx)\Big)}\,\,\, d\lambda_m(\xx)\, . \]

(#)

Dowód: Wystarczy skorzystać z tego, że wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych jest iloczynem wyznaczników tych macierzy, a następnie zastosować twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. Oznaczmy $ \Phi=\Psi_1^{-1}\circ \Psi_2 $; z ostatniego lematu wynika, że $ \Phi\colon V_2\to V_1 $ jest dyfeomorfizmem klasy $ C^1 $. Zatem $ \Psi_2(\xx)=\Psi_1(\Phi(\xx)) $; kładąc $ \yy=\Phi(\xx) $, otrzymujemy ze wzoru na różniczkę złożenia

\[ \begin{align*} D\Psi_2(\xx)^T D\Psi_2(\xx)&=\Big(D\Psi_1(\yy)D\Phi(\xx)\Big)^T D\Psi_1(\yy)D\Phi(\xx)\\ &=D\Phi(\xx)^T \cdot \Big(D\Psi_1(\yy)^T D\Psi_1(\yy)\Big)\cdot D\Phi(\xx), \end{align*} \]

stąd zaś i ze wzoru na wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych,

\[ 	\sqrt{\det \Big(D\Psi_2(\xx)^T D\Psi_2(\xx)\Big)} = |\det D\Phi(\xx)|\cdot \sqrt{\det \Big(D\Psi_1(\yy)^T D\Psi_1(\yy)\Big)}\, , \quad \yy=\Phi(\xx). \]

Oznaczając $ f_i=\sqrt{\det(D\Psi_i^T\cdot D\Psi_i)} $, zapisujemy powyższą zależność krótko:

\[ f_2=|\det D\Phi| \cdot (f_1\circ \Phi\big) \qquad\mbox{na zbiorze $V_2$}. \]

Teza wynika natychmiast z Twierdzenia [link] o zamianie zmiennych. □

\subsubsection*{Definicja miary $ \sigma_m $}

Nietrudno teraz podać formalną definicję miary powierzchniowej $ \sigma_m $ na rozmaitości $ m $-wymiarowej $ M\subset\R^n $. Ponieważ topologia przestrzeni $ \R^n $ ma przeliczalną bazę, więc na $ M $ istnieje atlas złożony z co najwyżej przeliczalnie wielu map. Innymi słowy, istnieje co najwyżej przeliczalnie wiele parametryzacji

\[ \Psi_i\colon \R^m\to \Psi_i(V_i)=U_i\cap M\subset \R^n, \qquad\mbox{gdzie}\quad M\subset \bigcup U_i\ , \]

których obrazy pokrywają całą rozmaitość $ M $. Każdy zbiór borelowski $ B\subset M $ można przedstawić jako sumę przeliczalnie wielu zbiorów borelowskich parami rozłącznych $ B_i $, zawartych w dziedzinach poszczególnych map, kładąc

\[ B_1=B\cap U_1, \quad B_2= (B\cap U_2)\setminus U_1, \qquad B_3= (B\cap U_3)\setminus (U_1\cup U_2), \quad \ldots. \]

Niech $ V_i\supset A_i=\Psi_i^{-1}(B_i) $; przyjmujemy

\[ \begin{gather} \sigma_m(B_i)= \int_{A_i} \sqrt{\det \Big(D\Psi_i^T D\Psi_i\Big)}\,\,\, d\lambda_m\, ,\\	 \sigma_m(B)=\sum_{i=1}^\infty\sigma_m(B_i)=\sum_{i=1}^\infty \int_{A_i} \sqrt{\det \Big(D\Psi_i^T D\Psi_i\Big)}\,\,\, d\lambda_m\, . \end{gather} \]

Liczba $ \sigma_m(B) $ nie zależy ani od wyboru poszczególnych parametryzacji $ \Psi_i $, ani od wyboru zbiorów otwartych $ U_i $, pokrywających rozmaitość $ M $. To pierwsze wynika ze Stwierdzenia [link]; druga własność bierze się stąd, że mając dwa otwarte pokrycia przeliczalne $ M $, zbiorami $ U_i $ oraz $ U_i' $, można rozważyć trzecie, drobniejsze od nich obu, pokrycie zbiorami $ U_i\cap U_j' $ (a na każdym $ U_i\cap M $ funkcja $ \sigma_m $ jest miarą).

Uwaga Powyższą miarę $ \sigma_m $, określoną na borelowskich podzbiorach $ M $, można uzupełnić (tak, aby każdy podzbiór zbioru miary $ \sigma_m $ zero był mierzalny!), korzystając z twierdzenia Carath\'{e}dory'ego.

Wzór Cauchy'ego-Bineta. Przykłady

Twierdzenie Cauchy'ego-Bineta jest uogólnieniem tożsamości Lagrange'a. Można dzięki niemu obliczać wyznacznik Grama układu wektorów, nie obliczając iloczynów skalarnych tych wektorów.

Niech $ S= \{i_1,i_2,\ldots i_m\} $, gdzie $ i_1<i_2<\ldots<i_m $, będzie dowolnym $ m $-elementowym podzbiorem $ \{1,2,\ldots,n\} $. Jeśli $ A $ jest macierzą o $ m $ wierszach i $ n $ kolumnach, to przez $ A(S) $ oznaczymy macierz kwadratową $ m\times m $, która powstaje z $ A $ przez wybranie kolumn o numerach $ i_1<i_2<\ldots<i_m $ (należących do zbioru $ S $). Podobnie, jeśli $ B $ jest macierzą o o $ n $ wierszach i $ m $ kolumach, to przez $ B(S) $ oznaczymy macierz kwadratową $ m\times m $, która powstaje z $ B $ przez wybranie wierszy o numerach $ i_1<i_2<\ldots<i_m $.

Twierdzenie [wzór Cauchy'ego-Bineta] Jeśli $ A $ jest macierzą o $ m $ wierszach i $ n $ kolumnach, zaś $ B $ -- macierzą o o $ n $ wierszach i $ m $ kolumach, gdzie $ 1\le m\le n $, to

\[ \begin{equation} 	\label{wzorCB} 	\det AB=\sum_{S=\{i_1,i_2,\ldots i_m\}} \det A(S)\cdot \det B(S)\, . \end{equation} \]
Dowód: Niech $ A=(a_{ij}) $, $ B=(b_{jk}) $, gdzie pierwszy indeks oznacza numer wiersza, a drugi - kolumny. Wówczas

\[ AB=\Big(\sum_j a_{ij}b_{jk}\Big). \]

Innymi słowy, $ k $-ta kolumna macierzy $ AB $ jest kombinacją liniową kolumn macierzy $ A $, ze współczynnikami $ b_{kj} $:

\[  (AB)_{\text{kol. }k}=\sum_{j} b_{jk}(A)_{\text{kol. }j} \]

Wyznacznik macierzy jest wieloliniową funkcją jej kolumn; dlatego, z powyższej równości otrzymujemy

\[ \det AB = \sum_{j_1,j_2,\ldots,j_m} b_{j_1,1}b_{j_2,2}\ldots b_{j_m,m} \det \big((A)_{\text{kol. }j_1},(A)_{\text{kol. }j_2},\ldots,(A)_{\text{kol. }j_m}\big) \]

Jeśli któreś dwa indeksy w ostatniej sumie są równe, to wyznacznik macierzy, która ma dwie identyczne kolumny, znika. Zatem,

\[ \begin{equation} 	\label{pre-CB} 	\det AB = \sum_{S=\{j_1<j_2<\ldots<j_m\}} \beta(B,S) \det A(S), \end{equation} \]

gdzie współczynniki $ \beta(B,S) $ zależą od macierzy $ B $ i podzbioru $ S=\{j_1<j_2<\ldots<j_m\} $. Aby wyznaczyć $ \beta(B,S) $, wypiszemy powyższą równość dla konkretnych $ A $. Ustalmy $ S=\{j_1<j_2<\ldots<j_m\} $ i niech $ A $ będzie macierzą, której $ j_s $-ta kolumna jest równa $ \ee_s $ dla $ s=1,\ldots,m $, a pozostałe kolumny są zerowe. Wówczas $ \det A(S)=\det \mathrm{Id}=1 $ i $ \det A(S')=0 $ dla $ S'\not=S $. Ponadto, $ AB=B(S) $. Podstawiając te zależności do wzoru pre-CB, otrzymujemy $ \det B(S)=\beta (B,S) $ dla każdego $ S=\{j_1<j_2<\ldots<j_m\} $. □

Przykład [pole `płaskiego' torusa w $ \R^4 $](#) W przestrzeni $ \R^4 $ rozważmy torus

$$\T^2=\S^1\times \S^1=\{(x,y,z,w)\in \R^4\colon x^2+y^2=z^2+w^2=1\}.$$

Czytelnik zechce sam sprawdzić, że $ \T^2 $ jest rozmaitością dwuwymiarową. Niech

\[ 	\Psi\colon (0,2\pi)^2\ni (t,s)\longmapsto (\cos t,\sin t,\cos s,\sin s)\in \T^2\, ; 	\]

obrazem parametryzacji $ \Psi $ jest torus $ \T^2 $ bez dwóch okręgów, tzn. zbiór pełnej miary powierzchniowej w $ \T^2 $. Dlatego

\[ \sigma_2(\T^2)=\int_{(0,2\pi)^2} \sqrt{\det \big( (D\Psi)^T\cdot D\Psi\big)}\, \, d\lambda_2\, . \]

Łatwo sprawdzamy, że

\[ (D\Psi)^T =\begin{pmatrix} -\sin t & \cos t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\sin s & \cos s \\ \end{pmatrix}\, . \]

Ze wzoru Cauchy'ego-Bineta otrzymujemy

\[ \begin{align*} \det \big( (D\Psi)^T\cdot D\Psi\big) &= \sin^2 t\sin^2 s+ \sin^2 t \cos^2 s + \cos^2t \sin^2 s+ \cos^2 t \cos^2 s \\ & = \sin^2 t + \cos^2 t = 1, \end{align*} \]

więc

\[ \sigma_2(\T^2)=\int_{(0,2\pi)^2} \sqrt{\det \big( (D\Psi)^T\cdot D\Psi\big)}\, \, d\lambda_2\,= \int_{(0,2\pi)^2} 1\, d\lambda_2= 4\pi^2. \]

Równość $ \det \big( (D\Psi)^T\cdot D\Psi\big) =1 $ ma następujący sens geometryczny: parametryzacja $ \Psi $ zachowuje miarę podzbiorów kwadratu $ (0,2\pi)^2 $.

Przykład Wykażemy, że miara powierzchniowa $ s_{n-1}:=\sigma_{n-1}(\S^{n-1}(\zero,1)) $ sfery jednostkowej $ \S^{n-1}(\zero,1)\subset \R^n $ spełnia równość

\[ \begin{equation} 	\label{miarasferyjedn} 	s_{n-1}=n\omega_n= \frac{n\pi^{n/2}}{\Gamma((n+2)/2)} \, , \end{equation} \]

gdzie $ \omega_n={\pi^{n/2}}/{\Gamma((n+2)/2)}  $ jest miarą Lebesgue'a kuli jednostkowej w $ \R^n $ (patrz Twierdzenie [link]). Niech, dla $ \xx'=(x_1,\ldots,x_{n-1})\in B^{n-1}(\zero,1) $,

\[ \varphi(\xx')=\sqrt{1-\|\xx'\|^2} = \sqrt{1-\sum_{1\le i\le n-1}x_i^2}. \]

Sfera jednostkowa $ \S^{n-1}(0,1)\subset\R^n $ z usuniętą płaszczyzną równika $ \{x_n=0\} $ jest sumą zbioru $ \S^{n-1}_+=\{(\xx',x_n)\in \R^n\colon \xx'\in B^{n-1}(\zero,1), x_n=\varphi(\xx')\} $ i jego lustrzanego odbicia względem hiperpłaszczyzny $ \{x_n=0\} $. Dlatego

\[ \sigma_{n-1}(\S^{n-1}) = 2\sigma_{n-1}(\S^{n-1}_+)=2\int_{B^{n-1}(\zero,1)} \sqrt{\det \big( (D\Psi)^T\cdot D\Psi\big)}\, \, d\lambda_{n-1}, \]

gdzie $ \Psi(\xx')=(\xx',\varphi(\xx')) $. Macierz $ D\Psi  $ składa się z klatki identyczności $ (n-1)\times (n-1) $ i $ n $-tego wiersza $ \varphi_{x_i} $, $ i=1,2,\ldots,n-1 $. Wobec wzoru Cauchy'ego-Bineta, wyznacznik macierzy $ (D\Psi)^TD\Psi $ jest równy sumie kwadratów minorów $ (n-1)\times (n-1) $; jeden z tych minorów jest równy $ 1 $, a pozostałe wynoszą $ \pm\varphi_{x_i} $. Zatem

\[ \begin{multline*} 	s_{n-1}=%\sigma_{n-1}(\S^{n-1})=  	2\int_{B^{n-1}(\zero,1)} \sqrt{\det \big( (D\Psi)^T\cdot D\Psi\big)}\, \, d\lambda_{n-1}\\ 	 = 2 \int_{B^{n-1}(\zero,1)}\sqrt{1+\sum \varphi_{x_i}^2}\, d\lambda_{n-1} 	 = 2 \int_{B^{n-1}(\zero,1)}\frac{1}{\sqrt{1-\sum x_i^2}}\, d\lambda_{n-1} =:2I_{n-1}. \end{multline*} \]

Całkę $ I_n $ obliczymy rekurencyjnie, korzystając z funkcji $ B $ i $ \Gamma $ Eulera. (Podobną metodę wykorzystywaliśmy już wcześniej, całkując wielomiany Tonellego w w dowodzie Twierdzenia [link] Stosując twierdzenie Fubiniego, a następnie liniową zamianę zmiennych

\[ \xx'=\sqrt{1-x_n^2}\cdot \yy', \qquad \yy'\in B^{n-1}(\zero,1)\, , \]

otrzymujemy (Proszę porównać poniższy rachunek z ." title="rekurw): to tak, jakby w tamtym wzorze użyć $ N=-1/2 $.">rekurw): to tak, jakby w tamtym wzorze użyć $ N=-1/2 $.

\[ \begin{eqnarray} 	I_n&=&\int_{B^n(\zero,1)}\big(1-\|\xx\|^2\big)^{-1/2} d\lambda_n(\xx)\nonumber \\&=&\int_{-1}^1 \biggl(\int_{B^{n-1}(\zero,\sqrt{1-x_n^2})} \big(1-x_n^2-\|\xx'\|^2\big)^{-1/2}\, d\lambda_{n-1}(\xx')\biggr)\, dx_n\nonumber\\ 	& = & \int_{-1}^1 (1-x_n^2)^{-1/2}\biggl(\int_{B^{n-1}(\zero,\sqrt{1-x_n^2})} \biggl(1-\Big\|\frac{\xx'}{\sqrt{1-x_n^2}}\Big\|^2\biggr)^{-1/2}\, d\lambda_{n-1}(\xx')\biggr)\, dx_n\nonumber\\ 	& = & \int_{-1}^1 (1-x_n^2)^{\frac{n-2}2}\biggl(\int_{B^{n-1}(\zero,1)} \Big(1-\|\yy'\|^2\Big)^{-1/2}\, d\lambda_{n-1}(\yy')\biggr)\, dx_n\nonumber\\ & = & I_{n-1}\cdot 2\int_{0}^1 \big(1-x_n^2\big)^{\frac{n-2}2} dx_n\, .	\label{rekurwsfera} 	 \end{eqnarray} \]

Podstawiając $ x_n^2=t $, sprawdzamy, że

\[ 2\int_{0}^1 \big(1-x_n^2\big)^{\frac{n-2}2} dx_n = \int_0^1\big(1-t\big)^{\frac{n-2}2} t^{-1/2}\, dt= B\Big(\frac{n}2, \frac 12\Big)= \frac{\Gamma(n/2)\cdot \Gamma(1/2)}{\Gamma((n+1)/2)}\, . \]

Ostatnia równość zachodzi na mocy znanego związku między funkcjami $ \Gamma $ i $ B $. Równość rekurwsfera można teraz przepisać jako

\[ I_n=\frac{\Gamma(n/2)\cdot \Gamma(1/2)}{\Gamma((n+1)/2)} \cdot I_{n-1}\, ; \]

stąd, przez łatwą indukcję, otrzymujemy

\[ I_n=\frac{\Gamma(1/2)^{n-1}}{\Gamma((n+1)/2)}I_1=\frac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma((n+1)/2)} I_1, \qquad s_{n-1}=2I_{n-1}=\frac{\pi^{(n-2)/2}}{\Gamma(n/2)}s_1\, ,  \]

a ponieważ $ s_1=\sigma_1(\S^1(\zero,1))=2\pi $ jest po prostu długością okręgu jednostkowego, więc ostatecznie

\[ s_{n-1}= \frac{\pi^{(n-2)/2}}{\Gamma(n/2)}\cdot 2\pi =\frac{n\pi^{n/2}}{(n/2)\cdot \Gamma(n/2)}=\frac{n\pi^{n/2}}{\Gamma((n+2)/2)} = n\omega_n\, . \]

(Skorzystaliśmy ze związku $ a\Gamma(a)=\Gamma(a+1) $ i równości $ \omega_n=\pi^{n/2}/\Gamma((n+2)/2) $, wykazanej w Twierdzeniu [link]). Wzór miarasferyjedn został udowodniony. □

Uwaga [miara wykresu](#) Dokonując obliczeń w ostatnim przykładzie, sprawdziliśmy przy okazji następujący ogólniejszy fakt: jeśli $ \varphi\in C^1(V,\R) $, gdzie $ V\subset\R^m $ jest zbiorem otwartym, a

\[ 	W=\{(\xx,\varphi(\xx))\in \R^{m+1}\colon \xx\in V\} 	\]

jest wykresem $ \varphi $, to wówczas

\[ \sigma_m(W)=\int_V \sqrt{1+\|\text{{\rm grad}}\, \varphi\|^2}\; d\lambda_m\, . \]

Istotnie, $ \Phi\colon V\ni \xx\mapsto (\xx,\varphi(\xx))\in W\subset \R^{m+1} $ jest naturalną parametryzacją wykresu, a ze wzoru Cauchy'ego-Bineta otrzymujemy

\[ \det (D\Phi^T\cdot D\Phi)= 1+\sum (\varphi_{x_i})^2 = 1+\|\text{{\rm grad}}\, \varphi\|^2\, . \]
Uwaga Nietrudno stwierdzić, posługując się liniową zamianą zmiennych, że

\[	 s(r):=\sigma_{n-1}(\S^{n-1}(\zero, r))=n\omega_nr^{n-1}. \]

Jak wiemy, miara Lebesgue'a $ n $-wymiarowej kuli o promieniu $ r $ wynosi $ m(r)=\omega_nr^n $. Zachodzi więc równość

\[ s(r)=m'(r), \qquad r>0. \]

Okazuje się, że nie jest to związek przypadkowy. Wyjaśnimy to nieco dokładniej w następnym podrozdziale.(#)

Otoczenia tubularne i twierdzenie o materacu

W całym podrozdziale symbol $ X_\eps $ oznacza zbiór $ \{\yy\in \R^n\colon \dist(\yy,X)<\eps\} $ wszystkich punktów przestrzeni, odległych od ustalonego zbioru $ X\subset \R^n $ mniej niż o $ \eps>0 $. (Jeśli np. $ X $ jest gładką krzywą w $ \R^3 $, to $ X_\eps $ jest rurką o grubości $ 2\eps $ wokół tej krzywej, patrz rysunek).

Twierdzenie [o otoczeniu tubularnym]% Niech $ M\subset \R^n $ będzie $ m $-wymiarową zanurzoną rozmaitością zwartą klasy $ C^2 $. Wówczas, dla wszystkich dostatecznie małych $ \eps>0 $, zbiór $ M_\eps $ spełnia zależność

\[ \begin{equation} 	\label{tubka} 	M_\eps =\bigcup_{\mpp\in M} D^\perp(\pp,\eps),  \end{equation} \]

przy czym dyski

\[ \begin{equation} 	\label{dyskperp} 	D^\perp(\pp,\eps) = \{\pp + \vv\colon \vv\in \R^n, \ \|\vv\|<\eps, \ \vv \perp T_{\mpp}M\}\,  \end{equation} \]

położone w przestrzeniach $ (T_{\mpp}M)^\perp $, są parami rozłączne dla różnych punktów $ \pp\in M $. Przekształcenie

\[ P\colon M_\eps\ni \yy\mapsto P(\yy)\in M, \]

gdzie $ \|P(\yy)-\yy\|=\min_{\mzz\in M}\|\zz-\yy\| $, jest dobrze określonym przekształceniem klasy $ C^1 $.(#)%

Fragment gładkiej krzywej zamkniętej w$ \R^3 $ i jej otoczenia tubularnego.

Przed przystąpieniem do dowodu spróbujemy wyjaśnić poglądowo treść tego ważnego twierdzenia. Przekształcenie $ P $ nazywane jest rzutowaniem na najbliższy punkt. Punktowi $ \yy $, należącemu do wąskiej tuby $ M_\eps $ wokół rozmaitości $ M $, przypisujemy ten punkt $ \zz=P(\yy)\in M $, który jest najbliższy $ \yy $. Twierdzenie mówi, że dla zwartych rozmaitości klasy $ C^2 $, przy dostatecznie małym $ \eps>0 $, istnieje dokładnie jeden taki punkt $ \zz $.

Czytelnik zechce pomyśleć najpierw o przypadkach, które względnie łatwo można sobie wyobrazić: $ m=1 $ i $ n=2 $, $ m=1 $ i $ n=3 $, wreszcie $ m=2 $ i $ n=3 $. W pierwszym z nich $ M $ jest gładką krzywą zamkniętą w$ \R^2 $. Dyski $ D^\perp(\pp,\eps) $ są po prostu odcinkami otwartymi długości $ 2\eps $, prostopadłymi do krzywej i mającymi środki w jej punktach. Twierdzenie o otoczeniu tubularnym orzeka, że dla małych $ \eps>0 $ takie odcinki są rozłączne, a ich suma jest zbiorem wszystkich punktów, odległych od krzywej mniej niż o $ \eps $\/. Przekształcenie $ P $ nietrudno opisać geometrycznie: każdy punkt zbioru $ M_\eps $ należy do dokładnie jednego odcinka $ D^\perp(\pp,\eps) $ i jeśli $ \yy\in D^\perp(\pp,\eps)  $, to $ P(\yy)=\pp $.

Dla $ m=1 $, $ n=3 $ mamy do czynienia z krzywą zamkniętą w $ \R^3 $; jej otoczenie tubularne to rurka, zbudowana z małych, płaskich, parami rozłącznych dysków, prostopadłych do tej krzywej i mających środki w jej punktach. Wreszcie, dla $ m=2 $ i $ n=3 $ rozmaitość $ M\subset \R^3 $ jest zwartą, gładką powierzchnią bez brzegu. Zbiór $ M_\eps $ jest wtedy - jak gęsty `jeż' - sumą parami rozłącznych odcinków o długościach równych $ 2\eps $; każdy z tych odcinków ma środek na $ M $ i jest prostopadły do $ M $ (tj. do przestrzeni stycznej do $ M $).

    Szkic dowodu Twierdenia [link] Dla każdego $ \yy\in M_\eps $ istnieje (co najmniej jeden) punkt $ P(\yy)\in M $ taki, że $ \|P(\yy)-\yy\|=\dist (\yy, M)=\min_{\mzz\in M}\|\zz-\yy\| $. To wynika stąd, że przy ustalonym $ \yy $ funkcja $ f(\zz)=\|\zz-\yy\| $ osiąga swój kres dolny na zbiorze zwartym $ M $. Zauważmy, że jeśli $ \pp=P(\yy) $, to wektor $ \vv=\yy-\pp $ jest prostopadły do $ T_{\mpp} M $ (gdyby tak nie było, odległość $ \yy $ od $ M $ nie osiągałaby w punkcie $ \pp $ najmniejszej wartości - Czytelnik zechce to sprawdzić, posługując się np. prostopadłością gradientu do rozmaitości w punkcie ekstremum warunkowego). Inaczej mówiąc,

\[ M_\eps =\bigcup_{\mpp\in M} D^\perp(\pp,\eps)\, .  \]

Sprawdzimy, że dla małych $ \eps $ dyski $  D^\perp(\pp,\eps) $ są parami rozłączne dla różnych $ \pp $. Przypuśćmy, że jest przeciwnie: dla $ \eps_j=1/j $, gdzie $ j=1,2,\ldots $ istnieją punkty $ \pp_j\not=\pp'_j\in M $ takie, że iloczyn $ D^\perp(\pp_j,\frac 1j)\cap D^\perp(\pp'_j,\frac 1j) $ jest niepusty. Wtedy $ \|\pp_j-\pp'_j\|<2/j\to \zero $; dzięki zwartości $ M $, przechodząc do odpowiedniego podciągu, można założyć, że $ \lim\pp_j=\lim\pp'_j=\pp\in M $.

Niech $  \Psi\colon \R^m\supset V\to U\cap M \subset \R^n  $ będzie parametryzacją klasy $ C^2 $ pewnego otoczenia $ \pp $ w $ M $. Bez zmniejszenia ogólności, obracając i przesuwając w razie potrzeby układ współrzędnych, załóżmy, że $ \pp=\zero=\Psi(\zero)\in \R^n $,

\[ T_{\zero} M= \text{span}\, (\ee_1,\ldots,\ee_m)\, , \qquad (T_{\zero} M)^\perp= \text{span}\, (\ee_{m+1},\ldots,\ee_{n})\, . \]

Niech $ I\colon \R^{n-m}\to (T_{\zero} M)^\perp\subset \R^n $ oznacza włożenie liniowe, polegające na utożsamieniu $ \vv=(v_{m+1},v_{m+2},\ldots,v_{n})\in \R^{n-m} $ z wektorem $ I(\vv)=\sum_{i>m} v_i\ee_i $ w $ (n-m) $-wymiarowej podprzestrzeni $ (T_{\zero} M)^\perp $. Określmy odwzorowanie

\[ F\colon \R^n=\R^m\times \R^{n-m}\supset V\times B^{n-m}(\zero,1)\to \R^n \]

następująco:

\[ F(\xx,\vv)= \Psi(\xx)+ \pi(\Psi(\xx)) (I(\vv))\, , \]

gdzie dla ustalonego $ \yy\in M $ przekształcenie $ \pi(\yy) $ jest rzutem ortognalnym $ \R^n $ na przestrzeń $ (T_{\myy} M)^\perp $. Jeśli $ \Psi(\xx)=\qq\in M $, to $ F(\xx,\vv)\in D^\perp(\qq,1) $.

Można sprawdzić, że jeśli $ M $ jest klasy $ C^2 $, to wyrazy macierzy rzutu $ \pi(\Psi(\xx)) $ w standardowej bazie $ \R^n $ są funkcjami klasy $ C^1 $ zmiennej $ \xx $. (To niezbyt trudne zadanie; do jego rozwiązania trzeba wykorzystać geometryczną charakteryzację rzutu ortogonalnego na podprzestrzeń liniową.) Dlatego $ F\in C^1 $. Obliczmy jakobian $ F $ w punkcie $ (\zero,\zero) $. Ponieważ $ I(\zero)=\zero $, a $ \pi(\yy) $ jest liniowe przy ustalonym $ \yy $, więc

\[ \pcz{F}{x_j}(\xx,\zero)=\pcz{\Psi}{x_j}(\xx), \qquad\pcz{I}{v_i}(\vv)=\ee_i=\pcz{F}{v_i}(0,\vv). \]

Zatem macierz $ DF(\zero,\zero) $ ma kolumny $ \pcz{\Psi}{x_j}(\zero)\in T_\zero M $ (dla $ j=1,\ldots,m $) oraz $ \ee_j\in (T_\zero M)^\perp $ dla $ j=m+1,\ldots,n $. Są to wektory liniowo niezależne w $ \R^n $ %, gdyż $ \ww_j=\pcz{\Psi}{x_j}(\zero) $ %są bazą $ T_\zero M $, a pozostałe kolumny - wektory $ \ee_j $ dla %$ j>m $ - są bazą $ (T_\zero M)^\perp $. Dlatego i dlatego $ \det DF(\zero,\zero)\not =0 $. Wobec twierdzenia o funkcji odwrotnej, $ F $ jest dyfeomorfizmem pewnego otoczenia otwartego $ W=V_1\times B^{n-m}(0,r)\subset V\times B(0,1) $ punktu $ (\zero,\zero) $ na obraz $ F(W)\subset \R^n $.

Dla dostatecznie dużych $ j $ dyski $ D_j=D^\perp(\pp_j,1/j) $ i $ D_j'=D^\perp(\pp'_j,1/j) $ są zawarte w $ F(W) $. Mamy $ \pp_j=\Psi(\xx_j) $ i $ \pp'_j=\Psi(\xx'_j) $ dla pewnych $ \xx_j,\xx'_j\in V_1 $. W punkcie wspólnym dysków $ D_j $ i $ D_j' $ spełniony jest warunek $ F(\xx_j,\vv_j)=F(\xx_j',\vv'_j) $, ale $ \xx_j\not=\xx_j' $. To jest sprzeczność z różnowartościowością $ F $ na zbiorze $ W $.

Zatem istnieje takie $ \eps_0>0 $, że wszystkie dyski $ D^\perp(\pp,\eps_0) $ są rozłączne. Pokrywając rozmaitość $ M $ skończoną liczbą otoczeń takich, jak $ F(W) $ przed chwilą, wnioskujemy, że rzut $ P $ z $ M_\eps $ na najbliższy punkt $ M $ jest dobrze określony. Jeśli w opisanych wyżej współrzędnych $ \yy=F(\xx,\vv) $, to $ P(\yy)=\Psi(\xx) $. Innymi słowy, oznaczając przez $ A $ rzut ortogonalny $ A\colon (\xx,\vv)\mapsto \xx $ przestrzeni $ \R^m\times\R^{n-m} $ na $ \R^m $, widzimy, że $ P=\Psi\circ A\circ F^{-1} $ jest klasy $ C^1 $. □

Uwaga Jest rzeczą jasną, że teza ostatniego twierdzenia nie zachodzi dla wszystkich $ \eps>0 $. Jeśli np. $ M\subset \R^3 $ jest powierzchnią torusa, powstającego przez obrót okręgu opromieniu $ r>0 $ wokół prostej, położonej w płaszczyźnie tego okręgu ioddalonej o $ R $ od jego środka, to dla $ \eps>r $ teza twierdzenia nie zachodzi. Istotne jest też założenie, że $ M $ jest klasy $ C^2 $. Czytelnik zechce rozpatrzeć wykres $ y=h(x):= |x|^{3/2} $ w otoczeniu zera w$ \R^2 $: punkt wykresu $ h $ najbliższy do $ (0,\eps) $ nie jest określony jednoznacznie dla żadnego $ \eps>0 $.

Między objętością otoczenia tubularnego rozmaitości a jej miarą powierzchniową zachodzi naturalny, zgodny z intuicją związek.

Twierdzenie [twierdzenie o materacu] Załóżmy, że $ M $ jest $ m $-wymiarową rozmaitością zwartą klasy $ C^2 $, zanurzoną w $ \R^n $. Niech $ M_\eps=\{\yy\in \R^n\colon \dist(\yy,M)<\eps\} $. Wówczas(#)

\[ 	\lim_{\eps\to 0^+}\frac{\lambda_n(M_\eps)}{\omega_{n-m}\eps^{n-m}} = \sigma_m(M)\, . 	\]

Fragment rozmaitości $ M^2\subset \R^3 $. Krótkie odcinki prostopadłe do $  M $, które mają środki w $ M $, są rozłączne.

Czytelnik zechce pomyśleć o przypadku $ n=3 $, $ m=2 $. Otoczenie tubularne $ M_\eps\subset \R^{3} $ powierzchni $ M $ jest wtedy sumą rozłącznych odcinków długości $ 2\eps $, prostopadłych do $ M $. Można myśleć o $ M_\eps $ jako o `materacu' grubości $ 2\eps $; powierzchnia $ M $ biegnie przez środek materaca\/. Twierdzenie orzeka, że pole powierzchni $ M $ jest granicą ilorazu objętości materaca i grubości materaca,

\[ \sigma_2(M)=\lim_{\eps\to 0^+} \frac{\lambda_3(M_\eps)}{2\eps}\, . \]

Ogólnie, dla $ n=m+1 $ i rozmaitości $ M=M^m\subset\R^{m+1} $ klasy $ C^2 $ jest

\[ \sigma_m(M)=\lim_{\eps\to 0^+} \frac{\lambda_{m+1}(M_\eps)}{2\eps}\, . \]

Przykład [miara sfery $ \S^{n-1} $ raz jeszcze] Niech $ M=\S^{n-1}(0,r) $. Nietrudno zauważyć, że dla $ \eps<r $ zbiór $ M_\eps $ jest równy $ B^n(0,r+\eps)\setminus \overline{B^n(0,r-\eps)} $. Dlatego

\[ \begin{align*} \sigma_{n-1}(\S^{n-1})&=\lim_{\eps\to 0}\frac{\omega_n (r+\eps)^n-\omega_n(r-\eps)^n}{2\eps}\\ &= \frac{\omega_n}{2} \lim_{\eps\to 0}\biggl(\frac{ (r+\eps)^n-r^n}{\eps}+\frac{r^n-(r-\eps)^n}{\eps}\biggr)  = \frac{\omega_n}{2} \cdot 2\frac{d}{dt}\big(t^n\big)\Big|_{t=r}  = \omega_n\cdot nr^{n-1}\, . \end{align*} \]

Otrzymaliśmy ponownie wynik, wspomniany już w Uwadze [link].□

    Dowód Twierdenia [link] Dla uproszczenia podamy dowód tylko w przypadku $ n=m+1 $. Wybierzmy zbiór otwarty $ U\subset \R^{m+1} $ taki, że $ M\cap U $ jest wykresem funkcji $ \varphi\colon \R^m\supset V\to \R $, gdzie $ V\subset \R^m $ jest otwarty. Niech $ \Phi(\xx)=(\xx,\varphi(\xx)) $ dla $ \xx\in V $ będzie parametryzacją $ U\cap M $. Korzystając z twierdzenia o otoczeniu tubularnym, możemy zakładać, że

\[  U=\{\qq+\vv \ \mid \ \qq\in \Phi(V)\subset M,\quad \vv \perp T_{\mpp} M, \quad\|\vv\|<\eps\}. \]

jest fragmentem otoczenia tubularnego rozmaitości $ M $; dokładniej $ U=P^{-1}(\Phi(V)) $, gdzie $ P $ oznacza rzutowanie otoczenia tubularnego rozmaitości na jej najbliższy punkt.

Jeśli $ \yy=\Phi(\xx), $ to $ T_{\myy}M=\mathrm{Im}\, D\Phi(\xx) $. Kolumny macierzy $ D\Phi(\xx) $, tzn. wektory

$$ \pcz{\Phi}{x_j}(\xx)=\Big(0,\ldots,0,\underbrace{1}_{\text{miejsce } j},0,\ldots,0,\pcz{\varphi}{x_j}(\xx)\Big)^T\in \R^{m+1}, \qquad j=1,2\ldots,m, $$

tworzą bazę $ T_{\myy}M $. Wektor

\[ N(\xx)=\big(-\pcz{\varphi}{x_1}(\xx), \ldots, -\pcz{\varphi}{x_m}(\xx),1\big)^T \]

jest prostopadły do nich wszystkich, a więc rozpina (jednowymiarową) przestrzeń $ (T_{\myy}M)^\perp $. Niech

$ F $ przeprowadza $ V\times (-\eps,\eps) $ na fragment otoczenia tubularnego $ M $.

\[ \nu(\xx)=\frac{N(\xx)}{\|N(\xx)\|} =\frac{N(\xx)}{\sqrt{1+\sum (\varphi_{x_i})^2}} \]

oznacza (unormowany) wektor normalny do wykresu $ \varphi $ i niech $ F\colon V\times (-\eps,\eps)\to U\subset\R^n $ będzie dane wzorem \( F(\xx,t)=\Phi(\xx)+t\nu(\xx). \) Ponieważ $ \varphi\in C^2 $, więc $ \nu\in C^1 $ i$ F\in C^1 $. Na mocy twierdzenia o otoczeniu tubularnym, $ F $ jest dyfeomorfizmem $ V\times (-\eps,\eps) $ na $ U $, gdy liczba $ \eps>0 $ jest dostatecznie mała. Wobec twierdzenia o zamianie zmiennych,

\[ \begin{eqnarray} \frac{\lambda_{n} (U)}{2\eps} &= &\frac 1{2\eps}\int_U 1\, d\lambda_n\nonumber\\ &=& \frac 1{2\eps}\int_{-\eps}^\eps \biggl(\int_V \det F(\xx,t)\, d\lambda_m(\xx)\biggr)\, dt\label{detFzero}\\ &\to & \int_V \det F(\xx,0)\, d\lambda_m(\xx) \qquad \mbox{dla $\eps\to 0$, \nonumber}  \end{eqnarray} \]

gdyż funkcja $ t\mapsto h(t)=\int_V \det F(\xx,t)\, d\lambda_m(\xx) $ zależy od $ t $ w sposób ciągły. (Ciągłość $ h $ łatwo wywnioskować np. z twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej. Dla każdej funkcji $ h $ ciągłej w otoczeniu zera mamy $ (2\eps)^{-1}\int_{(-\eps,\eps)} h(t)\, dt\to h(0) $. ) Obliczmy wyznacznik $ \det DF(\xx,0) $. Jest oczywiście

\[ \pcz{F}{x_j}(\xx,t)=\pcz{\Phi}{\xx_j}(\xx,t)+t\pcz{\nu}{x_j}{\xx}, \qquad \pcz{F}{t}(\xx,t)=\nu(\xx). \]

Stąd łatwo wynika, że \def\sumka{d}

\[ DF(\cdot,0)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 & -\pcz{\varphi}{x_1}/{\sumka}\\[6pt] 0 & 1 & \ldots & 0 & - {\pcz{\varphi}{x_2}}/{\sumka}\\[6pt] \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & & \\[6pt] 0 & 0 & \ldots & 1 & - {\pcz{\varphi}{x_m}}/{\sumka}\\[6pt] \pcz{\varphi}{x_1} & \pcz{\varphi}{x_2} & \ldots & \pcz{\varphi}{x_m} & 1/{\sumka} \end{pmatrix}, \qquad\text{gdzie}\quad d=\sqrt{1+\sum (\varphi_{x_i})^2}. \]

Zatem iloczyn liczby $ d $ i wyznacznika $ \det DF(\cdot, 0) $ jest równy

\[ \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 & -\pcz{\varphi}{x_1}\\[6pt] 0 & 1 & \ldots & 0 & - {\pcz{\varphi}{x_2}}\\[6pt] \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots \\[6pt] 0 & 0 & \ldots & 1 & - {\pcz{\varphi}{x_m}}\\[6pt] \pcz{\varphi}{x_1} & \pcz{\varphi}{x_2} & \ldots & \pcz{\varphi}{x_m} & 1 \end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 & -\pcz{\varphi}{x_1}\\[6pt] 0 & 1 & \ldots & 0 & - {\pcz{\varphi}{x_2}}\\[6pt] \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots \\[6pt] 0 & 0 & \ldots & 1 & - {\pcz{\varphi}{x_m}}\\[6pt] 0 & 0 & \ldots & 0 & \underbrace{1+\sum\varphi_{x_i}^2}_{=d^2} \end{pmatrix}= d^2. \]

(Pierwszą równość uzyskujemy, dodając do ostatniego wiersza kolejno pierwszy wiersz pomnożony przez $ -\varphi_{x_1} $, potem drugi wiersz pomnożony przez $ -\varphi_{x_2} $, itd.). To oznacza, że

$$\det DF(\xx,0)=d=\sqrt{1+\sum_{1\le i\le m}\varphi_{x_i}^2(\xx)}=\sqrt{\det\Big(D\Phi(\xx)^T D\Phi(\xx)\Big)}\, .$$

Podstawiwszy ten wynik do równości detFzero, otrzymujemy

\[ \lim_{\eps\to 0}\frac{\lambda_{m+1}(U)}{2\eps}=\int_V \det F(\xx,0)\, d\lambda_m(\xx)= \int_V \sqrt{\det\big(D\Phi^T\cdot D\Phi\big)}\; d\lambda_m = \sigma_m(\Phi(V))\, . \]

Pokrywając rozmaitość $ M $ takimi zbiorami otwartymi $ U $ i korzystając z addytywności miary, łatwo otrzymujemy tezę.□