Formy różniczkowe i twierdzenie Stokesa

Dalekosiężnym celem tego rozdziału będzie sformułowanie i udowodnienie wielowymiarowych odpowiedników wzoru Newtona-Leibniza $ \int_a^b f'(t)\, dt=f(b)-f(a) $. Zostały one odkryte w pierwszej połowie XIX wieku i odegrały fundamentalną rolę w fizyce matematycznej, m.in. w matematycznej teorii pola elektromagnetycznego. (Osobom zainteresowanym historią polecam tekst Victora J. Katza, The History of Stokes' Theorem), Mathematics Magazine, Vol. 52, No. 3 (1979), str. 146-156. Bez tych wzorów - twierdzenia Greena, twierdzenia Gaussa o dywergencji i twierdzenia Stokesa - nie mogłaby się obyć ani teoria równań różniczkowych cząstkowych i jej zastosowania w fizyce, ani geometria różniczkowa, ani wiele innych działów współczesnej matematyki.

Z pewnego dystansu widać, że w tej partii materiału ceną za względną prostotę sformułowań twierdzeń i ich dowodów jest skomplikowany formalizm. Nie będziemy go od razu wprowadzać w pełnej ogólności; zaczniemy od sytuacji prostej.

Pisząc ten rozdział, korzystałem m.in. z notatek prof. Dietmara Salamona z Politechniki w Zurychu z wykładów o formach różniczkowych, prowadzonych w 2009 roku. Oryginał w języku niemieckim można znaleźć w sieci.

Formy rzędu 1 i twierdzenie Greena

Definicja [forma różniczkowa rzędu 1] Niech $ U\subset\R^n $ będzie zbiorem otwartym i niech $ f_1,f_2\ldots,f_n\in C^k(U) $, gdzie $ k\ge 1 $. Wyrażenie

\[ \begin{equation} 	\label{1forma} 	\omega=f_1\, dx_1+ f_2\, dx_2 +\cdots+ f_n\, d x_n \end{equation} \]

nazywamy formą różniczkową rzędu 1 i klasy $ C^k $, albo krótko 1-formą na zbiorze $ U $.

Definicja [krzywa zorientowana] Rozmaitość jednowymiarową $ M=M^1\subset \R^n $ klasy $ C^1 $ z ustalonym ciągłym polem niezerowych wektorów stycznych $ \vv(\pp) $, $ \pp\in M $, będziemy nazywać krzywą zorientowaną\/.

Jeśli $ \gamma\colon \R\supset I\to M\subset \R^n $ jest parametryzacją $ M $, to dla każdego $ t\in I $ wektor $ \gamma'(t) $ jest styczny do $ M $ w punkcie $ \pp=\gamma(t) $. Są dwie możliwości: albo wektor $ \gamma'(t) $ ma dla każdego $ t\in I $ taki sam zwrot, jak wektor $ \vv(\gamma(t)) $, określający orientację $ M $, albo ma zawsze zwrot przeciwny. (Wynika to stąd, że funkcja ciągła $ t\mapsto \big\langle\gamma'(t),\vv(\gamma(t))\big\rangle $ nie znika w żadnym puncie $ t\in I $.) W pierwszym przypadku będziemy mówić, że parametryzacja $ \gamma $ jest zgodna z orientacją $ M $.

Definicja [całka z $ 1 $-formy wzdłuż krzywej zorientowanej] Niech $ M $ będzie krzywą zorientowaną skończonej długości, zawartą w zbiorze otwartym $ U\subset \R^n $, zaś $ \gamma\colon \R\supset I=(a,b)\to M $ - parametryzacją zgodną z orientacją $ M $. Jeśli $ \omega=f_1\, dx_1+\cdots+f_n\, dx_n $ jest formą klasy $ C^1 $ na $ U $, to piszemy

\[ \begin{equation} 		\label{defcalkiz1formy} 		\int_M \omega= \sum_{j=1}^n \int_a^b f_j(\gamma(t))\, \gamma_j'(t)\, dt\,  . \end{equation} \]

Definicją można operować mnemotechnicznie: jeśli $ \xx=(x_1,\ldots,x_n)=\gamma(t)\in M $, to $ x_j=\gamma_j(t) $, `więc' $ dx_j=\gamma_j'(t)\, dt $. Podobnego formalizmu używaliśmy, całkując przez podstawienie funkcje jednej zmiennej.

Przytoczona definicja ma sens tylko dla krzywych spójnych. Formy różniczkowe rzędu 1 można całkować także po krzywych niespójnych (dodając całki po składowych spójności takiej krzywej).

Stwierdzenie [poprawność definicji] Wartość całki

\[ 	\int_M \big(f_1\, dx_1+ f_2\, dx_2 +\cdots+ f_n\, d x_n\big) 	\]

nie zależy od wyboru parametryzacji $ \gamma\colon I\to M $, zgodnej z orientacją.

Dowód: Załóżmy, że $ \gamma\colon (a,b)\to M $ i $ \eta\colon (c,d)\to M $ są dwiema parametryzacjami $ M $ zgodnymi z orientacją. Przekształcenie $ \psi=\eta^{-1}\circ\gamma $ jest wówczas, na mocy Lematu [link] ofunkcjach przejścia, dyfeomorfizmem odcinka $ (a,b) $ na $  (c,d) $. Mamy $ \eta\circ\psi = \gamma $, stąd zaś

\[ \eta'(\psi(t))\cdot \psi'(t) = \gamma'(t), \qquad t\in (a,b). \]

Ponieważ $ \gamma,\eta $ są zgodne z orientacją $ M $, więc wektory $ \eta'(\psi(t)) $ i $ \gamma'(t) $ mają ten sam zwrot. Zatem $ \psi'(t)>0 $ dla każdego $ t $, co oznacza, że $ \psi $ jest funkcją rosnącą. Z twierdzenia o zamianie zmiennych, używając podstawienia

\[ (c,d)\ni s=\psi (t), \qquad t\in (a,b), \]

otrzymujemy

\[ \begin{align*} \sum_{j=1}^n\int_c^d f_j(\eta (s))\, \eta_j'(s)\, ds &=\sum_{j=1}^n\int_a^b f_j\big(\eta (\psi(t))\big) \, \eta_j'(\psi(t))\, \psi'(t)\, dt\\ & = \sum_{j=1}^n\int_a^b f_j\big(\gamma(t))\big) \, \gamma_j'(t)\, dt\, . \end{align*} \]

Wartość prawej strony wzoru defcalkiz1formy nie zależy więc od wyboru parametryzacji. □

Uwaga Gdy zmienimy orientację $ M $ na przeciwną, to liczba $ \int_M\omega $ zmieni znak.□

    Interpretacja fizyczna całki z 1-formy. Definicja 1-formy wydaje się, na pierwszy rzut oka, sztuczna; nie wiadomo, czym (tzn. jakimi obiektami matematycznymi) są symbole $ dx_j $. Jednak całka z formy $ \sum f_i\, dx_i $ ma naturalną interpretację fizyczną. Jeśli mianowicie przyjmiemy, że $ f=(f_1,\ldots, f_n) $ jest polem wektorowym w obszarze $ U $, np. pewnym polem sił, to całka $ \int_M \omega $ z formy $ \omega=\sum f_i\, dx_i $ jest pracą sił pola wzdłuż krzywej $ \gamma $. Istotnie,

\[ \sum_{j=1}^n f_j\big(\gamma(t))\big) \, \gamma_j'(t)= \Big\langle f\big(\gamma(t))\big) ,\frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|}\Big\rangle\cdot \|\gamma'(t)\| \]

i dlatego

\[ \int_M \omega= \sum_{j=1}^n \int_a^b f_j\big(\gamma(t))\big) \, \gamma_j'(t)\, dt = \int_a^b \Big\langle f\big(\gamma(t))\big) ,\frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|}\Big\rangle\cdot \underbrace{\|\gamma'(t)\|\, dt}_{d\sigma_1} = \int_M \langle f, \ww \rangle\, d\sigma_1\, , \]

Naturalna orientacja brzegu obszaru w$ \R^2 $: jedna z baz powstaje z drugiej przez obrót.

     gdzie $ \ww=\gamma'/\|\gamma'\| $ jest jednostkowym wektorem stycznym do krzywej. Liczba $ \langle f, \ww \rangle $ jest długością składowej wektora $ f $, stycznej do $ M $; to właśnie ta składowa wykonuje pracę wzdłuż krzywej.

Definicja Mówimy, że $ \Omega\subset \R^n $ jest obszarem z brzegiem klasy $ C^k $, jeśli $ \Omega $ jest zbiorem otwartym spójnym, którego brzeg $ \partial \Omega $ jest rozmaitością zanurzoną klasy $ C^k $ w $ \R^n $.
Definicja Będziemy mówić, że brzeg obszaru $ \Omega\subset\R^2 $ ma naturalną orientację, jeśli dla każdego $ \pp\in\partial\Omega $ baza $ (\ww,\nu) $, gdzie $ \ww \in T_{\mpp}(\partial \Omega) $ wyznacza orientację brzegu, a $ \nu $ jest wektorem normalnym wewnętrznym w $ \pp $, wyznacza tę samą orientację $ \R^2 $, co standardowa baza $ (\ee_1,\ee_2) $. (Oto prosta, mnemotechniczna reguła: brzeg obszaru jest zorientowany naturalnie, gdy idąc wzdłuż niego we wskazanym przez orientację kierunku, mamy punkty obszaru z lewej strony.)
Twierdzenie [G. Green (George Green, matematyk brytyjski, żył na przełomie XVIII i XIX wieku. W 1828 r. wydał słynną pracę An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism.\/)] Załóżmy, że $ \Omega\subset \R^2 $ jest obszarem ograniczonym z brzegiem klasy $ C^1 $. Niech $ f,g\in C^1(U) $, gdzie $ U\subset \R^2 $ jest otwarty i $ \overline \Omega\subset U $. Wreszcie, niech brzeg $ \partial \Omega $ zbioru $ \Omega $ ma naturalną orientację. Wówczas

\[ \begin{eqnarray} 	\int_{\partial\Omega} g\, dy = \int_\Omega \pcz gx \;\label{green-g} d\lambda_2\, , \label{Green g}\\  -\int_{\partial\Omega} f\, dx = \int_\Omega \pcz fy \;\label{green-f} d\lambda_2\, . \label{Green f} \end{eqnarray} \]

    Dowód w przypadku szczególnym. Załóżmy najpierw, dla uproszczenia, że dla pewnych przedziałów $ (a,b),\; (c,d)\subset \R $ i funkcji $ \varphi,\psi\colon (a,b)\to \R $ oraz $ \eta,\zeta\colon (c,d)\to \R $ jest

\[ \begin{align*} \Omega &=\{(x,y)\in \R^2 \colon\; x\in (a,b),\quad \varphi(x)<y<\psi(x)\} \\&= \{(x,y)\in \R^2 \colon\; y\in (c,d),\quad \eta(y)< x<\zeta(y)\}\, , \end{align*} \]

tzn. że brzeg $ \Omega $ jest sumą dwóch wykresów funkcji (różniczkowalnych), niezależnie od tego, wzdłuż której osi układu współrzędnych patrzymy. (Tak jest np. dla obszarów wypukłych, ale nie tylko.) Wówczas, na mocy twierdzenia Fubiniego i wzoru Newtona-Leibniza, \begin{align} \int_\Omega \pcz gx \; d\lambda_2 = \int_c^d\biggl(\int_{\eta(y)}^{\zeta(y)} \pcz gx(x,y) \;dx\biggr)\; dy = \int_c^d \Big( g(\zeta(y),y)-g(\eta(y),y) \Big)\; dy\, . (#) \end{align} Niech $ M_1 $ oznacza część $ \partial\Omega $, będącą wykresem $ \zeta $. Parametryzacja \( (c,d)\ni y\mapsto \gamma(y) = (\zeta(y),y) \) krzywej $ M_1 $ jest zgodna z orientacją; dlatego

\[ \begin{equation} 	\label{calkaM1} 	\int_{c}^d g(\zeta(y),y)\; dy = \int_{M_1} g\; dy\, , \end{equation} \]

gdyż druga współrzędna parametryzacji ma pochodną 1. Reszta brzegu, $ M_2=\partial\Omega\setminus \overline{M_1} $, ma parametryzację

\[ (c,d)\ni y\longmapsto (\eta(y),y)\, , \]

która wyznacza orientację przeciwną do naturalnej orientacji $ M_2 $. Dlatego

\[ \begin{equation} 	\label{calkaM2} 	-\int_c^d g(\eta(y),y) \; dy = \int_{M_2} g\; dy\, . \end{equation} \]

Dodając calkaM1 do calkaM2, otrzymujemy z calka-dg pierwszą część tezy twierdzenia Greena.

Podobnie, biorąc $  M_3=\{(x,y)\in \partial\Omega\colon x\in (a,b),\; y=\varphi(x)\} $ oraz $ M_4= \{(x,y)\in\partial\Omega\colon x\in (a,b),\; y=\psi(x)\} $ (z naturalną orientacją brzegu $ \partial\Omega<img class="teximage" src="/sites/default/files/tex/1b74ff397c46a96749c74a7d1a850e230410fcb1.png" alt="6e37fe9beefa5ba4e222f960fcb058b8:40:" />Q_1,\ldots Q_N $ pokrywa domknięcie $ \overline\Omega $ obszaru $ \Omega\subset\R^2 $. Istnieją wówczas funkcje nieujemne $ \psi_l\in C_0^\infty(Q_l) $ takie, że $ \sum_{l=1}^N\psi_l\equiv 1 $ na pewnym zbiorze otwartym $ W $, zawierającym $ \overline\Omega $.

    Dowód twierdzenia Greena w przypadku ogólnym. Dla każdego punktu $ \pp\in \overline\Omega $ wybierzmy prostokąt otwarty $ Q_{\mpp} $ o środku w $ \pp $ tak, aby

  • $ \overline{Q}_{\mpp}\subset \Omega $ dla $ \pp\in \Omega $;
  • dla $ \pp\in \partial\Omega $ i $ Q_{\mpp}=(a,b)\times (c,d) $ zbiór $ \partial\Omega\cap Q_{\mpp} $ był wykresem funkcji $ y=\varphi(x) $, $ x\in (a,b) $, ew. funkcji $ x=\varphi(y) $, $ y\in (c,d) $.

Wobec zwartości $ \overline\Omega $, istnieje pokrycie $ \overline\Omega $, złożone z $ N $ takich prostokątów, $ Q_1,\ldots, Q_N $. Ponumerujmy je tak, aby $ Q_1,\ldots,Q_k $ stanowiły pokrycie brzegu, zaś $ Q_{k+1},\ldots, Q_N $ były (wraz z domknięciami) zawarte w $ \Omega $. Niech $ \psi_l $ będą funkcjami zLematu [link]. Wówczas $ \sum_l \pcz{\psi_l}y=0 $, a stąd \begin{align} (#) \int_\Omega \pcz fy\; d\lambda_2 & = \sum_{l=1}^N \int_{Q_l\cap \Omega} \psi_l\pcz fy\; d\lambda_2= \sum_{l=1}^N \int_{Q_l\cap \Omega} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2\\ & =\sum_{l=1}^k \int_{Q_l\cap \Omega} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2 + \sum_{l=k+1}^N \int_{Q_l\cap \Omega} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2 =\sum_{l=1}^k \int_{Q_l\cap \Omega} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2\, .\nonumber \end{align} Aby sprawdzić ostatnią równość, zauważmy, że dla każdego $ l>k $ i prostokąta $ \overline{Q}_l=[a,b]\times[c,d]\subset \Omega $ funkcja $ \psi_lf $ znika na $ \partial Q_l $ (bo $ \psi_l $ znika na brzegu tego prostokąta!), a więc

\[ \int_{Q_l\cap \Omega} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2=\int_{Q_l} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2 = \int_a^{b}\bigg(\int_c^{d} \pcz {(\psi_l f)}y\, dy\bigg) \; dx = 0\, . \]

Teraz obliczymy każdą z całek w sumie po prawej stronie wzoru rozbiciedg, rozważając kilka przypadków. Dla prostoty, ustalimy indeks $ l $ i będziemy często pisać $ F=\psi_l f $, $ Q=Q_l $.

Prostokąt $ Q_i $ odpowiada $ i $-temu z rozpatrywanych przypadków.

    Przypadek 1. Niech

\[ \Omega\cap Q=\{(x,y)\colon c< y<\varphi(x), x\in (a,b)\}. \]

Wtedy $ F=\psi_l f $ znika dla $ x\in (a,b),y=c $. Zatem

\[ \begin{align*} \int_{Q\cap \Omega} \pcz{F}y \;d\lambda_2&=\int_a^{b}\bigg(\int_b^{\varphi(x)}\pcz Fy\; dy \bigg)\; dx\\&= \int_a^b F(x,\varphi(x))\; dx\\& = -\int_{\partial\Omega\cap Q_l} F\; dx. \end{align*} \]

Ostatnią równość zachodzi na mocy definicji całki z1-formy. Zauważmy, że w tym przypadku fragment $ \partial\Omega\cap Q_l $ jest zorientowany przeciwnie do kierunku osi $ x $.

    Przypadek 2. Załóżmy, że $ \Omega\cap Q=\{(x,y)\colon \varphi(x)< y<d, x\in (a,b)\} $. Wtedy $ F=\psi_l f $ znika dla $ x\in (a,b),y=d $. Zatem

\[ \int_{Q\cap \Omega} \pcz{F}y \;d\lambda_2=\int_a^{b}\bigg(\int_{\varphi(x)}^{d}\pcz Fy\; dy \bigg)\; dx= -\int_a^b F(x,\varphi(x))\; dx = -\int_{\partial\Omega\cap Q_l} F\; dx. \]

(Tym razem orientacja $ \partial\Omega\cap Q_l $ jest zgodna z kierunkiem osi $ x $.)

W tych dwóch przypadkach postąpiliśmy w istocie tak samo, jak wcześniej dla obszarów szczególnej postaci. Dodatkowego chwytu wymagają pozostałe przypadki.

    Przypadek 3. Załóżmy, że $ \Omega\cap Q=\{(x,y)\colon  y\in (c,d), a<x<\varphi(y)\} $. Wtedy $ F=\psi_l f $ znika dla $ y\in (c,d),x=a $. Bez zmniejszenia ogólności, (gładko) przedłużając $ F $ zerem, zakładamy, że $ F $ jest określona dla wszystkich $ x<\varphi(y) $. Piszemy, dokonując przy ustalonym $ y $ zamiany zmiennych $ x=t+\varphi(y) $,

\[ \begin{align*} \int_{Q\cap \Omega} \pcz{F}y(x,y)\; d\lambda_2(x,y) & = \int_c^{d}\biggl( \int_{-\infty}^{\varphi(y)}\pcz Fy (x,y)\; dx\biggr)	\; dy\\ &=\int_c^{d}\biggl( \int_{-\infty}^{0}\pcz Fy (t+\varphi(y),y)\; dt\;\biggr) dy=:I\, . \end{align*} \]

Oznaczmy $ \Phi(t,y)=F(t+\varphi(y),y) $ dla $ t\le 0 $ i $ y\in [c,d] $. Mamy wówczas

\[ \pcz\Phi y (t,y)=\pcz Fx \big(t+\varphi(y),y\big)\cdot \varphi'(y)+\pcz Fy (t+\varphi(y),y). \]

Zauważmy ponadto, że $ \Phi $ znika na dwóch półprostych $ t\le 0 $, $ y\in \{c,d\} $. Dlatego

\[ \int_c^d \frac {\partial\Phi}{\partial y}(t,y)\, dy=0\quad \mbox{dla $t\le 0$,} \qquad \int_{-\infty}^0\int_{b}^{d} \pcz\Phi y (t,y)\; dy\; dt= 0, \]

stąd zaś (i z twierdzenia Fubiniego) po ponownej, odwrotnej zamianie zmiennych (Pierwszą z wykonanych w tym przypadku zamian zmiennych nazywa się czasem prostowaniem brzegu): zauważmy, że dla $ t=x-\varphi(y) $ zbiór opisany równaniem $ x=\varphi(y) $ przeszedł na zbiór $ t=0 $. otrzymujemy

\[ \begin{align*} I &=\int_b^{d} \int_{-\infty}^{0}\pcz Fy (t+\varphi(y),y)\; dt\; dy =-\int_b^{d} \int_{-\infty}^0 \pcz Fx \big(t+\varphi(y),y\big)\cdot \varphi'(y)\; dt\; dy \\ & = -\int_b^{d}\varphi'(y) \int_{-\infty}^{\varphi(y)}\pcz Fx(x,y)\; dx\; dy = -\int_{b}^{d} F(\varphi(y),y)\varphi'(y)\; dy = -\int_{\partial\Omega\cap Q_l} F\, dx, \end{align*} \]

gdyż na brzegu $ x=\varphi(y) $, a w tym przypadku naturalna orientacja brzegu jest zgodna z kierunkiem osi $ y $.

W ostatnim przypadku brzeg obszaru jest wykresem funkcji $ x=\varphi(y) $, obszar zaś leży `z prawej strony' tego wykresu. Postępując tak samo, jak w przypadku 3, otrzymujemy ostatecznie

\[ \begin{equation} 	\label{brzegokostki} 	\int_{Q_l\cap \Omega} \pcz{(\psi_l f)}y \;d\lambda_2=-\int_{\partial Q_l\cap \Omega} \psi_l f\; dx, \qquad l=1,\ldots, k, \end{equation} \]

niezależnie od przypadku. Sumując takie wzory i pamiętając o rozbiciedg, otrzymujemy równość green-f z tezy twierdzenia Greena, gdyż $ \sum_{l=1}^k \psi_k=1 $ na $ \partial\Omega $.

Dowód wzoru green-g jest taki sam. □

Wniosek Niech $ \Omega\subset \R^2 $ będzie obszarem ograniczonym z brzegiem $ \partial \Omega $ klasy $ C^1 $. Wówczas

\[ 	\lambda_2(\Omega) = \frac 12 \int_{\partial\Omega} \big(x\, dy - y\, dx\big)= \int_{\partial\Omega} x\,dy = -\int_{\partial\Omega} y\,dx , 	\]

gdzie całki krzywoliniowe oblicza się, biorąc naturalną orientację brzegu.(#)

Dowód: Stosujemy twierdzenie Greena do $ f(x,y)=-y $ i $ g(x,y)=x $; wtedy $ \frac 12 (g_x-f_y)=-f_y=g_x=1 $. □

Przykład Obliczymy pole koła jednostkowego $ K $, posługując się Wnioskiem [link]. Parametryzacją brzegu koła (bez jednego punktu), dającą naturalną orientację brzegu, jest

\[ 	(0,2\pi)\ni t\longmapsto (\cos t, \sin t)\in\R^2\, , 	\]

zatem

\[ \frac 12 \int_{\partial K} x\, dy- y\, dx = \frac 12\int_0^{2\pi} (\cos^2 t + \sin^2 t)\, dt = \pi. \]
Uwaga Wzory Greena zachodzi w istocie dla ogólniejszych klas obszarów, np. dla obszarów ograniczonych z brzegiem $ \partial \Omega $ kawałkami klasy $ C^1 $\/, tzn. takich, że $ \partial \Omega $ jest obrazem pewnej różnowartościowej funkcji ciągłej $ \gamma\colon [0,T]\to \R^2 $, $ \gamma(0)=\gamma(T) $, przy czym odcinek $ [0,T] $ jest sumą skończonej liczby odcinków $ I_j=[t_j,t_{j+1}] $ o rozłącznych wnętrzach i $ \gamma\big|_{I_j} $ jest klasy $ C^1 $ na $ I_j $, zaś $ \|\gamma'\|>0 $ na $ I_j $. W szczególności, można korzystać z twierdzenia Greena i Wniosku [link] dla wszystkich wielokątów na płaszczyźnie.

\subsection*{Kiedy pole wektorowe jest gradientem funkcji?}

Opiszemy jeszcze związek wzoru Greena z następującym naturalnym pytaniem: Dane są dwie funkcje $ f,g\in C^1(\Omega) $, gdzie $ \Omega $ jest obszarem w $ \R^2 $; kiedy istnieje funkcja $ h\in C^2(\Omega) $ taka, że $ \text{\rm grad}\, h=(f,g) $ w $ \Omega $? Równoważnie: kiedy pole wektorowe $ V=(f,g) $ klasy $ C^1 $ wobszarze $ \Omega\subset \R^2 $ jest gradientem pewnej funkcji klasy $ C^2 $?

Nietrudno zauważyć, jaki jest warunek konieczny istnienia takiej funkcji $ h $. Jeśli $ h\in C^2 $ i $ h_x=f $, $ h_y=g $ w $ \Omega $, to dzięki równości pochodnych mieszanych drugiego rzędu funkcji $ h $ otrzymujemy

\[ \begin{equation} 	\label{fg konieczny} 	f_y=\big(h_x\big)_y=\big(h_y\big)_x=g_x\qquad\mbox{w $\Omega$.} \end{equation} \]

Wprowadźmy dodatkowy symbol: gdy $ A,B $ są dowolnymi zbiorami w $ \R^n $ i $ \overline A $ jest zwartym podzbiorem $ B $, to piszemy $ A\Subset B $. Załóżmy też milcząco, że odtąd wszystkie rozważane otwarte podzbiory $ U $ obszaru $ \Omega\subset \R^2 $ mają brzeg kawałkami klasy $ C^1 $. Dla dowolnego takiego zbioru $ U\Subset\Omega $ z warunku fg konieczny po zastosowaniu twierdzenia Greena otrzymujemy

\[ \begin{equation} 	\label{brzeg konieczny} 	\int_{\partial U} f\, dx + g\, dy = 0. \end{equation} \]

Na odwrót, jeśli brzeg konieczny zachodzi dla każdego $ U\Subset \Omega $, to wówczas $ f_y=g_x $ w $ \Omega $. Istotnie, wtedy

\[ 0=\int_{\partial K} f\, dx + g\, dy =\int_K (f_y-g_x)\; d\lambda_2 \qquad\mbox{dla każdego kwadratu $K\Subset \Omega$,} \]

stąd zaś wynika, że $ f_y-g_x\equiv 0 $ w $ \Omega $. (Proszę samodzielnie wykazać, że jeśli $ \int_K \varphi\; d\lambda_2=0 $ dla wszystkich kwadratów $ K\Subset\Omega $ i $ \varphi $ jest funkcją całkowalną, to $ \varphi =0 $ p.w.)

Okazuje się, że ten warunek można nieznacznie wzmocnić: jeśli $ (f,g)=\text{grad}\, h $, to całka z formy $ \omega = f\, dx+g\, dy $ znika dla każdej krzywej zamkniętej w $ \Omega $, nie tylko dla takiej, która jest brzegiem jakiegoś obszaru $ U\Subset\Omega $.

Stwierdzenie Niech $ f,g\in C^1(\Omega) $, gdzie $ \Omega $ jest obszarem w $ \R^2 $. Jeśli istnieje funkcja $ h\in C^2(\Omega) $ taka, że $ h_x=f $, $ h_y=g $ w $ \Omega $, to dla dowolnej krzywej zamkniętej $ \gamma\subset \Omega $ kawałkami klasy $ C^1 $ jest

\[ \begin{equation} 	\label{calka zamknieta} 	\int_\gamma f\, dx + g\, dy = 0\, . \end{equation} \]
Dowód: Oznaczmy $ \omega=f\, dx + g\, dy $. Jeśli $ \gamma=(\gamma_1,\gamma_2)\colon [0,1]\to\Omega $ jest krzywą (kawałkami) klasy $ C^1 $, a ponadto $ f=h_x $ i $ g=h_y $ w $ \Omega $, to z definicji całki z 1-formy i wzoru na pochodną złożenia otrzymujemy

\[ \begin{align*} \int_{\gamma} \omega &=\int_0^1 \Big(f(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) \gamma_1'(t) + g(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) \gamma_2'(t)\Big)\; dt\\ &=\int_0^1 \Big(h_x(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) \gamma_1'(t) + h_y(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) \gamma_2'(t)\Big)\; dt\\ &= \int_0^1 \frac{d}{dt}\Big(h\circ\gamma(t)\Big)\; dt = h(\gamma(1))-h(\gamma(0)). \end{align*} \]

(Interpretacja geometryczna tej równości jest prosta: całkując wzdłuż krzywej iloczyn skalarny gradientu i jednostkowego wektora stycznego, tzn. pochodną funkcji w kierunku stycznym, otrzymujemy przyrost funkcji wzdłuż tej krzywej). Jeśli krzywa $ \gamma $ jest zamk\-nię\-ta, to $ \gamma(1)=\gamma(0) $, więc $ \int_\gamma \omega=0 $.□

Uwaga Czytelnik zechce zauważyć, że rachunek w ostatnim dowodzie nie wymaga założenia, że $ \gamma\colon [0,1]\to \Omega $ jest funkcją różnowartościową. Funkcje $ \gamma\colon [a,b]\to \Omega $, które są kawałkami klasy $ C^1 $, nazywa się czasem - nie wymagając ich różnowartościowości - drogami (w obszarze $ \Omega $) idefiniuje się całkę z 1-formy wzdłuż drogi (tak samo, jak zdefiniowaliśmy całkę wzdłuż krzywej zorientowanej). Tezę stwierdzenia można zatem wzmocnić: jeśli $ \text{grad}\, h=(f,g) $ w $ \Omega $, to $ \int_\gamma f\, dx+g\, dy=0 $ dla każdej drogi zamkniętej.

Okazuje się natomiast, że żaden z równoważnych warunków fg konieczny i brzeg konieczny nie gwarantuje istnienia takiej funkcji $ h\in C^2(\Omega) $, że $ h_x=f $, $ h_y=g $.

Przykład Niech $ \Omega=\R^2\setminus\{(0,0)\} $. Połóżmy

\[ 	f(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2}, \qquad g(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}\qquad\mbox{dla $(x,y)\in \Omega$.} 	\]

Wtedy, jak łatwo sprawdzić bezpośrednim rachunkiem,

\[ f_y(x,y)=\frac{-x^2-y^2+2y^2}{\big(x^2+y^2\big)^2}=\frac{y^2-x^2}{\big(x^2+y^2\big)^2}=g_x(x,y) \qquad\mbox{w $\Omega$} \]

Jednak nie istnieje taka funkcja $ h\in C^2(\Omega) $, dla której $ f,g $ byłyby pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu, gdyż jeśli $ \gamma $ jest okręgiem jednostkowym (zorientowanym przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara), to

\[ \int_\gamma f\, dx + g\, dy = \int_0^{2\pi} \frac{(-\sin t)\cdot (-\sin t) + \cos^2 t}{\cos^2 t+\sin^2 t}\; dt = 2\pi\not=0, \]

tzn. nie zachodzi warunek konieczny calka zamknieta, podany w ostatnim stwierdzeniu. Zauważmy: okrąg jednostkowy nie jest brzegiem obszaru\/, który byłby zawarty w $ \Omega $.

Stwierdzenie (#) Jeśli $ \Omega $ jest obszarem na płaszczyźnie, $ f,g\in C^1(\Omega) $ i warunek

\[ 	\int_\gamma f\, dx + g\, dy = 0 	\]

zachodzi dla każdej drogi zamkniętej $ \gamma $ w $ \Omega $, to istnieje $ h\in C^2(\Omega) $ taka, że $ h_x=f $ i $ h_y=g $ w $ \Omega $.

    Szkic dowodu. Ustalmy punkt $ \pp_0\in \Omega $. Ponieważ $ \Omega $ jest zbiorem otwartym spójnym, więc każdy inny punkt $ \pp\in \Omega $ można połączyć z $ \pp_0 $ pewną łamaną $ \ell(\pp_0,\pp) $. Z założenia wynika, że liczba

\[ \begin{equation} 	\label{def pierwotnej h} 	h(\pp):=\int_{\ell(\mpp_0,\mpp)} f\, dx + g\, dy \end{equation} \]

nie zależy od wyboru tej łamanej.

Ustalmy $ \pp=(x,y)\in \Omega $. Funkcja $ [0,t]\ni s\mapsto \pp+s\ee_1\in \Omega $ parametryzuje odcinek $ [\pp,\pp+t\ee_1] $. Nietrudno sprawdzić, że dla małych $ t $ jest

\[ h(\pp+t\ee_1)-h(\pp)=\int_{[\mpp,\mpp+t\mee_1]} f\, dx + g\, dy = \int_0^t f(x+s,y)\, ds. \]

Stąd

\[ h_x(x,y)=\lim_{t\to 0}\frac{h(\pp+t\ee_1)-h(\pp)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac 1t \int_0^t f(x+s,y)\, ds = f(x,y). \]

Tak samo sprawdzamy, że $ h_y(x,y)=g(x,y) $ w $ \Omega $ (ćwiczenie). Oczywiście, $ h\in C^2 $, gdyż $ h_x,h_y\in C^1 $.□

Warunek dostateczny na to, by istniała funkcja $ h\in C^2(\Omega) $, dla której $ h_x=f $ i $ h_y=g $, jest w istocie połączeniem warunku topologicznego, nałożonego na obszar $ \Omega $, z warunkiem koniecznym $ f_y=g_x $. Aby sformułować twierdzenie, które o tym mówi, będziemy potrzebować jeszcze jednej definicji.

Definicja Niech $ \Omega\subset \R^2 $ będzie obszarem i niech $ \pp,\qq\in \Omega $. Mówimy, że drogi $ \gamma_0\colon [0,1]\to \Omega $ i $ \gamma_1\colon [0,1]\to \Omega $ takie, że $ \gamma_i(0)=\pp\in \Omega $ i $ \gamma_i(1)=\qq\in \Omega $ dla $ i=0,1 $homotopijne w $ \Omega $ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja ciągła $ H\colon [0,1]^2\to \Omega $ taka, że

    {(\roman{enumi})}

  1. $ H(i,s)=\gamma_i(s) $ dla wszystkich $ s\in [0,1] $ oraz $ i=0,1 $;
  2. $ H(t,0)=\pp $ i $ H(t,1)=\qq $ dla wszystkich $ t\in [0,1] $.

Sens tej definicji jest następujący: drogę $ \gamma_0 $ można w sposób ciągły zdeformować w zbiorze $ \Omega $ do $ \gamma_1 $, nie poruszając jej końców. O drogach $ \gamma_0,\gamma_1 $ takich, jak w powyższej definicji, będziemy mówić, że są krzywymi o wspólnych końcach.

Twierdzenie [warunek dostateczny całkowalności 1-formy] Niech $ \Omega\subset \R^2 $ będzie obszarem. Jeśli $ f,g\in C^1(\Omega) $ spełniają warunek $ f_y=g_x $, a ponadto każde dwie drogi o wspólnych końcach są homotopijne w $ \Omega $, to istnieje funkcja $ h\in C^2(\Omega) $ taka, że(#)

\[ 	h_x=f, \qquad h_y=g \qquad \mbox{w $\Omega$.} 	\]

W pełni ścisły dowód tego twierdzenia wymaga dość żmudnych i technicznych rozważań, dlatego ograniczymy się do poglądowego szkicu.

    Szkic dowodu. Krok 1. Jeśli dowolne dwie drogi o wspólnych końcach są homotopijne w $ \Omega $, to dowolne dwie łamane o wspólnych końcach są homotopijne w $ \Omega $ i można tę homotopię zrealizować za pomocą takiej funkcji $ H, $ że drogi $ H(t,\cdot) $ są łamanymi dla wszystkich $ t $. Wystarczy w tym celu zauważyć, że $ H\colon [0,1]^2\to\Omega $ jest jednostajnie ciągła, a następnie podzielić $ [0,1]^2 $ na drobne prostokąciki $ P_j $, $ j=1,\ldots, N^2 $, których obrazy są zawarte w dyskach $ D_\eps\Subset \Omega $ o małym promieniu $ \eps>0 $. Zostawiając wartości $ H $ w wierzchołkach $ P_j $ i odpowiednio modyfikując $ H $ w pozostałych punktach kwadratu $ [0,1]^2 $ - dyski $ D_\eps $ są wypukłe, więc punkty w nich można łączyć odcinkami - otrzymujemy żądaną homotopię.

Zauważmy ponadto, że można tę homotopię zbudować tak - dzieląc boki na odpowiednio krótkie odcinki i stopniowo przemieszczając je wewnątrz dysków $ D_\eps $ zawartych w $ \Omega $ - aby dla pewnego skończonego ciągu chwil $ t_i\in [0,1] $, przy dowolnym ustalonym $ i $, łamane $ \ell_i=H(t_i,\cdot) $ oraz $ \ell_{i+1}=H(t_{i+1},\cdot) $ miały ten sam zbiór boków, z dokładnością do co najwyżej dwóch boków każdej łamanej (przykład takiej sytuacji jest na rysunku).

    Krok 2. Jeśli dwie łamane $ \ell_0 $ i $ \ell_1 $ o wspólnych końcach są homotopijne w $ \Omega $, to (przy założeniu $ f_y=g_x $) zachodzi równość

\[ \int_{\ell_0} f\, dx +g\, dy = \int_{\ell_1} f\, dx +g\, dy\, . \]

To wynika z twierdzenia Greena i naszkicowanego wyżej opisu homotopii. (Proszę najpierw pomyśleć o dwóch łamanych, które pokrywają się niemal w całości, za wyjątkiem dwóch odcinków, patrz rysunek. Różnica całek po takich łamanych jest całką po obwodzie czworokąta z formy $ f\, dx +g\, dy $).

    Krok 3. Odtąd postępujemy tak, jak w dowodzie Stwierdzenia [link], definiując funkcję $ h $ wzorem def pierwotnej h, ustaliwszy wcześniej dowolny punkt początkowy $ \pp_0\in \Omega $, z którego wędruje się do innych punktów wzdłuż łamanych. □

Uwaga Nietrudno zauważyć, że założenie o homotopijności dróg o wspólnych końcach jest spełnione np. w każdym obszarze wypukłym (a także w każdym obszarze, który jest dyfeomorficzny z wypukłym). Ogólnie, obszary, w których to założenie jest spełnione, nazywa się jednospójnymi.

Formy wieloliniowe antysymetryczne

W tym podrozdziale $ S_k $ oznacza grupę permutacji. Przypomnijmy: znakiem permutacji $ \sigma\in S_k $ nazywa się liczbę

\[ \eps(\sigma)=(-1)^{p(\sigma)}, \qquad\mbox{gdzie}\quad  p(\sigma)=\#{}\{(i,j)\colon 1\le i< j\le k, \ \sigma(i)>\sigma(j)\}\, . \]

Znak permutacji $ \sigma $ jest równy $ 1 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \sigma $ jest złożeniem parzystej liczby transpozycji; jeśli $ \sigma $ jest złożeniem nieparzystej liczby transpozycji, to $ \eps(\sigma)=-1 $. Przekształcenie $ \eps\colon S_k\to \Z_2=\{-1,1\} $ jest homomorfizmem grup.

Definicja Niech $ k\in \N $ i niech $ X $ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $ \R $. Przekształcenie $ k $-liniowe $  	\omega\colon X^k=X\times \ldots \times X\to \R  $ nazywa się $ k $-formą antysymetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy równość

\[ \begin{equation}\label{antysym} \omega(\bxi_1,\ldots,\bxi_{i-1},\textcolor{blue}{\bxi_j} ,\bxi_{i+1},\ldots,\bxi_{j-1},\textcolor{blue}{\bxi_i},\bxi_{j+1},\ldots,\bxi_k) = - \omega(\bxi_1,\ldots,\bxi_k)	 \end{equation} \]

zachodzi dla wszystkich $ i,j\in \{1,\ldots,k\} $, $ i<j $, oraz wszystkich wektorów $ \bxi_1,\ldots,\bxi_k\in X $.

Zbiór wszystkich $ k $-form antysymetrycznych oznacza się symbolem $ \Lambda^kX^\ast $. Dla $ k=0 $ przyjmujemy $ \Lambda^0X^\ast=\R $. Dla $ k=1 $ warunek z definicji jest zawsze spełniony; wtedy $ \Lambda^1X^\ast=X^\ast $ jest przestrzenią wszystkich funkcjonałów liniowych na $ X $.

Uwaga Zbiór $ \Lambda^kX^\ast $ jest przestrzenią liniową. Jeśli forma $ \omega\in \Lambda^kX^\ast $ i permutacja $ \sigma\in S_k $, to

\[ 	\omega(\bxi_{\sigma(1)},\ldots,\bxi_{\sigma(k)})=\eps(\sigma)\cdot \omega(\bxi_1,\ldots,\bxi_{k}) 	\]

dla wszystkich wektorów $ \bxi_1,\ldots,\bxi_k\in X $. Wynika to z faktu, że każda permutacja jest złożeniem transpozycji.

Stwierdzenie Jeśli $ \omega\in \Lambda^kX^\ast $ i wektory $ \bxi_1,\ldots,\bxi_k\in X $ są liniowo zależne, to $ \omega(\bxi_1,\ldots,\bxi_{k})=0 $. W szczególności, $ \Lambda^kX^\ast=\{0\} $ dla $ k>\dim X $.
Dowód: Bez zmniejszenia ogólności załóżmy, że $ \bxi_1=a_2\bxi_2+\cdots a_k\bxi_k $. Z liniowości $ \omega $ względem pierwszego argumentu wynika, że

\[ \omega(\bxi_1,\ldots,\bxi_{k})=\sum_{j=2}^ka_j\, \omega(\bxi_j,\bxi_2,\ldots,\bxi_k). \]

Wobec antysym, każdy składnik sumy jest zerem (dwa spośród argumentów $ \omega $ są równe!). □

Przykład [baza i wymiar przestrzeni $ \Lambda^k (\R^n)^\ast $](#) Ustalmy $ k\in \{1,\ldots, n\} $. Niech $ X=\R^n $. Dla każdego uporządkowanego zestawu $ k $ różnych liczb

\[ \begin{equation} 		\label{J} J=(j_1,\ldots,j_k)\in \N^k, \qquad 1\le j_1<j_2<\ldots<j_k\le n		 \end{equation} \]

określimy odwzorowanie liniowe $ dx_J\colon \big(\R^n\big)^k\to \R $ wzorem

\[ \begin{equation} 	\label{dx J} 	dx_J(\bxi_1,\bxi_2,\ldots,\bxi_k)=\det\Big(\big(\bxi_{\mu,j_\nu} 	\big)_{\mu,\nu=1,\ldots,k}\Big)\, . \end{equation} \]

Ponieważ wyznacznik jest antysmetryczną funkcją kolumn (wierszy) macierzy, więc rzeczywiście $ dx_J\in \Lambda^k (\R^n)^\ast $. Zbiór wszystkich zestawów $ J $, określonych w J, oznaczymy symbolem $ \mathcal{J}_k(n) $. Jest rzeczą jasną, że $ \mathcal{J}_k(n) $ ma $ \binom nk $ elementów.

Wykażemy, że formy $ dx_J $, gdzie $ J\in \mathcal{J}_k(n) $, stanowią bazę $ \Lambda_k(\R^n)^\ast $. Niech $ \ee_1,\ldots,\ee_n $ będą wektorami standardowej bazy w $ \R^n $. Zauważmy, że dla $ I,J\in \mathcal{J}_k(n) $, $ J=(j_1,\ldots,j_k) $,

\[ {\dyj xI} (\ee_{j_1},\ldots,\ee_{j_k})=\delta_{IJ}=\begin{cases}1, & I=J, \\0, &\text{w przeciwnym przypadku.}\end{cases} \]

Wartości formy $ \omega\in \Lambda^k(\R^n)^\ast $ wystarczy określić na wszelkich układach wektorów bazy w $ \R^n $ (i każda forma jest przez te wartości określona jednoznacznie). Dlatego równość $ \omega=\sum_Ja_J\, dx_J $ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

\[ \begin{equation} 	\label{wzor aJ} 	\omega (\ee_{j_1},\ldots,\ee_{j_k})=a_J \qquad\mbox{dla wszystkich}\qquad J\in \mathcal{J}_k(n).  \end{equation} \]

Zatem formy $ dx_J $ istotnie są bazą $ \Lambda_k(\R^n)^\ast $ i mamy

\[ \begin{equation} 	\label{dim lambda k} 	\dim \Lambda_k(\R^n)^\ast=\#\mathcal{J}_k(n)=\binom nk \qquad\mbox{dla $k=1,\ldots,n$.} \end{equation} \]

    Interpretacja geometryczna. Zanim przejdziemy do kolejnej abstrakcyjnej definicji, wspomnijmy o geometrycznej interpretacji form $ {\dyj xI} $. Otóż, $ k $ liniowo niezależnych wektorów $ \bxi_1,\ldots,\bxi_k\in \R^n $ rozpina $ k $-wymiarowy równoległościan w $ \R^n $. Wobec wzoru dx J oraz geometrycznej interpreatcji wyznacznika, liczba $ {\dyj xI}(\bxi_1,\ldots,\bxi_k) $ jest, z dokładnością do znaku, $ k $-wymiarową objętością rzutu tego równoległościanu na $ k $-wymiarową podprzestrzeń $ \R^I\subset\R^n $, rozpiętą na wektorach $ \ee_{i_1},\ldots,\ee_{i_k} $, gdzie zestaw numerów $ (i_1,\ldots,i_k)=I $. Znak zależy od tego, czy rzuty wektorów $ \xi_j $ na $ \R^I $ tworzą bazę zorientowaną zgodnie ze standardową bazą $ \R^I $, czy nie.

Definicja [iloczyn zewnętrzny] Niech $ k,l\in \N $. Iloczynem zewnętrznym form $ \alpha\in \Lambda^k X^\ast $ i $ \beta\in \Lambda^l X^\ast $ nazywamy formę $ \alpha\wedge\beta\in \Lambda^{k+l}X^\ast $ określoną wzorem

\[ 	\alpha\wedge\beta(\bxi_1,\ldots,\bxi_{k+l})=\sum_{\sigma\in S_{k,l}} \eps(\sigma)\, \alpha(\bxi_{\sigma(1)},\ldots,\bxi_{\sigma(k)})\, \beta(\bxi_{\sigma(k+1)},\ldots,\bxi_{\sigma(k+l)}) 	\]

gdzie $ S_{k,l} $ oznacza podzbiór grupy permutacji $ S_{k+l} $ złożony z tak zwanych $ (k,l) $-tasowań,

\[ S_{k,l}=\big\{\sigma\in S_{k+l}\; \colon\quad \sigma(1)<\ldots <\sigma(k),\quad \sigma(k+1)<\ldots <\sigma(k+l)\big\}\, . \]

Dla $ c\in \Lambda^0X^\ast\equiv \R $ i $ \alpha\in \Lambda^kX^\ast $ przyjmujemy $ c\wedge\alpha=c\,\alpha\in\Lambda^kX^\ast $.

Na przykład, dla $ \alpha,\beta\in \Lambda^1X^\ast $ oraz $ \gamma\in \Lambda^2X^\ast $ mamy wprost z definicji

\[ \begin{align*} (\alpha\wedge\beta)(\bxi,\bta)&=\alpha(\bxi)\beta(\bta)-\alpha(\bta)\beta(\bxi),\\ (\alpha\wedge\gamma)(\bxi,\bta,\bzeta)&=\alpha(\bxi)\gamma(\bta,\bzeta)-\alpha(\bta)\gamma(\bxi,\bzeta) +\alpha(\bzeta)\gamma(\bxi,\bta)\\ &= \alpha(\bxi)\gamma(\bta,\bzeta)+\alpha(\bta)\gamma(\bzeta,\bxi) +\alpha(\bzeta)\gamma(\bxi,\bta) \end{align*} \]

(ostatnia równość wynika z antysymetrii $ 2 $-formy $ \gamma $).

Wprost z definicji wynika też, że iloczyn zewnętrzny $ \alpha\wedge\beta $ jest przekształceniem dwuliniowym, tzn. zależy liniowo od każdego z czynników $ \alpha,\beta $ z osobna.

Lemat [własności iloczynu zewnętrznego] (#) Niech $ k,l,m\in \N\cup\{0\} $. Wówczas:

  1. dla $ \alpha\in \Lambda^k X^\ast $ i $ \beta\in \Lambda^l X^\ast $ jest
    \[ \alpha\wedge\beta=(-1)^{kl}	\beta\wedge\alpha \, ; 	\]
  2. iloczyn zewnętrzny jest łączny, tzn.
    \[ 	(\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma=\alpha\wedge(\beta\wedge\gamma) \qquad\mbox{dla}\quad \alpha\in \Lambda^k X^\ast, \ \beta\in \Lambda^l X^\ast, \ \gamma\in \Lambda^m X^\ast; 	\]
  3. dla wszystkich $ J=(j_1,\ldots,j_k)\in\mathcal{J}_k(n) $ jest
    \[ dx_J=dx_{j_1}\wedge\ldots\wedge dx_{j_k}\, . \]
Dowód: Własność (i) wynika łatwo wprost z definicji; trzeba zauważyć, że każde tasowanie $ \sigma\in S_{k,l} $ można zmienić w tasowanie ze zbioru $ S_{l,k} $ za pomocą $ kl $ transpozycji (przestawień).

Aby wykazać łączność, wprowadzimy zbiór `potrójnych tasowań'

\[ S_{k,l,m}=\left\{\sigma\in S_{k+l+m}\ \Bigg|\quad  \begin{array}{l} \sigma(1)< \ldots <\sigma(k), \\ \sigma(k+1)<\ldots <\sigma(k+l), \\ \sigma(k+l+1)<\ldots <\sigma(k+l+m) \end{array} \right\} \]

Zarówno $ \big((\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma\big)(\bxi_1,\ldots,\bxi_{k+l+m}) $, jak i $ \big(\alpha\wedge(\beta\wedge\gamma)\big)(\bxi_1,\ldots,\bxi_{k+l+m}) $ są, z definicji iloczynu zewnętrznego i własności znaku permutacji, równe liczbie

\[ \sum_{\sigma\in S_{k,l,m}} \eps(\sigma)\,  \alpha(\bxi_{\sigma(1)},\ldots,\bxi_{\sigma(k)})\, \beta(\bxi_{\sigma(k+1)},\ldots,\bxi_{\sigma(k+l)})\, \gamma(\bxi_{\sigma(k+l+1)},\ldots,\bxi_{\sigma(k+l+m)})\, . \]

Stąd wynika łączność mnożenia zewnętrznego. Iterując powyższy wzór, otrzymuje się przez indukcję, dla wszystkich $ 1 $-form $ \alpha_1,\ldots,\alpha_k\in X^\ast=\Lambda^1X^\ast $ i wektorów $ \bxi_1,\ldots,\bxi_k\in X $, równość

\[ \begin{equation} 	\begin{split} (\alpha_1\wedge\ldots\wedge\alpha_k)(\bxi_1,\ldots,\bxi_k)  &= \sum_\sigma \eps(\sigma)\cdot \alpha_1(\bxi_{\sigma(1)})\cdot\alpha_2(\bxi_{\sigma(2)})\cdot\ldots\cdot \alpha_k(\bxi_{\sigma(k)})\, \\ &=\det\Big(\big(\alpha_\nu(\bxi_{\mu}) \big)_{\mu,\nu=1,\ldots,k}\Big)\, . \end{split}	 \end{equation} \]

Kładąc $ X=\R^n $ oraz $ \alpha_\nu=dx_{j_\nu} $, otrzymujemy punkt (iii) tezy lematu.□

Definicja [przeciągnięcie formy] Jeśli $ A\colon X\to Y $ jest przekształceniem liniowym i $ \omega\in \Lambda^kY^\ast $, to formę $ A^\ast\omega \in \Lambda^kX^\ast $, nazywaną przeciągnięciem $ \omega $ za pomocą $ A $, definiujemy wzorem

\[ A^\ast\omega(\bxi_1,\ldots,\bxi_k)= \omega(A\bxi_1,\ldots,A\bxi_k)\, ,\qquad \bxi_j\in X \mbox{ dla $j=1,\ldots, k$.} \]

Przyporządkowanie $ \omega\mapsto A^\ast \omega $ jest przekształceniem liniowym z $ \Lambda^kY^\ast $ w $ \Lambda^k X^\ast $. Odnotujmy inne jego własności.

Stwierdzenie (#)

  1. Jeśli $ A\colon X\to Y $ i $ B\colon Y\to Z $ są przekształceniami liniowymi, to $ (B\circ A)^\ast\omega=A^\ast(B^\ast\omega) $ dla każdej $ k $-formy $ \omega\in \Lambda^k Z^\ast $.
  2. Wzór $ A^\ast (\alpha  		\wedge \beta) = A^\ast\alpha \wedge A^\ast\beta $ zachodzi dla wszystkich $ A\colon X\to Y $ liniowych oraz wszystkich $ \alpha\in \Lambda^kY^\ast $, $ \beta\in \Lambda^lY^\ast $.
  3. Jeśli $ A=\big(a_{ij}\big) $, gdzie $ {i=1,\ldots,n} $, $ {j=1,\ldots,m} $, jest przekształceniem liniowym z przestrzeni $ \R^m $ w $ \R^n $, przy czym współrzędnymi w $ \R^n $ i $ \R^m $ są, odpowiednio, $ \yy=(y_1,\ldots,y_n) $ i $ \xx=(x_1,\ldots,x_m) $, to wówczas
    \[ \begin{equation} 		\label{linpull dyJ} 		A^\ast({\dyj yJ})=\sum_{I\in \mathcal{J}_k(m)} \det A(J,I)\; {\dyj xI} \qquad\mbox{dla $J\in \mathcal{J}_k(n)$,}	 	\end{equation} \]

    gdzie symbol $ A(J,I) $ oznacza macierz $ k\times k $, powstającą z $ A $ przez wybór wierszy onumerach ze zbioru $ J\in \mathcal{J}_k(n) $ oraz kolumn o numerach ze zbioru $ I\in \mathcal{J}_k(m) $.

Dowód: Pierwsze dwie własności wynikają wprost z definicji; (i) jest praktycznie oczywista, natomiast dowód (ii) jest prostym ćwiczeniem, polegającym na wypisaniu definicji przeciągnięcia, definicji iloczynu zewnętrznego i raz jeszcze definicji przeciągnięcia. Szczegóły pozostawimy Czytelnikowi.

Dla dowodu (iii) skorzystamy z rachunków przeprowadzonych w Przykładzie [link]: jeśli $ \omega=A^\ast({\dyj yJ}) $, to równość

\[ \omega=\sum_{I\in \mathcal{J}_k(m)} {\bigi cI}\; {\dyj xI}, \]

wyrażająca formę $ \omega $ w bazie $ {\dyj xI} $, $ I\in \mathcal{J}_k(m) $, zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zestawu $ I=(i_1,i_2,\ldots,i_k) $ jest

\[ \begin{align*} 	{\bigi cI}=\omega(\ee_{i_1},\ldots,\ee_{i_k}) & = (A^\ast {\dyj yJ}) (\ee_{i_1},\ldots,\ee_{i_k})\\ 	& = \dyj yJ (A\ee_{i_1},\ldots,A\ee_{i_k})\\ 	& = \det \Big( 	\big((A\ee_{i_\mu})_{j_\nu}\big)_{\mu,\nu=1,\ldots,k} 	\Big) = \det A(J,I), \end{align*} \]

gdyż wektory $ A\ee_{i_\mu} $ są po prostu kolumnami macierzy przekształcenia $ A $. □

Formy różniczkowe

Definicja [forma różniczkowa rzędu $ k $] Niech $ U\subset \R^n $ będzie zbiorem otwartym. Formą różniczkową rzędu $ k $ i klasy $ C^\infty $ na zbiorze $ U $, lub krótko: gładką $ k $-formą różniczkową na $ U $, nazywamy przekształcenie

\[ 	\omega\colon U\times \big(\R^n\big)^k\to \R 	\]

klasy $ C^\infty $, takie, że dla każdego punktu $ \xx\in U $ przekształcenie

\[ \begin{equation} 	\label{o x} 	\big(\R^n\big)^k\ni (\bxi_1,\ldots,\bxi_k)\longmapsto \omega(\xx;\bxi_1,\ldots,\bxi_k)\in \R \end{equation} \]

jest $ k $-formą antysymetryczną, tzn. elementem przestrzeni $ \Lambda^k\big(\R^n\big)^k $.

    Uwaga. Jeśli $ \omega\colon U\times \big(\R^n\big)^k\to \R $ jest $ k $-formą różniczkową, to odwozorowanie o x oznacza się symbolem $ \omega_{\mxx} $, tzn.

\[ \omega_{\mxx} (\bxi_1,\ldots,\bxi_k)=\omega(\xx;\bxi_1,\ldots,\bxi_k) \]

dla wszystkich $ \bxi_1,\ldots,\bxi_k\in \R^n $. Można więc utożsamić $ \omega $ z przekształceniem gładkim

\[ U\ni\xx\longmapsto \omega_{\mxx}\in \Lambda^k\big(\R^n\big)^\ast \]

o wartościach w przestrzeni $ k $-form antysymetrycznych. Zgodnie z Przykładem [link], dla każdego $ \xx\in U $ formę $ \omega_{\mxx} $ można wyrazić jako kombinację form bazowych $ {\dyj xI} $,

\[ \omega_{\mxx}=\sum_{I\in \mathcal{J}_k(n)} {\bigi aI}(\xx)\; {\dyj xI}, \qquad {\bigi aI}\in C^\infty(U)\, , \]

przy czym $ {\bigi aI}(\xx)=\omega_{\mxx}(\ee_{i_1},\ldots, \ee_{i_k}) $ dla $ I=(i_1,\ldots, i_k) $, na mocy wzoru wzor aJ na współczynniki formy w bazie.

Zbiór wszystkich $ k $-form różniczkowych na $ U\subset \R^n $ oznacza się

\[ \Omega^k(U):=C^\infty\big(\Omega, \Lambda^k(\R^n)^\ast\big)\, . \]

Uwaga. Iloczyn zewnętrzny form różniczkowych będziemy oznaczać tak samo, jak iloczyn zewnętrzny form liniowych; dla $ \alpha\in \Omega^k(U),\beta\in \Omega^\ell(U) $ przyjmujemy

\[ (\alpha\wedge\beta)_{\mxx}:= \alpha_{\mxx}\wedge\beta_{\mxx}\in \Lambda^{k+l}(\R^n)^\ast\, . \]

We współrzędnych pisze się po prostu

\[ \biggl(\sum_I {\bigi aI}\, {\dyj xI}\biggl)\wedge \biggl(\sum_J {\bigi b J}\, dx_J\biggl) = \sum_{I,J} {\bigi aI}{\bigi b J} {\dyj xI}\wedge dx_J\, . \]

Przeciąganie form różniczkowych. Różniczka zewnętrzna.

Niech $ U\subset \R^n $ i $ V\subset \R^m $ będą zbiorami otwartymi, zaś $ f\colon V\to U $ - przekształceniem gładkim.

Definicja (#) Jeśli $ \omega\in \Omega^k(U) $ jest $ k $-formą różniczkową na $ U\subset \R^n $, to przeciągnięciem $ \omega $ za pomocą $ f $ nazywamy formę $ f^\ast\omega\in \Omega^k(V) $, określoną wzorem

\[ 	f^\ast\omega(\xx;\bxi_1,\ldots,\bxi_k):= 	\omega(f(\xx);Df(\xx)\bxi_1, \ldots,Df(\xx)\bxi_k), \qquad\xx\in V, \quad \bxi_1,\ldots,\bxi_k\in \R^m\, . 	\]

Przeciąganie form różniczkowych, traktowane - dla ustalonego\/ odwzorowania $ f $ - jako przekształcenie

\[ \Omega^k(U)\ni \omega \mapsto f^\ast\omega\in \Omega^k(V), \]

jest, podobnie jak przeciąganie form liniowych za pomocą odzworowań liniowych, przekształceniem liniowym z $ \Omega^k(U) $ w $ \Omega^k(V) $. Oto jego najważniejsze własności.

Stwierdzenie (#) Niech $ U\subset \R^n $, $ V\subset \R^m $ i $ W\subset \R^p $ będą zbiorami otwartymi, zaś $ f\colon V\to U $, $ g\colon W\to V $ - odwzorwaniami gładkimi.

  1. Dla $ \omega\in \Omega^k(U) $ jest $ (f\circ g)^\ast\omega=g^\ast f^\ast\omega $.
  2. Dla $ \alpha\in \Omega^k(U) $, $ \beta\in \Omega^\ell(U) $ mamy
    \[ 	f^\ast(\alpha\wedge \beta)=(f^\ast\alpha) \wedge (f^\ast\beta)\in \Omega^{k+\ell} (V). 	\]
  3. Jeśli współrzędnymi w $ \R^n $ i $ \R^m $ są, odpowiednio, $ \yy=(y_1,\ldots,y_n) $ i $ \xx=(x_1,\ldots,x_m) $, zaś $ \omega={\bigi b J}{\dyj yJ}\in \Omega^k(U) $, gdzie $ J\in \mathcal{J}_k(n) $ i $ {\bigi b J}\in C^\infty(U) $ są dane, to wówczas
    \[ \begin{equation} 	f^\ast\omega=\sum_{I\in \mathcal{J}_k(m)} ({\bigi b J}\circ f)\, \det\left(\pcz{{\bigi f J}}{{\bigi x I}}\right) \; {\dyj xI}  	\label{pull dyJ}, \end{equation} \]

    gdzie symbol

    \[ \pcz{{\bigi f J}}{{\bigi x I}} = \left(\pcz{f_{j_\nu}}{x_{i_\mu}}\right)_{\mu,\nu=1,\ldots,k}\, , \qquad I=(i_1,\ldots,i_k),\ J=(j_1,\ldots,j_k) \]

    oznacza macierz $ k\times k $, powstającą z macierzy Jacobiego $ Df $ przez wybór wierszy onumerach $ j_{\nu}\in J $ i kolumn o numerach $ i_\mu\in I $.

Dowód: Punkty (i)oraz(ii) otrzymujemy, podobnie jak odpowiadające im części Stwierdzenia [link], wprost z definicji. Wzór pull dyJ wynika od razu ze wzoru linpull dyJ wStwierdzeniu [link] i Definicji [link]. Zachęcamy Czytelnika do samodzielnego przemyślenia tych zdań i(mechanicznego, w gruncie rzeczy) wypisania odpowiednich wzorów. □

Przykład

    {{\rm (\alph{enumi})}}

  1. Niech $ \omega\in \Omega^1(U) $, $ U\subset \R^n $. Wówczas, zgodnie z podanym wcześniej opisem bazy w przestrzeni $ \Lambda^1(\R^n)^\ast $ $ 1 $-form antysymetrycznych,
    \[ 	\omega = \sum_{j=1}^n \omega_j\, dx_j, \qquad\mbox{gdzie } \omega_j\in C^\infty(\Omega). 	\]

    Zastosujmy wzór pull dyJ do formy $ \omega $ i funkcji gładkiej $ f\colon [0,1]\to U\subset \R^n $ (parametryzacji pewnej krzywej w $ U $). Oznaczając zmienną na odcinku $ [0,1] $ literą $ t $, otrzymamy

    \[ \begin{eqnarray*} 	f^\ast\omega &= & \sum_{j=1}^n f^\ast(\omega_j\, dx_j) \qquad\mbox{wobec liniowości  $\omega\mapsto f^\ast\omega$}\\ &\stackrel{\eqref{pull dyJ}}=&\sum_{j=1}^n \big(\omega_j\circ f\big) \; \frac{df_j}{dt}\; dt\, . \end{eqnarray*} \]

    Proszę porównać ten wynik z definicją całki z $ 1 $-formy.

  2. Niech $ U=\R^2\setminus \{\zero\} $, $ V=(0,\infty)\times\R $, zaś $ f\colon V\to U $ niech będzie dane wzorem
    \[ f(r,\theta)=(r\cos \theta,r\sin\theta). \]

    Inaczej mówiąc, $ x=f_1(r,\theta)=r\cos\theta $ i $ y=f_2(r,\theta)=r\sin\theta $ to zwykłe współrzędne kartezjańskie wyrażone za pomocą współrzędnych biegunowych $ (r,\theta)\in V $. Wzór pull dyJ daje w tym przypadku

    \[ \begin{align*} 	f^\ast(dx) & = \pcz{f_1}{r}\, dr + \pcz{f_1}{\theta}\, d\theta =\cos\theta\; dr -r\sin\theta 	\; d\theta\\ 	f^\ast(dy) & = \pcz{f_2}{r}\, dr + \pcz{f_2}{\theta}\, d\theta =\sin\theta\; dr +r\cos\theta 	\; d\theta\, . \end{align*} \]

    Stosując Stwierdzenie [link](ii), otrzymujemy po nieskomplikowanym rachunku, wykorzystując zależności $ dr\wedge dr=0=d\theta\wedge d\theta $, $ dr\wedge d\theta=-d\theta\wedge dr $, wynik

    \[ f^\ast(dx\wedge dy) = f^\ast(dx)\wedge f^\ast(dy)=r\; dr\wedge d\theta. \]

    Zauważmy, że to po prostu inny sposób wyrażenia zależności $ \det Df(r,\theta)=r $. □

Definicja [różniczka zewnętrzna] Operator

\[ 	d\colon \Omega^k(U)\to \Omega^{k+1}(U)\, , 	\]

określony wzorem

\[ \begin{equation} 	\label{d abstr} 	\begin{split} 	d\omega(\xx;\bxi_0,\bxi_1,\ldots,\bxi_k)&:=\sum_{i=0}^k(-1)^i\frac{d}{ds}\bigg|_{s=0}{\omega}(\xx+s\bxi_i,\bxi_0,\ldots,\bxi_{i-1},\bxi_{i+1},\ldots,\bxi_k)\\	 	&=\sum_{i=0}^k\sum_{\nu=1}^n (-1)^i\bxi_{i,\nu}\pcz{\omega}{x_\nu}(\xx,\bxi_0,\ldots,\bxi_{i-1},\bxi_{i+1},\ldots,\bxi_k), \end{split} \end{equation} \]

gdzie $ \xx\in \Omega $, $ \bxi_0,\ldots,\bxi_k\in \R^n $ oraz $ \bxi_i=(\bxi_{i,\nu})_{\nu=1,\ldots,n} $, nazywa się różniczką zewnętrzną.

Przykład Niech $ k=0 $; każda $ 0 $-forma różniczkowa $ f\in \Omega^0(U) $ to po prostu funkcja gładka $ f\colon U\to \R $. W tym przypadku wzór na różniczkę zewnętrzną oznacza, że

\[ 	(df)_{\mxx}(\bxi)=df(\xx;\bxi) = \sum_{\nu=1}^n \bxi_{\nu}\pcz{f}{x_\nu}(\xx) = Df(\xx)\bxi. 	\]

Różniczka zewnętrzna formy $ f\in \Omega^0(U) $ przyporządkowuje więc punktowi $ \xx\in U $ przekształcenie liniowe $ (df)_{\mxx}=Df(\xx)\in \Lambda^1(\R^n)^\ast=(\R^n)^\ast $, które dobrze znamy: zwykłą różniczkę funkcji $ f $ w punkcie $ \xx $. Stosuje się często zapis

\[ df=\sum_{j=1}^n \pcz{f}{x_j}\; dx_j\, . \]

Podstawiając $ f(\xx)=x_j $, odnajdzie Czytelnik jedno z możliwych wyjaśnień, dlaczego rzut na $ j $-tą oś oznaczaliśmy w poprzednim podrozdziale symbolem $ dx_j $. □

Twierdzenie [własności różniczki zewnętrznej] Niech $ U $ będzie zbiorem otwartym w $ \R^n $. Operator $ d\colon \Omega^k(U)\to \Omega^{k+1}(U) $ jest liniowy. Ponadto:(#)

  1. Jeśli $ \omega=a_J\, dx_J, $ gdzie $ a_J\in C^\infty(U) $ i $ J\in\mathcal{J}_k(n) $, to wówczas
    \[ \begin{equation} 			\label{d wspolrz} 			d\omega=\sum_{\nu=1}^n \pcz{a_J}{x_\nu}\; dx_\nu\wedge dx_J= da_J\wedge dx_J\, ; 	\end{equation} \]
  2. Dla $ \alpha\in \Omega^k(U) $ oraz $ \beta\in \Omega^\ell(U) $ mamy
    \[ \begin{equation} 	\label{d wedge} 	d(\alpha\wedge\beta)=(d\alpha)\wedge\beta + (-1)^k\alpha\wedge d\beta\, ; \end{equation} \]
  3. Dla każdej formy $ \omega\in \Omega^k(U) $ jest $ d(d\omega)=0\, ; $
  4. Dla każdego $ f\in C^\infty(V,U) $, gdzie $ V\subset \R^m $ jest otwarty, mamy $ d(f^\ast\omega)=f^\ast(d\omega). $
Dowód: Liniowość różniczki zewnętrznej jest oczywista. Najpierw udowodnimy punkt (i). Niech $ \omega=a_J\, dx_J $. Z definicji,

\[ \begin{align*} 	d\omega(\xx;\bxi_0,\bxi_1,\ldots,\bxi_k) &=\sum_{i=0}^k\sum_{\nu=1}^n (-1)^i\bxi_{i,\nu}\pcz{\omega}{x_\nu}(\xx,\bxi_0,\ldots,\bxi_{i-1},\bxi_{i+1},\bxi_k)\\ 	& = \sum_{i=0}^k\sum_{\nu=1}^n (-1)^i\bxi_{i,\nu}\pcz{a_J}{x_\nu}(\xx)\, dx_J\, (\bxi_0,\ldots,\bxi_{i-1},\bxi_{i+1},\bxi_k)\\ 	& = \sum_{\nu=1}^n \pcz{a_J}{x_\nu}(\xx)\; 	%\textcolor{blue} 	{\biggl(\sum_{i=0}^k (-1)^i\bxi_{i,\nu} \, dx_J\, (\bxi_0,\ldots,\bxi_{i-1},\bxi_{i+1},\bxi_k)\biggr)}\\ 	& = \sum_{\nu=1}^n \pcz{a_J}{x_\nu}(\xx)\, \cdot\,  %\textcolor{blue} 	{(dx_\nu\wedge dx_J)\big(\bxi_0,\ldots,\bxi_k\big)}\, .	 \end{align*} \]

Pisząc ostatnią równość, skorzystaliśmy z definicji iloczynu zewnętrznego form liniowych $ dx_\nu\in \Lambda^1(\R^n)^\ast $ oraz $ dx_J\in \Lambda^k(\R^n)^\ast $.

Własność (ii), dzięki liniowości $ d $, wystarczy wykazać dla $ \alpha=a\, {\dyj xI} $ i $ \beta=b\, dx_J $, gdzie $ a,b\in C^\infty(U) $ są funkcjami gładkimi, $ I\in \mathcal{J}_k(n) $, $ J\in\mathcal{J}_\ell(n) $. Ze wzoru na pochodną iloczynu oraz punktu (i) otrzymujemy

\[ \begin{align*} d(\alpha\wedge\beta) &=d\big(ab\; {\dyj xI}\wedge dx_J\big)=\sum_{\nu=1}^n \pcz{(ab)}{x_\nu} dx_\nu\wedge {\dyj xI}\wedge dx_J\\ & = \sum_{\nu=1}^n \pcz{a}{x_\nu}\, b\;  dx_\nu\wedge {\dyj xI}\wedge dx_J + \sum_{\nu=1}^n \pcz{b}{x_\nu}\, a\;  dx_\nu\wedge {\dyj xI}\wedge dx_J\\ & = \biggr(\sum_{\nu=1}^n \pcz{a}{x_\nu}\,  dx_\nu\wedge {\dyj xI}\biggl) \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge\biggl(\sum_{\nu=1}^n \pcz{b}{x_\nu}\;  dx_\nu \wedge dx_J\biggr)\\ & = (d\alpha)\wedge\beta + (-1)^k\alpha\wedge (d\beta) \end{align*} \]

Ostatnia równość wynika ze wzoru d wspolrz, zaś w przedostatniej znak $ (-1)^k $ pojawia się dlatego, że $ I\in \mathcal{J}_k(n) $: wtedy

$$dx_\nu\wedge {\dyj xI}=dx_\nu\wedge dx_{i_1}\wedge\ldots \wedge dx_{i_k}=(-1)^k  dx_{i_1}\wedge\ldots \wedge dx_{i_k} \wedge dx_\nu = (-1)^k{\dyj xI}\wedge dx_\nu\, ,$$

patrz Lemat [link](i).

Udowodnimy teraz własność (iii), tzn. równość $ d\circ d=0 $. Dla $ 0 $-form, tj. funkcji $ f\in C^\infty (U) $, otrzymujemy dzięki twierdzeniu Schwarza o symetrii $ D^2 f $ równość

\[ \begin{align*} 	d(df)  = d\biggl(\sum_{\nu=1}^n\pcz{f}{x_\nu}\, dx_\nu\biggr) &= \sum_{\mu,\nu=1}^n \pcz{}{x_\mu}\left(\pcz{f}{x_\nu}\right) dx_\mu\wedge dx_\nu\\ &=\sum_{1\le \mu<\nu\le n} \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_\mu\, \partial x_\nu}-\frac{\partial^2f }{\partial x_\nu\, \partial x_\mu}\right)\, dx_\mu\wedge dx_\nu = 0\, .	 \end{align*} \]

Z definicji, $ d(dx_J)=0 $ dla każdego $ J\in \mathcal{J}_k(n) $, więc dla $ \omega=a\, dx_J\in \Omega^k(U) $, gdzie $ a\in C^\infty(U) $ jest dowolną funkcją, otrzymujemy dzięki udowodnionym już własnościom(i) oraz(ii)

\[ d(d\omega)= d\big(da \wedge dx_J) = d(da)\wedge dx_J + 0 = d(da)=0\, . \]

Stąd już wynika, że $ d\circ d=0 $ na $ \Omega^k(U) $.

Pozostaje wykazać (iv). Niech $ f=(f_1,\ldots,f_n) $, gdzie $ f_i\colon V\to \R $ są klasy $ C^\infty(V) $. Jeśli $ \omega\in \Omega^0(U)=C^\infty(U) $ jest $ 0 $-formą, czyli funkcją gładką, to $ f^\ast\omega= \omega\circ f $. Wzór

\[ \begin{equation} 	f^\ast(d\omega)=d(f^\ast\omega) \label{pull d 0}	 \end{equation} \]

wynika wtedy od razu ze wzoru na różniczkę złożenia. Dla $ \omega(\yy)=y_j $ otrzymujemy stąd w szczególności \begin{equation*} (#) f^\ast(dy_j)=df_j, \qquad j=1,\ldots, n, \end{equation*} a następnie, korzystając ze Stwierdzenia [link](ii), \begin{equation*} (#) d(f^\ast {\dyj yJ}) = df_{j_1}\wedge\ldots \wedge df_{j_k}\qquad\mbox{dla wszystkich zestawów $ J\in \mathcal{J}_k(n) $.} \end{equation*} Z tej równości, stosując własność (ii) i równość $ d\circ d=0 $, otrzymujemy

\[ \begin{equation} 	\label{d fgw dy} 	d\big(f^\ast({\dyj yJ})\big)=0 \qquad\mbox{dla wszystkich zestawów $J\in \mathcal{J}_k(n)$.} \end{equation} \]

Niech teraz $ \omega=\sum_{J\in\mathcal{J}_k(n)} {\bigi \omega J}\; {\dyj yJ} $, gdzie współczynniki $ {\bigi \omega J}\in C^\infty(U) $ są funkcjami. Zachodzą wtedy równości

\[ \begin{eqnarray*} d(f^\ast\omega) &\stackrel{\text{Stw.\ref{pullback2}(ii)}}= & d\bigg(\sum_{J\in\mathcal{J}_k(n)}(f^\ast {\bigi \omega J}) f^\ast({\dyj yJ})\bigg)\\ & \stackrel{\eqref{d wedge}, \ \eqref{d  fgw dy}}=& \sum_{J\in\mathcal{J}_k(n)}d(f^\ast {\bigi \omega J}) \wedge f^\ast({\dyj yJ}) \\ & \stackrel{\eqref{pull d 0}}=& \sum_{J\in\mathcal{J}_k(n)}f^\ast (d{\bigi \omega J}) \wedge f^\ast({\dyj yJ})	\\ & \stackrel{\text{Stw.\ref{pullback2}(ii)}}=& f^\ast\bigg(\sum_{J\in\mathcal{J}_k(n)}(d{\bigi \omega J}) \wedge {\dyj yJ}\bigg)\ \stackrel{\eqref{d wspolrz}}=\ f^\ast(d\omega)\, .	 \end{eqnarray*} \]

Dowód całego twierdzenia jest zakończony. □

Definicja Mówimy, że forma $ \omega\in \Omega^{k}(U) $ jest zamknięta, jeśli $ d\omega=0 $. Mówimy, że forma $ \omega\in \Omega^{k}(U) $ jest dokładna, jeśli $ \omega=d\eta $ dla pewnego $ \eta\in \Omega^{k-1}(U) $.

Przy użyciu tego języka część własności różniczki zewnętrznej, opisanych w ostatnim twierdzeniu wypowiada się krótko:

Stwierdzenie Każda forma dokładna $ \omega\in \Omega^k(U) $ jest zamknięta. Ponadto, jeśli $ f\colon \R^m\supset V\to U\subset \R^n $ jest klasy $ C^\infty $, a forma $ \omega\in \Omega^{k}(U) $ jest zamknięta (odpowiednio: dokładna), to forma $ f^\ast\omega\in \Omega^k(V) $ też jest zamknięta (odpowiednio: dokładna).
Dowód: Pierwsza część wynika z równości $ d\circ d=0 $, a druga z przemienności przeciągania form i różniczkowania zewnętrznego. □

Formy różniczkowe w $ \R^3 $

(#)

\def\rot{\text{\,\textrm{rot}\,}} \def\dyw{\text{\,\textrm{div}\,}}

O formach różniczkowych w $ \R^3 $ mówi się często, używając nieco innego (choć też dość formalnego) języka. Otóż, wobec wzoru dim lambda k, przestrzenie $ \Lambda^1(\R^3)^\ast $ i $ \Lambda^2(\R^3)^\ast $ mają wymiar równy $ \binom 31=\binom 32=3 $, a więc każda z nich jest izomorficzna z $ \R^3 $. Dlatego dla obszarów $ U\subset \R^3 $ istnieją izomorfizmy liniowe

\[ \begin{gather*} I_k\colon C^\infty(U,\R^3)\to\Omega^k(U)= C^\infty\big(U,\Lambda^{k}(\R^3)^\ast\big)\, , \qquad k=1,2. \end{gather*} \]

Innymi słowy, zarówno $ 1 $-formy, jak i $ 2 $-formy różniczkowe w $ \R^3 $ można utożsamiać z funkcjami gładkimi o wartościach w $ \R^3 $, a więc z polami wektorowymi. Polu wektorowemu $ \vv=(f,g,h)\colon U\to \R^3 $ odpowiednie izomorfizmy - zależne od wyboru baz w przestrzeniach 1-form i2-form antysymetrycznych - przypisują następujące formy różniczkowe:

\[ \begin{equation} 	\label{izo 1} \vv=(f,g,h)\longmapsto I_1(\vv) :=	\alpha_{\mvv}= f\, dx+ g\, dy + h\, dz \end{equation} \]

oraz

\[ \begin{equation} 	\label{izo 2} \vv=(f,g,h)\longmapsto	I_2(\vv):=\beta_{\mvv}= f\, dy\wedge dz + g\, dz\wedge dx + h\, dx\wedge dy\, . \end{equation} \]

Zgodnie ze wzorem na różniczkę zewnętrzną,

\[ d\alpha_{\mvv}= (h_y-g_z)\, dy\wedge dz+(f_z-h_x)\, dz\wedge dx + (g_x-f_y)\, dx\wedge dy\, . \]

Zauważmy, że

\[ d\alpha_{\mvv}= I_2(\ww), \qquad\mbox{gdzie}\qquad  \ww=(h_y-g_z,f_z-h_x,g_x-f_y)\in C^\infty(U,\R^3) \]

Pole wektorowe $ \ww=(h_y-g_z,f_z-h_x,g_x-f_y) $ nazywa się rotacją pola $ \vv=(f,g,h) $. Pisze się czasem

\[ \rot \vv =  \begin{pmatrix} h_y-g_z \\ f_z-h_x \\g_x-f_y \end{pmatrix} = \wektorek{\partial/\partial x}{{\partial/\partial y}} {\partial/\partial z} \times \wektorek fgh = \nabla \times \vv, \]

postępując z symbolem $ \nabla=({\partial/\partial x},{{\partial/\partial y}} ,{\partial/\partial z}) $ tak, jakby chodziło o wektor.

W podobnej konwencji,

\[ d\beta_{\mvv}= (f_x+g_y+h_z)\, dx\wedge dy \wedge dz = \langle \nabla,  \vv\rangle\, dx\wedge dy \wedge dz\, , \]

gdzie tym razem napis $  \langle \nabla, \vv\rangle $ oznacza formalnie rozumiany iloczyn skalarny ``wektora'' $ \nabla $ i wektora$ \vv $. Funkcję $ f_x+g_y+h_z=\langle\nabla,\vv\rangle $ nazywa się dywergencją pola wektorowego $ \vv=(f,g,h) $; piszemy

\[ \dyw \vv := f_x+g_y+h_z \qquad\mbox{dla}\quad \vv=(f,g,h)\colon U\to \R^3. \]

Mamy więc, dla funkcji $ F\in C^\infty(U) $ oraz pól wektorowych $ \vv\in C^\infty(U,\R^3) $, następujące utożsamienia:

\[ \begin{gather*} dF= \alpha_{\text{grad}\, F}=I_1(\text{grad}\, F)\, ,\\ d(I_1(\vv))=d\alpha_{\mvv}=\beta_{\rot \mvv}=I_2(\rot\vv)\, ,\\ d(I_2(\vv))=d\beta_{\mvv} = (\dyw \vv)\, dx\wedge dy \wedge dz\, . \end{gather*} \]

Inaczej mówiąc, w wymiarze 3 izomorfizmy $ I_k $, $ k=1,2 $, pozwalają utożsamić różniczkę zewnętrzną na formach stopnia 0, 1 i 2 odpowiednio z gradientem, rotacją i dywergencją. Własność $ d^2=0 $, wykazana w Twierdzeniu [link], oznacza, że

\[ \rot\big(\, \text{grad}\, F\big) = 0, \qquad \dyw\big(\rot \vv\big)=0 \]

dla wszystkich $ F\in C^\infty(U) $ i $ \vv\in C^\infty(U,\R^3) $.

Definicja Operator różniczkowy

\[ 	C^2(U)\ni f\mapsto \Delta f= f_{xx}+f_{yy}+f_{zz} = \dyw(\,\text{grad} f) 	\]

nazywa się laplasjanem.

Uwaga Ogólniej, dla obszarów $ U\subset \R^n $, gdzie $ n\ge 2 $, dywergencję pola wektorowego $ \vv=(v_1,\ldots, v_n)\in C^1(U,\R^n) $ i laplasjan funkcji $ f\in C^2(U) $ określa się wzorami

\[ \begin{align} \dyw \vv & = \sum_{i=1}^n \pcz {v_i}{x_i},\\ \Delta f & = \dyw(\grad f) = \sum_{i=1}^{n} f_{x_ix_i}\, . \end{align} \]

Jak Czytelnik będzie miał szansę przekonać się podczas dalszych studiów, laplasjan pojawia się w wielu równaniach fizyki matematycznej, a także w pewnych zagadnieniach geometrii i rachunku prawdopodobieństwa.

Orientacja rozmaitości. Całka z formy różniczkowej

Przypomnijmy, że orientacja przestrzeni liniowej $ \R^m $ to, formalnie biorąc, wybór jednej zdwóch klas abstrakcji następującej relacji równoważności, określonej na bazach $ \R^m $: bazy

\[ \bxi_1,\ldots,\bxi_m \qquad \mbox{oraz}\qquad \bta_1,\ldots,\bta_m \]

są w tej relacji wtedy i tylko wtedy, gdy zapisana w tych bazach macierz przekształcenia identycznościowego ma dodatni wyznacznik.

Powiemy teraz, co to znaczy, że dana rozmaitość gładka $ M^m\subset \R^n $ jest zorientowana. Wprowadźmy odpowiednie oznaczenia. Niech $ (U_\alpha)_{\alpha\in A} $ będzie rodziną zbiorów otwartych w $ \R^n $, pokrywającą $ M $. Załóżmy, że dla wszystkich indeksów $ \alpha\in A $ zbiór (Proszę zauważyć: z definicji, jest to zbiór otwarty w topologii indukowanej) $ M $. $ U_\alpha\cap M $ jest obrazem parametryzacji gładkiej

\[ \Psi_\alpha\colon \R^m\supset V_\alpha\to U_\alpha\cap M=\Psi_\alpha(V_\alpha)\subset \R^n\, , \]

a funkcja

\[ \Phi_\alpha=(\Psi_\alpha)^{-1}\colon U_\alpha\cap M\to V_\alpha\subset \R^m \]

jest tzw. mapą. Zbiór map $ \{\Phi_\alpha\colon \alpha\in A\} $ jest, zgodnie z terminologią z Definicji [link], atlasem.

Funkcje przejścia $ \phi_{\beta\alpha}=\Phi_\beta\circ \Phi_\alpha^{-1}\colon V_\alpha\supset \Phi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta\cap M)\to V_\beta $.

Definicja [atlas zorientowany] Powiemy, że atlas $ \{\Phi_\alpha\colon \alpha\in A\} $, gdzie

\[ 	\Phi_\alpha=(\Psi_\alpha)^{-1}\colon U_\alpha\cap M\to V_\alpha\subset \R^m 	\]

są mapami na rozmaitości gładkiej $ M $, jest zorientowany, wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich $ \alpha, \beta\in A $ takich, że dziedziny map $ \Phi_\alpha, \Phi_\beta $ przecinają się, przekształcenie

\[ \phi_{\beta\alpha}:=\Phi_{\beta}\circ \Phi_\alpha^{-1}\colon \Phi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta\cap M)\to V_\beta\subset \R^m \]

(nazywane funkcją przejścia) spełnia warunek

\[ \begin{equation} 	\label{det > 0} 	\det D\phi_{\beta\alpha} > 0 \end{equation} \]

w każdym punkcie swojej dziedziny.

Definicja Rozmaitość $ M\subset \R^n $ nazywa się orientowalna, jeśli istnieje na niej atlas zorientowany.
Definicja Dwa atlasy zorientowane na danej rozmaitości $ M $zgodne, jeśli ich suma jest atlasem zorientowanym.

Nietrudno sprawdzić, że zgodność jest relacją równoważności na zbiorze wszystkich atlasów zorientowanych danej rozmaitości orientowalnej. Wyborem orientacji danej rozmaitości nazywa się, formalnie biorąc, wybór klasy abstrakcji tej relacji. Pozostawimy Czytelnikowi sprawdzenie, że na każdej rozmaitości orientowalnej istnieją tylko dwa różne wybory orientacji.

Uwaga Wygodne jest także następujące spojrzenie: orientacja $ M $ to wybór orientacji każdej z przestrzeni stycznych $ T_{\mpp}M $, przy czym owe wybory są dopasowane tak, żeby dla każdego punktu $ \pp\in M $ istniała taka dziedzina mapy $ \Phi_\alpha\colon U_\alpha\cap M\to V_\alpha\subset \R^m $, że $ \pp\in U_\alpha\cap M $ i różniczka parametryzacji $ \Psi_\alpha=(\Phi_\alpha)^{-1}\colon V_\alpha\to U_\alpha\cap M $ przeprowadza standardową bazę $ \ee_1,\ldots,\ee_m $ w dodatnio zorientowaną bazę przestrzeni $ T_{\mpp}M $.

Przykład Torus

$$\T^2=\S^1\times \S^1=\{(x,y,z,w)\in \R^4\colon x^2+y^2=z^2+w^2=1\},$$

którego pole wyznaczyliśmy w Przykładzie [link], jest rozmaitością orientowalną. Zbiór $ \T^2 $ jest obrazem przekształcenia

\[ \Psi\colon \R^2\ni (t,s)\longmapsto (\cos t,\sin t,\cos s,\sin s)\in \T^2\, . \]

Nietrudno wprowadzić na $ \T^2 $ atlas złożony np. z czterech map $ \Phi_\alpha $, $ \alpha=1,2,3,4 $, będących przekształceniami odwrotnymi do

\[ \Psi\big|_{(0,2\pi)\times (0,2\pi)}, \qquad \Psi\big|_{(0,2\pi)\times (\pi,3\pi)}, \qquad \Psi\big|_{(\pi,3\pi)\times (0,2\pi)}, \qquad \Psi\big|_{(\pi,3\pi)\times (\pi,3\pi)}. \]

Funkcje przejścia dla tego atlasu są po prostu przesunięciami $ (t,s)\mapsto (t\pm a,s\pm b) $, gdzie $ a,b\in \{0,\pi\}  $, a każdy z wyznaczników w det > 0 jest równy 1.

Tak samo sprawdza się, że $ n $-wymiarowy torus

$$\T^n=\{\zz=(z_1,\ldots,z_n)\in \C^n\simeq\R^{2n}\colon |z_1|=\ldots=|z_n|=1\}$$

jest rozmaitością orientowalną.

Zadanie Sprawdzić, że sfera $ \S^{n-1}=\{\xx\in \R^n\colon \|\xx\|^2=1\} $ jest orientowalna.     Wskazówka. Można użyć atlasu, w którym są tylko dwie mapy: rzuty stereograficzne zdwóch przeciwnych biegunów; jeden z tych rzutów można złożyć z odbiciem lustrzanym.

Wstęga M\"{o}biusa to obraz przekształcenia wstega: powierzchnia zakreślana przez odcinek długości 2, którego środek porusza się ze stałą prędkością po okręgu o promieniu $ 2 $, podczas gdy sam odcinek, zawarty przez cały czas w płaszczyźnie normalnej do okręgu, obraca się o kąt $ \pi $. Z topologicznego punktu widzenia, wstęga M\"{o}biusa powstaje przez sklejenie dwóch końców prostokątnego, elastycznego paska, przy czym jeden z końców zostaje przed sklejeniem obrócony o 180 stopni.

Nieorientowalna jest np. wstęga M\"{o}biusa, $ M=\Psi\big(\R\times (-1,1)\big)\subset\R^3 $, gdzie

\[ \begin{equation} 	\label{wstega} 	\begin{split} \Psi(\theta,t)&=2(\cos2\theta,\sin2\theta,0) + t \big(\cos\theta\, \cos2 \theta\, , \cos\theta\,  \sin2\theta\, ,\sin\theta\, \big)\\ & = \big((2+t\cos\theta)\cos 2\theta\, , (2+t\cos\theta)\sin2\theta,t\sin\theta\big) \end{split} \end{equation} \]
Zadanie Wskazać atlas wstęgi M\"{o}biusa, złożony z dwóch map. Sprawdzić, że nie jest to atlas zorientowany.
Zadanie Udowodnić następujący fakt: jeśli atlas $ \mathscr{A}=\{\Phi_\alpha\colon \alpha\in A\} $ rozmaitości $ M^m\subset \R^n $ jest zorientowany i obraz mapy $ \Phi\colon U\cap M\to V $ jest spójny\/ w $ \R^m $, to któryś z atlasów $ \mathscr{A_+}=\mathscr{A}\cup\{\Phi\} $ oraz $ \mathscr{A_-}=\mathscr{A}\cup\{L\circ\Phi\} $, gdzie $ L\colon \R^m\to \R^m $ jest odbiciem lustrzanym, tzn. $ L(x_1,x_2,\ldots,x_m)=(-x_1,x_2,\ldots,x_m) $, jest zorientowany.     Wskazówka. Zbiory $ D^+_\alpha=\{\xx\in V\colon \det D(\Phi_\alpha\circ \Phi^{-1})(\xx)>0\} $ oraz $ D^-_\alpha $ zdefiniowany analogicznie, za pomocą przeciwnej nierówności, są otwarte. Sprawdzić, że każdy punkt $ V $ należy do jednego z tych zbiorów. Skorzystać ze spójności $ V $.
Zadanie Z dwóch poprzednich zadań wywnioskować, że wstęga M\"{o}biusa nie jest orientowalna.

Bez dowodu, który wykracza poza ramy wykładu, podamy następujące twierdzenie.

Twierdzenie Jeśli rozmaitość $ M^m=\partial\Omega $ klasy $ C^1 $ jest brzegiem obszaru ograniczonego $ \Omega\subset\R^{m+1} $, to $ M $ jest orientowalna.

Całka z formy różniczkowej

Definicja (#) Niech $ U\subset\R^m $ będzie zbiorem otwartym i niech $ \omega\in \Omega^m(U) $, $ \omega=f\, dx_1\wedge\ldots \wedge dx_m $, gdzie $ f\in C_0^\infty(U) $ jest funkcją gładką o zwartym nośniku w $ U $. Przyjmujemy wówczas

\[ 	\int_U \omega=\int_U f\, dx_1\wedge\ldots \wedge dx_m:= \int_U f\, d\lambda_m\, . 	\]
Definicja (#) Niech $ M^m\subset \R^n $ będzie rozmaitością zorientowaną. Jeśli $ U\subset \R^n $ jest zbiorem otwartym, $ U\cap M\not=\emptyset $, a parametryzacja

\[ 	\Psi\colon \R^m\supset V\ \longrightarrow\  U\cap M=\Psi(V) 	\]

jest zgodna z orientacją $ M $, to dla formy $ \omega\in \Omega^m(U) $ o zwartym nośniku w $ U $ przyjmujemy

\[ \begin{equation} 	\int_M \omega :=\int_V \Psi^\ast\omega \end{equation} \]

Wypada oczywiście sprawdzić, że powyższa definicja jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru parametryzacji. Jeśli nośnik formy $ \omega $ jest zawarty w przecięciu dziedzin dwóch map Z tego samego atlasu zorientowanego, $ \Phi_\alpha\colon U_\alpha\cap M\to V_\alpha $ oraz $ \Phi_\beta\colon U_\beta\cap M\to V_\beta $, to funkcja przejścia

\[ \phi_{\beta\alpha}\colon \Phi_{\alpha}\big(U_\alpha\cap U_\beta\cap  M\big)=:W_\alpha \longrightarrow W_\beta:=\Phi_{\beta}\big(U_\alpha\cap U_\beta\cap  M\big) \]

jest dyfeomorfizmem $ W_\alpha $ na $ W_\beta $, o dodatnim jakobianie. Dla parametryzacji $ \Psi_\alpha=\Phi_\alpha^{-1} $ oraz $ \Psi_\beta=\Phi_\beta^{-1} $ mamy

\[ \Psi_\alpha=\Psi_\beta\circ \phi_{\beta\alpha}\qquad\mbox{na $W_\alpha$}. \]

Niech $ (y_1,\ldots,y_m) $ będą współrzędnymi w $ W_\beta $, a $ (x_1,\ldots,x_m) $ - współrzędnymi w $ W_\alpha $. Wówczas $ \Psi_\beta^\ast\, \omega=f\, dy_1\wedge\ldots \wedge dy_m $, gdzie nośnik funkcji gładkiej $ f $ jest zwarty w zbiorze $ W_\beta $. Zgodnie ze Stwierdzeniem [link](i) oraz(iii),

\[ \begin{align*} \Psi_\alpha^\ast \, \omega = \big(\Psi_\beta\circ \phi_{\beta\alpha}\big)^\ast\, \omega & = \phi_{\beta\alpha}^{\ast}\big(\Psi_\beta^\ast\, \omega)\\ &= \phi_{\beta\alpha}^{\ast}\big(f\, dy_1\wedge\ldots \wedge dy_m\big)\\ &= (f\circ\phi_{\beta\alpha})\, \det D\phi_{\beta\alpha}\;  dx_1\wedge\ldots\wedge dx_m\, . \end{align*} \]

Dlatego z twierdzenia o zamianie zmiennych otrzymujemy

\[ \int_{V_\alpha} \Psi_\alpha^\ast\,  \omega = \int_{W_\alpha}   (f\circ\phi_{\beta\alpha})\, \det D\phi_{\beta\alpha}\;  d\lambda_m = \int_{W_\beta} f\;  d\lambda_m = \int_{V_\beta} \Psi_\beta^\ast\, \omega\, . \]

Proszę zauważyć: skorzystaliśmy z tego, że na $ M $ ustalono atlas zorientowany; dlatego mogliśmy w powyższym rachunku użyć samego jakobianu funkcji przejścia, a nie wartości bezwzględnej tego jakobianu.

Zdefiniujemy teraz całkę z $ m $-formy różniczkowej po orientowalnej rozmaitości zwartej $ M^m\subset \R^n $. Taka rozmaitość ma atlas zorientowany, złożony ze skończenie wielu map $ \Phi_\alpha\colon U_\alpha\cap M\to V_\alpha\subset \R^m $, $ \alpha=1,\ldots, N $. Niech funkcje $ \zeta_\alpha\in C_0^\infty(U_\alpha) $ tworzą tzw. gładki rozkład jedynki na $ M $ wpisany w pokrycie $ (U_\alpha) $, tzn. niech

\[ \zeta_1+\cdots +\zeta_N\equiv 1\quad\mbox{w pewnym otoczeniu zbioru $M$,}\qquad  \zeta\equiv 0\quad\mbox{poza $U_j$.} \]

Istnienie takiego rozkładu jedynki gwarantuje Lemat [link] (patrz Dodatek [link]). Przy takich oznaczeniach przyjmujemy następujące określenie.

Definicja Załóżmy, że $ W $ jest zbiorem otwartym w $ \R^n $ i rozmaitość $ M^m\subset W $. Dla formy $ \omega\in \Omega^m(W) $ kładziemy

\[ \begin{equation} 	\int_M \omega:=\sum_{\alpha=1}^N \int_{M\cap U_\alpha} \zeta_\alpha\, \omega\, . \end{equation} \]

Ponownie, wypada sprawdzić, że ta definicja nie zależy od wyboru atlasu zorientowanego i rozkładu jedynki. Jeśli inne zbiory $ U'_\beta\subset \R^n $ pokrywają $ M $, $ \beta=1,\ldots,N' $, mapy $ \Phi_\beta'\colon U_\beta'\cap M\to V_\beta\subset \R^m $ tworzą atlas zorientowany, a funkcje $ \zeta_\beta'\in C_0^\infty(U_\beta') $ są gładkim rozkładem jedynki na $ M $ wpisanym w pokrycie $ (U_\beta') $, to zmieniając kolejność sumowania otrzymujemy

\[ \sum_{\alpha} \int_{M\cap U_\alpha } \zeta_\alpha \, \omega = \sum_{\alpha,\beta} \int_{M\cap U_\alpha\cap U'_\beta } \zeta_\alpha\zeta'_\beta \, \omega  = \sum_\beta \int_{M\cap  U'_\beta }\zeta'_\beta \, \omega \, . \]

Stąd już wynika poprawność definicji.

Uwaga Analogicznie definiuje się całkę z formy różniczkowej po zwartym podzbiorze dowolnej rozmaitości zorientowanej.

Twierdzenie Stokesa

Niech $ M^m\subset \R^n $ będzie $ m $-wymiarową rozmaitością zorientowaną. Aby sformułować twierdzenie Stokesa, powiemy najpierw, jak orientuje się brzeg podzbioru rozmaitości.

Niech $ G $ będzie takim zwartym podzbiorem $ M $, którego brzeg $ \partial G $ (w topologii indukowanej) (Inaczej mówiąc, punkt $ \pp\in \partial G $ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg $ (\pp_j)\subset G $ zbieżny do $ \pp $ oraz ciąg $ (\qq_j)\subset M\setminus G $ zbieżny do $ \pp $.) na $ M $ jest rozmaitością $ (m-1) $-wymiarową. Wówczas dla dowolnej mapy $ \Phi_\alpha\colon U_\alpha\cap M\to V_\alpha\subset \R^m $ zbiór $ \Phi_\alpha(U_\alpha\cap G) $ też jest rozmaitością $ (m-1) $-wymiarową (dowód: ćwiczenie dla Czytelnika).

Orientację $ \partial G $ (tzw. orientację brzegu dziedziczoną z $ M $) określa się następująco. Jeśli $ \pp\in \partial G $, to w $ T_{\mpp}M $ istnieje wektor normalny zewnętrzny do $ \partial G $, tzn. istnieje jednoznacznie określone przekształcenie $ {\bm\nu}\colon\partial G\to \S^{n-1}\subset \R^n $ takie, że

\[ \bnu(\pp)\in T_{\mpp} M, \qquad \bnu(\pp)\perp T_{\mpp}(\partial G) \]

i wreszcie dla każdej krzywej gładkiej $ \gamma\colon (-\eps,\eps)\to M $ takiej, że $ \gamma(0)=\pp $ i $ \gamma'(0)=\bnu(\pp) $ warunek $ \gamma(t)\not\in G $ spełniony jest dla wszystkich $ t>0 $ dostatecznie małych. Przyjmujemy, że baza $ \vv_1,\ldots,\vv_{m-1} $ przestrzeni $ T_{\mpp}(\partial G) $ jest zorientowana dodatnio wtedy i tylko wtedy, gdy

\[ \bnu(\pp), \vv_1,\ldots,\vv_m \]

jest dodatnio zorientowaną bazą $ T_{\mpp}M $.

Czytelnik zechce porównać to określenie orientacji brzegu z określeniem, którym posłużyliśmy się, formułując w podrozdziale 7.1 twierdzenie Greena na płaszczyźnie (wtedy $ m=2 $, $ m-1=1 $). Nietrudno stwierdzić, że oba są równoważne.

Twierdzenie (#) Niech $ M^m\subset\R^n $ będzie $ m $-wymiarową rozmaitością zorientowaną klasy $ C^1 $ i niech $ G\subset M $ będzie zwartym podzbiorem $ M $, którego brzeg $ \partial G $ (w topologii indukowanej na $ M $ przez zanurzenie w $ \R^n $) jest $ (m-1) $-wymiarową podrozmaitością $ \R^n $, wyposażoną w orientację brzegu, dziedziczoną z $ M $. Załóżmy, że $ M\subset W $, gdzie $ W $ jest zbiorem otwartym w $ \R^n $. Wówczas dla każdej $ (m-1) $-formy różniczkowej $ \omega\in \Omega^{m-1}(W) $ zachodzi wzór

\[ \begin{equation} 	\label{stokesog} 	\int_{\partial G} \omega = \int_G d\omega\, . \end{equation} \]
Uwaga Przy założeniach twierdzenia Stokesa zbiór $ \partial G $ ma $ (m-1) $-wymiarową miarę powierzchniową równą zero.

Dowód tego ważnego twierdzenia przeprowadzimy w trzech zasadniczych krokach. Pierwszy z nich to samodzielne `twierdzenie z nazwiskiem'.

Lemat [twierdzenie Gaussa o dywergencji] Niech $ G\subset \R^n $ będzie obszarem ograniczonym z brzegiem klasy $ C^1 $. Oznaczmy przez $ \bnu\colon \partial G\to\S^{n-1}\subset \R^n $ wektor normalny zewnętrzny do $ \partial G $. Niech $ W\subset \R^n $ będzie zbiorem otwartym takim, że $ \overline{G}\subset W $. Wówczas dla każdego pola wektorowego $ \ww=(w_1,\ldots, w_n)\colon W\to \R^n $ klasy $ C^1 $ zachodzi wzór

\[ \begin{equation} 	\label{wzor:Gauss} 	\int_G \dyw \ww\, d\lambda_n = \int_{\partial G} \langle \ww,\bnu\rangle\, d\sigma_{n-1}\, , \end{equation} \]

gdzie $ \dyw \ww=\sum_{i=1}^n \pcz{w_i}{x_i} $ jest dywergencją pola $ \ww $, zaś $ \sigma_{n-1} $ oznacza miarę powierzchniową na rozmaitości $ \partial G $.

Interpretacja fizyczna równości z tezy lematu jest następująca: prawa strona to tzw. strumień pola wektorowego przez powierzchnię $ \partial G $. Jeśli np. $ \vv $ jest polem prędkości cieczy w (pewnym obszarze) przestrzeni $ \R^s $, to $ \int_\Sigma \langle \vv,\bnu\rangle\, d\sigma_{2} $ jest ilością cieczy, przepływającej przez powierzchnię $ \Sigma $ w jednostce czasu. (Czytelnik zechce sprawdzić, że jednostki się zgadzają.) Twierdzenie Gaussa orzeka, że przepływ pola przez powierzchnię zamkniętą jest równy całce dywergencji pola po obszarze ograniczonym tą powierzchnią.

    Dowód twierdzenia Gaussa. Dowód jest bardzo podobny do dowodu twierdzenia Greena: wykorzystuje się gładki podział jedności. Z uwagi na liniowy charakter tezy, wystarczy przeprowadzić dowód dla pola wektorowego, które ma tylko jedną współrzędną niezerową. Przyjmijmy więc $ \ww=(0,\ldots 0,w_n) $ (w pozostałych przypadkach dowód jest identyczny).

Dla każdego punktu $ \pp\in \overline G $ wybierzmy przedział otwarty $ Q_{\mpp} $ o środku w $ \pp $ tak, aby

  • $ \overline{Q}_{\mpp}\subset G $ dla $ \pp\in G $;
  • dla $ \pp\in \partial G $ zbiór $ \partial G\cap Q_{\mpp} $ był, dla pewnego indeksu $ i\in \{1,\ldots,n\} $, wykresem funkcji $ x_i=\varphi(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots x_n) $, określonej na przedziale $ (n-1) $-wymiarowym, będącym ścianą $ Q_{\mpp} $.

Korzystając ze zwartości $ \overline G $, wybierzmy pokrycie skończone $ \overline G $, złożone z $ N $ takich przedziałów, $ Q_1,\ldots, Q_N $. Jak w dowodzie twierdzenia Greena, przyjmijmy, że $ Q_1,\ldots,Q_k $ stanowią pokrycie brzegu, zaś $ Q_{k+1},\ldots, Q_N $ są (wraz z domknięciami) zawarte w $ G $.

Weźmy funkcje $ \zeta_l\in C_0^\infty (Q_l) $ takie, żeby $ \zeta_1+\cdots+\zeta_N\equiv 1 $ w pewnym otoczeniu $ \overline G $. Wówczas suma pochodnych $ \sum_l(\zeta_l)_{x_n}=0 $ na $ G $ i dlatego

\[ \begin{align} 	\label{rozbicie dyw} 	\int_G \dyw \ww\; d\lambda_n & = \sum_{l=1}^N \int_{Q_l\cap G} \zeta_l\pcz {w_n}{x_n}\; d\lambda_n= \sum_{l=1}^N \int_{Q_l\cap G} \pcz {(\zeta_l w_n)}{x_n}\; d\lambda_n\\ 	& =\sum_{l=1}^k \int_{Q_l\cap G} \pcz {(\zeta_l w_n)}{x_n} \; d\lambda_n + \sum_{l=k+1}^N \int_{Q_l\cap G} \pcz {(\zeta_l w_n)}{x_n}\; d\lambda_n 	 =\sum_{l=1}^k \int_{Q_l\cap G} \pcz {(\zeta_l w_n)}{x_n}\; d\lambda_n.\nonumber \end{align} \]

(Jak w dowodzie twierdzenia Greena, nietrudno wywnioskować, posługując się twierdzeniem Fubiniego i definicją całki oznaczonej, że każdy składnik drugiej sumy w ostatniej linijce jest zerem, gdyż $ \zeta_lw_n $ znika na brzegu przedziału $ Q_l $).

Każdą z całek w sumie po prawej stronie wzoru rozbicie dyw obliczymy oddzielnie. Ustalmy indeks $ l $; dla krótkości zapisu, niech $ u=\zeta_l w_n $, $ Q=Q_l $. Wtedy

    Przypadek 1. Załóżmy, że iloczyn $ Q\cap \partial G $ jest wykresem funkcji $ x_n=\varphi(x_1,\ldots,x_{n-1}) $ zmiennej $ \xx'=(x_1,\ldots,x_{n-1})\in Q'\subset \R^{n-1} $, gdzie $ Q' $ jest $ (n-1) $-wymiarową ścianą $ Q $. Przyjmijmy, bez zmniejszenia ogólności, że $ Q\cap G=\{ (\xx',x_n)\colon x_n<\varphi(\xx'),\; \xx'\in Q'\} $. Wtedy

\[ \begin{align*} \int_{Q\cap G} \pcz {u}{x_n}\; d\lambda_n &=\int_{Q'} \bigg(\int_{-\infty}^{\varphi({\mxx}')} \pcz u{x_n} dx_n \bigg)\; d\lambda_{n-1}(\xx')\\&= \int_{Q'} u(\xx',\varphi(\xx'))\; \lambda_{n-1}(\xx'). \end{align*} \]

Wektor normalny zewnętrzny do $ \partial G $ w punkcie $ \xx=(\xx',x_n) $ dany jest wzorem

\[ \bnu(\xx)=\frac{N(\xx')}{\|N(\xx')\|} =\frac{N(\xx')}{\sqrt{1+\sum (\varphi_{x_i})^2}}\, , \]

gdzie \( N(\xx')=\big(-\pcz{\varphi}{x_1}(\xx'), \ldots, -\pcz{\varphi}{x_{n-1}}(\xx'),1\big)^T \). Miarę powierzchniową na wykresie funkcji $ \varphi $ określamy, całkując funkcję $ \|N(\xx')\| $ względem $ \lambda_{n-1} $ (patrz Uwaga [link]). Dlatego

\[ \begin{multline*} \int_{Q'} u(\xx',\varphi(\xx'))\; \lambda_{n-1}(\xx')=\int_{Q'} u(\xx',\varphi(\xx'))\frac{1}{\|N(\xx')\|}\, {\|N(\xx')\|} \; \lambda_{n-1}(\xx')\\=\int_{Q\cap \partial G} \langle \zeta_l \ww, \bnu\rangle \; d\sigma_{n-1}\, , \end{multline*} \]

gdyż, z uwagi na szczególną postać pola $ \ww $, jest $ \langle \zeta_l\ww, \bnu\rangle=\zeta_lw_n/\|N\|=u/\|N\| $. Ostatecznie więc, otrzymujemy

\[ \begin{equation} 	\label{jedna kostka} 	\int_{Q_l\cap G}\, \pcz{(\zeta_lw_n)}{x_n} d\lambda_n = \int_{Q_l\cap \partial G}\zeta_l\,  \langle  \ww, \bnu\rangle \; d\sigma_{n-1}\, . \end{equation} \]

    Przypadek 2. Załóżmy, że $ \partial G \cap Q $ jest wykresem funkcji $ x_i=\varphi(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots x_n) $ dla pewnego $ i<n $. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy $ i=1 $ oraz

\[ Q \cap  G =\{(x_1,\xx')\in \R\times \R^{n-1}\colon \; \xx'\in Q'\subset \R^{n-1}, \; -d<x_1<\varphi(\xx')<0\}\, , \]

gdzie $ Q' $ jest ścianą $ Q $, położoną w płaszczyźnie $ x_1=\mathrm{const} $. Wtedy $ u=\zeta_l w_n $ znika dla $ \xx'\in \partial Q', -d<x_1<0 $. Bez zmniejszenia ogólności, (gładko) przedłużając $ u $ zerem, zakładamy, że $ u $ jest określona dla wszystkich $ x_1<\varphi(\xx') $. Piszemy, dokonując przy ustalonym $ \xx' $ zamiany zmiennych $ x_1=t+\varphi(\xx') $,

\[ \begin{align*} \int_{Q\cap \Omega} \pcz{u}{x_n} d\lambda_n & = \int_{Q'}\biggl( \int_{-\infty}^{0}\pcz u{x_n} (t+\varphi(\xx'),\xx')\; dt\;\biggr) d\xx'=:I\, . \end{align*} \]

Oznaczmy $ v(t,\xx')=u(t+\varphi(\xx'),\xx') $ dla $ t\le 0 $ i $ \xx'\in Q' $. Mamy wówczas

\[ \pcz v{x_n}(t,\xx')=\pcz u{x_1} \big(t+\varphi(\xx'),\xx'\big)\cdot \pcz\varphi{x_n}(\xx')+\pcz u{x_n} \big(t+\varphi(\xx'),\xx'\big). \]

Zauważmy ponadto, że $ v $ znika w punktach $ t\le 0 $, $ \xx'\in \partial Q' $. Dlatego

\[ \int_{-\infty}^0\int_{Q'} \pcz v{x_n} (t,\xx')\; d\xx'\; dt= 0, \]

stąd zaś (i z twierdzenia Fubiniego) po ponownej, odwrotnej zamianie zmiennych (Zauważmy: pierwsza zamiana zmiennych polega, podobnie jak w dowodzie twierdzenia Greena, na ``wyprostowaniu brzegu''.) otrzymujemy

\[ \begin{align*} I &=\int_{Q'}\biggl( \int_{-\infty}^{0}\pcz u{x_n} (t+\varphi(\xx'),\xx')\; dt\;\biggr) d\xx' \\&= -\int_{Q'}\biggl( \int_{-\infty}^{0}\pcz u{x_1} (t+\varphi(\xx'),\xx')\cdot \pcz\varphi{x_n}(\xx')\; dt\;\biggr) d\xx'\\ &= -\int_{Q'} u (\varphi(\xx'),\xx')\cdot \pcz\varphi{x_n}(\xx')\;  d\xx'= \int_{Q'} u \cdot \bnu_n \; d\sigma_{n-1} = \int_{Q'} \zeta_l \langle \ww,\bnu\rangle\; d\sigma_{n-1} \end{align*} \]

(proszę zerknąć ponownie na wzór przypomniany wcześniej w dowodzie, wyrażający wektor normalny do wykresu funkcji). Widzimy więc, że także i w tym przypadku zachodzi wzór jedna kostka.

Sumując takie wzory względem $ l $ i wykorzystując równość rozbicie dyw, otrzymujemy tezę twierdzenia Gaussa.□

    Dowód Twierdzenia [link] Część I. Najpierw przeprowadzimy dowód w przypadku, gdy $ m=n $, $ M=\R^n $ i $ G $ jest obszarem ograniczonym w $ \R^n $. Okazuje się, że wtedy twierdzenie Stokesa jest zmyślnie przeformułowanym twierdzeniem Gaussa o dywergencji.

Niech $ W $ będzie zbiorem otwartym w $ \R^n $, $ \overline G\subset W $, $ \omega\in \Omega^{n-1}(W) $. Bez zmniejszenia ogólności można przyjąć, że

\[ \omega=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} v_i(\xx)\; dx_1\wedge \ldots \wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge\ldots \wedge dx_n\, . \]

Posługując się wzorem na różniczkę zewnętrzną, łatwo jest sprawdzić, że wówczas

\[ d\omega = \biggl(\sum_{i=1}^n \pcz {v_i}{x_i}\biggr)\, dx_1\wedge \ldots \wedge dx_n = (\dyw \vv) \, dx_1\wedge \ldots \wedge dx_n \qquad\mbox{na $W$,}   \]

gdzie $ \vv=(v_1,\ldots,v_n)\colon W\to \R^n $ jest pewnym polem wektorowym na zbiorze $ W $. Dlatego, z definicji,

\[ \begin{equation}  	\label{lewa:Stokes n} 	\int_G d\omega = \int_G \dyw \vv \; d\lambda_n\, . \end{equation} \]

Pokażemy, że

\[ \begin{equation} 	\label{prawa:Stokes n}   	\int_{\partial G} \omega = \int_{\partial G} \langle \vv, \bnu\rangle\; d\sigma_{n-1},  \end{equation} \]

gdzie $ \sigma_{n-1} $ jest miarą powierzchniową na brzegu obszaru $ G $. Ze wzorów lewa:Stokes n i prawa:Stokes n twierdzenie Stokesa wyniknie natychmiast, dzięki twierdzeniu Gaussa.

Przejdźmy zatem do dowodu prawa:Stokes n. Załóżmy najpierw, że $ U\subset \R^n $ jest zbiorem otwartym, a $ \Psi\colon \R^{n-1}\supset V\to U\cap \partial G $ jest gładką, zorientowaną parametryzacją $ U\cap \partial G $. Sprawdzimy najpierw, że wektor normalny $ \bnu=(\nu_1,\ldots,\nu_n) $ do $ \partial G $ spełnia zależność

\[ \begin{equation} 	\label{norm:Stokes} 	\nu_j(\Psi(\yy))\sqrt{\big(\det D\Psi(\yy)^TD\Psi(\yy)\big)}= (-1)^{j+1}\det D\Psi_{I_j}(\yy), \qquad j=1,\ldots, n, \end{equation} \]

gdzie $ \Psi_{I_j} $ oznacza przekształcenie, które powstaje z $ \Psi $ przez opuszczenie $ j $-tej współrzędnej, tzn.

\[ \Psi_{I_j}=(\Psi_1,\ldots,\Psi_{j-1},\Psi_{j+1},\ldots,\Psi_n)\, . \]

Ustalmy punkt $ \yy\in V $. Niech $ \bta=(\eta_1,\ldots,\eta_n) $ oznacza wektor w $ \R^n\setminus\{\zero\} $, równy prawej stronie norm:Stokes, tzn. niech

\[ \eta_j= (-1)^{j+1}\det D\Psi_{I_j}(\yy), \qquad j=1,\ldots, n. \]

Niech $ \bxi\in \R^n $ będzie dowolnym wektorem. Rozważmy macierz kwadratową $ A_{\bxi} $, której kolumnami są wektory

\[ \begin{equation} 	\label{xi dpsi}       	\bxi,\quad\pcz{\Psi}{y_1}(\yy), \quad\ldots, \quad \pcz{\Psi}{y_{n-1}}(\yy)\, .   \end{equation} \]

Rozwijając wyznacznik $ A_{\bxi} $ względem pierwszej kolumny, sprawdzamy, że

\[                      \det A_{\bxi} = \sum_{j=1}^n (-1)^{j+1}\xi_j \det D\Psi_{I_j}(\yy) = \sum_j \xi_j\eta_j=\langle \bxi,\bta\rangle. \]

Jeśli wektor $ \bxi $ należy do przestrzeni liniowej $ \mathrm{Im}\, D\Psi(\yy) $, rozpiętej na wektorach $ \pcz{\Psi}{y_i}(\yy)=D\Psi(\yy)\ee{}_i $, to kolumny macierzy $ A_{\bxi} $ są liniowo zależne i lewa strona powyższej równości jest zerem. Dlatego $ \bta\perp \mathrm{Im}\, D\Psi(\yy)=T_{\Psi(\myy)}\partial G $. Podstawiając $ \bxi=\bta $, otrzymujemy

\[ \det A_{\bta}=\|\bta\|^2 >0. \]

Zatem dla $ \bxi=\bta $ baza xi dpsi przestrzeni $ \R^n $ jest zorienowana dodatnio, a ponieważ wektory $ \partial \Psi/\partial y_{j} $, $ j=1,\ldots,n-1 $ tworzą dodatnio zorientowaną bazę przestrzeni stycznej $ T_{\Psi(\myy)}\partial G $, więc zgodnie z przyjętym określeniem orientacji brzegu wektor $ \eta $ wskazuje na zewnątrz $ G $. Ponadto,

\[ A_{\bta}^TA_{\bta} =    \begin{pmatrix} \|\bta\|^2  & \zero \\ \zero & D\Psi^T(\yy)D\Psi(\yy) \end{pmatrix} \, ,      \]

stąd zaś

\[ \|\bta\|^2\,  \det\big(D\Psi^T(\yy)D\Psi(\yy)\big)=\det \big(A_{\bta}^TA_{\bta}\big) = \big(\det A_{\bta}\big)^2=\|\bta\|^4\, , \]

tzn. ostatecznie

\[ \|\bta\|^2= \det\big(D\Psi^T(\yy)D\Psi(\yy)\big)\, . \]

Widzimy więc, że równoważnym zapisem równości norm:Stokes jest $ \|\bta\| \bnu(\Psi(\yy))=\bta $, tzn. istotnie $ \bnu $ jest wektorem normalnym zewnętrznym do $ \partial G $.

W przypadku $ \text{supp}\,\vv \cap \partial G\subset \Psi(V)=U\cap \partial G $ (tzn. dla pól wektorowych o zwartym, odpowiednio małym nośniku) ze wzoru norm:Stokes otrzymujemy, posługując się definicją miary powierzchniowej, następujące równości:

\[ \begin{eqnarray*} \int_{\partial G} \langle \vv, \bnu\rangle \, d\sigma_{n-1} & = & \int_{\Psi(V)} \langle \vv, \bnu\rangle \, d\sigma_{n-1} \\ & = & \int_V  \langle \vv(\Psi(\yy)), \bnu(\Psi(\yy))\rangle \, \sqrt{\big(\det D\Psi(\yy)^TD\Psi(\yy)\big)}\; d\lambda_{n-1}(\yy) \\ & \stackrel{\eqref{norm:Stokes}}= & \int_V \sum_{j=1}^n (-1)^{j+1} v_j(\Psi(\yy)) \det \big(D\Psi_{I_j}(\yy)\big) \; dy_1\, \ldots\, dy_{n-1}   \\ & = & \int_V \Psi^\ast \omega \stackrel{\text{def.}}= \int_{\Psi(V)}\omega = \int_{\partial G} \omega\, . \end{eqnarray*} \]

Przypadek, gdy $ \vv $, tzn. forma $ \omega $, nie ma nośnika zawartego w dziedzinie jednej mapy, łatwo sprowadzić do powyższego, posługując się rozkładem jedynki; szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi.

    Część II. Niech teraz $ m<n $. Wybierzmy pokrycie skończone $ G $ zbiorami otwartymi $ U_\alpha\subset \R^n $, takimi, że $ U_\alpha\cap M $ są obrazami zgodnych z orientacją parametryzacji

\[ \Psi_\alpha\colon \R^{m}\supset V_\alpha\to U_\alpha\cap M, \qquad \alpha=1,\ldots N. \]

Wybierzmy gładki rozkład jedności $ (\zeta_\alpha) $,

\[ \text{supp}\, \zeta_\alpha\subset U_\alpha, \qquad \sum_{\alpha=1}^N \zeta_\alpha\equiv 1\quad \mbox{na $W\supset \overline G$.} \]

Wprowadźmy skrócone oznaczenia:

\[ \omega_\alpha:=\Psi_\alpha^\ast(\zeta_\alpha\omega)\in \Omega^{m-1}(V_\alpha), \qquad G_\alpha=\Psi_\alpha^{-1}(G). \]

Wówczas zbiór $ \Psi_\alpha^{-1}(\partial G) $ jest brzegiem $ G_\alpha $ w topologii indukowanej na $ V_\alpha $ przez zanurzenie w $ \R^{m} $. Z części pierwszej dowodu otrzymujemy

\[ \int_{G_\alpha} d\omega_\alpha = \int_{\partial G_\alpha} \omega_\alpha\, , \qquad \alpha=1,\ldots, N, \]

lub równoważnie, zgodnie z definicjami całki i własnościami przekształcenia $ \Psi^\ast $,

\[ \int_{G\cap U_\alpha} d(\zeta_\alpha \omega) = \int_{\partial G \cap U_\alpha } \zeta_\alpha\omega\, , \qquad \alpha=1,\ldots, N. \]

Sumując takie wzory i korzystając z równości $ 1=\sum_\alpha\zeta_\alpha $, otrzymujemy tezę.
$ \Box $

Przykład [przypadek szczególny: klasyczny wzór Stokesa] Znamy już dwa ważne przypadki szczególne twierdzenia Stokesa, mianowicie twierdzenie Greena i twierdzenie Gaussa o dywergencji. Omówimy teraz jeszcze jeden. Załóżmy, że rozmaitość orientowalna dwuwymiarowa $ M^2 $ jest zawarta w $ \R^3 $. Niech $ G\Subset M $ będzie zbiorem zwartym z brzegiem (w topologii indukowanej) $ \partial G $, który jest rozmaitością jednowymiarową, tzn. po prostu sumą skończenie wielu krzywych zamkniętych klasy $ C^1 $. Weźmy zbiór otwarty $ W\subset \R^3 $ taki, że $ G\Subset W $, oraz 1-formę

\[ 	\omega= v_1\, dx_1 + v_2\, dx_2 + v_3\, dx_3\in \Omega^1(W)\, . 	\]

Tak, jak opisaliśmy w podrozdziale [link], 1-formę $ \omega $ można w $ \R^3 $ utożsamić z gładkim polem wektorowym $ \vv=(v_1,v_2,v_3)\colon W\to \R^3 $.

Orientacja powierzchni w $ \R^3 $ polega w istocie na wskazaniu jej dodatniej strony. Na rysunku $ M $ jest torusem (niewidocznym w całości); strona zewnętrzna, wskazywana przez iloczyn wektorowy wektorów dodatnio zorientowanej bazy przestrzeni stycznej, jest dodatnia. Zbiór $ G $ jest wygiętą rurką; $ \partial G $ składa się z dwóch okręgów. Zaznaczony wektor styczny do $ \partial G $ wskazuje orientację brzegu dziedziczoną z $ M $.

Krążeniem pola $ \vv $ wzdłuż krzywej (zorientowanej) $ \gamma\subset \R^3 $ nazywamy całkę

\[ \int_\gamma \langle \vv, \btau\rangle\, d\sigma_1\, , \]

gdzie $ \btau\colon \gamma\to \S^1 $ oznacza jednostkowy wektor styczny do krzywej $ \gamma $, zgodny z jej ustaloną orientacją, zaś $ \sigma_1 $ jest długością łuku (tzn. jednowymiarową miarą powierzchniową). Okazuje się, że z twierdzenia Stokesa wynika następujący klasyczny wzór (zwany także wzorem Stokesa):

\[ \begin{equation} 	\label{Stokes klas} 	\int_{\partial G} \langle \vv, \btau\rangle\, d\sigma_1 =  	\int_G \langle\rot \vv, \bnu\rangle\, d\sigma_2\,  \end{equation} \]

gdzie $ \nu $ jest jednostkowym wektorem normalnym do $ M $, wskazującym jej dodatnio zorientowaną stronę\/, zaś $ \tau $ jest jednostkowym wektorem stycznym do $ \partial G $, wskazującym dziedziczoną orientację brzegu $ G $ w $ M $. Inaczej mówiąc, krążenie pola wektorowego wzdłuż krzywej zamkniętej jest równe strumieniowi rotacji tego pola wektorowego przez (dowolną) powierzchnię rozpiętą na tej krzywej.

Wyjaśnijmy sprawę orientacji poglądowo (patrz załączony rysunek). Wybór orientacji $ M $ oznacza, że możemy wskazać dodatnio zorientowaną bazę $ (\ww_1,\ww_2) $ przestrzeni $ T_{\mpp} M $. Iloczyn wektorowy $ \ww_1\times \ww_2 $ jest prostopadły do $ T_{\mpp} M $; przyjęte jest mówić, że wskazuje on dodatnią stronę $ M $. Przy ustalonym $ \pp\in M $ wektor jednostkowy

\[ \bnu=\frac{\ww_1\times \ww_2}{\|\ww_1\times \ww_2\|} \]

nie zależy od wyboru dodatnio zorientowanej bazy przestrzeni stycznej. Wektor styczny $ \btau $ w punkcie $ \pp\in \partial G $ wybieramy tak, aby para $ (\nn,\tau) $, gdzie $ \nn\in T_{\mpp} M $ jest wektorem normalnym zewnętrznym do $ \partial G $, stanowiła dodatnio zorientowaną bazę $ T_{\mpp} M $. Nietrudno się przekonać, że wybór $ \btau $ opisuje następująca poglądowa reguła: wędrując wzdłuż $ \partial G $ w kierunku wskazanym przez $ \btau $, tak, aby widzieć dodatnią stronę $ M $ (tzn. tak, aby wektor $ \bnu $ wskazywał kierunek ``do góry''), widzimy zbiór $ G $ z lewej strony.

Przekonajmy się, że wzór Stokes klas istotnie wynika z ogólnego twierdzenia Stokesa. Bez zmniejszenia ogólności załóżmy, że $ \partial G=\gamma $ jest jedną krzywą zamkniętą; niech

\[ \phi=(\phi_1,\phi_2,\phi_3)\colon [a,b]\to \R^3 \]

będzie jej (zorientowaną) parametryzacją. Wprost z definicji całki z 1-formy wynika, iż

\[ \begin{align} \int_\gamma \omega&=\int_a^b \sum_{j=1}^3 v_j(\phi(t))\phi_j'(t)\, dt \nonumber\\ &= \int_a^b \Big\langle \vv(\phi(t)), \underbrace{\frac{\phi'(t)}{\|\phi'(t)\|}}_{\text{wektor dł. 1}} \Big\rangle\, \cdot \underbrace{\|\phi'(t)\|\, dt}_{\text{długość łuku}} = \int_\gamma \langle \vv, \btau\rangle\, d\sigma_1\, . \label{st klas 1} \end{align} \]

Różniczkę $ \eta=d\omega $ formy $ \omega=\sum v_i\, dx_i $,

\[ \eta=\eta_1\, dx_2\wedge dx_3 +\eta_2\, dx_3\wedge dx_1 + \eta_3\, dx_1\wedge dx_2=\sum_{\text{znak}\, (i,j,k)=1} \eta_i\; dx_j\wedge dx_k, \]

gdzie, zgodnie ze wzorem na różniczkę zewnętrzną, $   \eta_i =\pcz{v_k}{x_j}-\pcz{ v_j}{x_k}  $, można - dzięki izomorfizmowi opisanemu w podrozdziale [link] - utożsamić z rotacją $ \rot \vv=(\eta_1,\eta_2,\eta_3) $ pola $ \vv $. Niech $ \Psi\colon \R^2\supset O\to M $ będzie parametryzacją zorientowaną. Zgodnie z wzorami na przeciąganie form, patrz Stwierdzenie [link](iii),

\[ \begin{align*} \int_{\Psi(O)} d\omega = \int_{\Psi(O)}\eta & = \int_{\Psi(O)} \sum_{\text{znak}\, (i,j,k)=1} \eta_i \; dx_j\wedge dx_k\\ &= \int_O \sum_{i=1}^3 \eta_i (\Psi(u,v)) \cdot \Delta_i \; d\lambda_2(u,v)    \end{align*} \]

gdzie symbole $ \Delta_i $ oznaczają wyznaczniki

\[ \Delta_i =\pcz{\Psi_j}{u}\cdot\pcz{\Psi_k} v- \pcz{\Psi_j}{v}\cdot\pcz{\Psi_k} u,  \]

a znak permutacji $ (i,j,k) $ jest równy 1. Zatem wektor

\[ {\bm \Delta}= (\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3)=\pcz\Psi u \times \pcz \Psi v \]

jest iloczynem wektorowym wektorów stycznych $ \pcz \Psi u $ i $ \pcz \Psi v $, tworzących dodatnio (Orientacja tej bazy jest dodatnia, gdyż $ \pcz \Psi u=D\Psi(\ee_1) $, $ \pcz\Psi v=D\Psi(\ee_2) $, a baza $ (\ee_1,\ee_2) $ wyznacza standardową orientację $ \R^2 $.) zorientowaną bazę $ T_{\Psi(u,v)}M $. Inaczej mówiąc, $ \bm\Delta $ wskazuje dodatnią stronę $ M $.

Kontynuując rozpoczęty rachunek, piszemy - pamiętając, że $ \rot\vv=(\eta_1,\eta_2,\eta_3) $ - równości

\[ \begin{align} \int_{\Psi(O)} d\omega   &= \int_O \sum_{i=1}^3 \eta_i (\Psi(u,v)) \cdot \Delta_i \; d\lambda_2(u,v)\label{st klas 2}\\ & = \int_{O} \Big\langle \rot \vv, \frac{\bm\Delta}{\|\bm\Delta\|}\Big\rangle\; \underbrace{\sqrt{(\Delta_i)^2+(\Delta_2)^2+(\Delta_3)^2}\;  d\lambda_2(u,v)}_{\text{miara powierzchniowa\,}} = \int_{\Psi(O)}  \langle \rot \vv, \bnu\rangle\; d\sigma_2\, . \nonumber \end{align} \]

Jak widać, posłużyliśmy się na koniec wzorem Cauchy'ego-Bineta i definicją miary powierzchniowej. Uzyskane równości st klas 1 i st klas 2 świadczą, że wzór Stokes klas istotnie wynika z twierdzenia Stokesa.

Zadanie Niech $ \gamma=\{(x,y,0)\in \R^3\colon x^2+y^2=1\} $ i niech $ F\colon \R^3\to \R^3 $ będzie dyfeomorfizmem. Oznaczmy $ \gamma_1=F(\gamma) $. Wykazać, że jeśli $ \vv $ jest gładkim polem wektorowym na $ \R^3 $ o zerowej rotacji, to $ \vv $ nie może być styczne w każdym punkcie do krzywej $ \gamma_1 $. (Inaczej: krzywa $ \gamma_1 $ nie jest linią sił pola $ \vv $).
Zadanie Wyprowadzić wzór Stokes klas z twierdzenia Greena w przypadku, gdy $ M $ jest wykresem funkcji gładkiej $ x_3=g(x_1,x_2) $.
Uwaga [przypadek niegładkiego brzegu] Założenia o gładkości brzegu w twierdzeniach Greena i Gaussa można znacząco osłabić. Opiszemy tu jedno z takich uogólnień. Załóżmy, że $ \Omega\subset \R^n $ jest otwarty i ograniczony, zaś $  \partial\Omega = M_1\cup M_2 \cup M_3\cup\ldots \cup Z $, gdzie $ M_k $, $ k\in \N $, są rozmaitościami klasy $ C^1 $ o skończonej sumie miar powierzchniowych,

\[ \sum_{k=1}^\infty \sigma_{n-1}(M_k)<\infty\, , \]

zaś $ Z $ jest zbiorem miary Hausdorffa $ \mathcal{H}^{n-1} $ zero, tzn. spełnia warunek: dla każdego $ \eps>0 $ istnieje pokrycie zbioru $ Z $ kulami $ B(\xx_i, r_i) $, $ i\in \N $, takie, że

\[ \sum_{i=1}^\infty r_i^{n-1} < \eps\, . \]

Opisane założenia oznaczają, że brzeg $ \Omega $ jest gładki, za wyjątkiem zaniedbywalnego zbioru kantów, ostrzy itp. Nietrudno zauważyć, że takimi zbiorami $ \Omega $ są np. wszystkie wielościany w $ \R^3 $. Herbert Federer (H. Federer, Coincidence functions and their integrals. Trans. Amer. Math. Soc. 59, (1946), str. 441-466; patrz także monografia Federera Geometric measure theory). wykazał, że jeśli $ \Omega $ spełnia powyższe warunki, a $ f\colon\overline\Omega\to \R $ jest ciągła w $ \overline\Omega $ i różniczkowalna w $ \Omega $, to

\[ \begin{equation}  	\label{Federer} 	\int_{\Omega} \pcz f{x_j}\; d\lambda_n = \int_{\partial\Omega} f\bnu_j\; d\sigma_{n-1}, \qquad j=1,\ldots, n, \end{equation} \]

gdzie $ \int_{\partial\Omega} f\bnu_j\; d\sigma_{n-1}:=\sum_{k=1}^\infty\int_{M_k}f\bnu_j\; d\sigma_{n-1} $, a $ \bnu_j $ jest $ j $-tą współrzędną wektora normalnego zewnętrznego, określonego w punktach zbioru $ \partial\Omega\setminus Z $. Zauważmy, że podstawiając $ f=f_j $ i sumując wzory Federer, uzyskuje się twierdzenie Gaussa o dywergencji.

\appendix

\chapter{Gładki rozkład jedności} (#)

Lemat Niech $ K\subset \R^n $ będzie zbiorem zwartym, $ U\subset \R^n $ - zbiorem otwartym. Jeśli $ K\Subset \Omega $, to istnieje funkcja $ \eta\in C_0^\infty (U) $ taka, że $ 0\le \eta \le 1 $ i $ \eta\equiv 1 $ w otoczeniu zbioru $ K $. (#)
Dowód: Wybierzmy liczbę dodatnią $ \eps< \frac 15\dist (K,\R^n\setminus \Omega) $. Niech

$$K_{2\eps}=K+B(0,2\eps)=\{\xx\in \R^n\colon\dist (\xx, K)<2\eps \}\, .$$

Zbiór $ K_{2\eps} $ jest otwarty; nietrudno sprawdzić, że funkcja

\[ \eta:=\charfn_{K_{2\eps}}\ast \varphi_\eps, \]

gdzie $ \varphi_\eps $ jest jakąkolwiek jedynką aproksymatywną (patrz Definicja [link]), ma wszystkie żądane własności. Gładkość $ \eta $ wynika z Wniosku [link]; ponadto, jeśli $ \dist(\xx,K)>2\eps $, to $ \eta(\xx)=0 $, gdyż

\[ \eta(\xx)=\int_{\R^n} \charfn_{K_{2\eps}}(\yy)\varphi_{\eps}(\xx-\yy)\, d\lambda_n(\yy) \]

i jeśli pierwszy czynnik pod całką nie jest zerem, tzn. $ \yy\in K_{2\eps} $, to wtedy $ \|\xx-\yy\|>\eps $ dla $ \dist(\xx,K)>2\eps $, więc drugi czynnik pod całką, $ \varphi_\eps(\xx-\yy) $, znika - dlatego całka jest zerem. □

Lemat Niech $ K\subset \R^n $ będzie zbiorem zwartym i niech $ K\Subset U_1\cup\ldots \cup U_N $, gdzie zbiory $ U_j $ są otwarte dla $ j=1,\ldots,N $. Istnieją wtedy funkcje nieujemne $ \zeta_j\in C_0^\infty (U_j) $ takie, że

\[ 	\zeta_1+\cdots +\zeta_N=1 \qquad\mbox{na pewnym zbiorze otwartym $W\subset \R^n$,} 	\]

takim, że $ K\subset W\subset U_1\cup\ldots \cup U_N $. (#)

Dowód: Niech $ \lambda>0 $ będzie liczbą Lebesgue'a pokrycia $ U_1,\ldots, U_N $ zbioru $ K $. Ustalmy $ 0<\eps<\frac\lambda 3 $. Połóżmy

\[ K_j:= \{\xx\in K\colon \dist (\xx,\R^n\setminus U_j)\ge \eps\}\, , \qquad j=1,\ldots,N. \]

Zbiór $ K_j\subset K $ jest domknięty, więc jest zwarty, gdyż $ K $ jest zwarty. Jeśli $ \xx\in K $, to - zdefinicji liczby Lebesgue'a - kula $ B(\xx,\lambda) $ jest zawarta w którymś ze zbiorów $ U_j $, zatem tym bardziej $ B(\xx,3\eps)\subset U_j $, a więc $ \xx\in K_j $ dla tego indeksu $ j $. Stąd $ K= K_1\cup\ldots \cup K_N $.

Ponadto, $ K_j\Subset U_j $, gdyż jeśli $ \xx\not\in U_j $, to $ \dist(\xx,\R^n\setminus U_j)=0 $.

Połóżmy $ V_j=K_j+B(\zero,\eps) $. Zbiory $ V_j $ są otwarte, a ich domknięcia są zwarte i $ \overline{V}_j\Subset U_j $. Zbiór $ V=V_1\cup\ldots \cup V_N $ jest otwartym otoczeniem $ K_1\cup\ldots\cup K_N= K $. ZLematu [link] wnioskujemy, że istnieją funkcje nieujemne

\[ \eta \in C_0^\infty(V), \qquad \varphi_j\in C_0^\infty(U_j) \]

takie, że $ \eta\equiv 1 $ w pewnym otoczeniu $ W $ zbioru $ K $, takim, że $ W\Subset V $, zaś $ \varphi_j\equiv1 $ w otoczeniu $ G_j $ zbioru $ \overline{V}_j $, takim, że $ G_j\Subset U_j $. Przyjmijmy teraz

\[ h=\sum_{j=1}^N \varphi_j, \qquad \zeta_j=\frac{\eta\varphi_j} h\, . \]

Ponieważ $ h\ge 1 $ na sumie zbiorów $ G_j $, więc definicja funkcji $ \zeta_j $ jest poprawna, gdyż i tak $ \eta \equiv 0 $ poza zbiorem $ V\Subset \bigcup G_j $. Oczywiście, na zbiorze $ W $, tzn. tam, gdzie $ \eta\equiv 1 $, mamy

\[ \sum_{j=1}^N  \zeta_j=\sum_{j=1}^N \frac{\eta\varphi_j} h = \frac\eta h\sum_{j=1}^N {\varphi_j} = 1. \]

Dowód lematu jest zakończony. □

\chapter{Lemat Poincar\'{e}go w obszarach gwiaździstych}

Opiszemy jeszcze uogólnienie warunków całkowalności, sformułowanych dla $ 1 $-form w Twierdzeniu [link].

Definicja Obszar $ \Omega\subset\R^n $ nazywa się gwiaździsty względem punktu $ \xx_0\in \Omega $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ \xx\in \Omega $ odcinek $ [\xx_0,\xx] $ zawiera się w $ \Omega $.
Twierdzenie [lemat Poincar\'{ego}](#) Niech $ U\subset\R^n $ będzie obszarem gwiaździstym względem zera i niech $ k=1,\ldots,n $. Wówczas każda forma zamknięta $ \omega\in \Omega^k(U) $ jest dokładna. Co więcej, jeśli dla $ k=1,\ldots,n $ operator liniowy $ H\colon \Omega^{k}(U)\to \Omega^{k-1}(U) $ określony jest wzorem

\[ \begin{equation} 		\label{pierwotna k formy} 	H(f\, {\dyj xI})=\sum_{l=1}^k (-1)^{l-1} x_{i_l} \biggl(\int_0^1 t^{k-1}f(t\xx)\, dt\biggr)\; dx_{I\langle l\rangle}, \end{equation} \]

gdzie, dla $ I=(i_1,\ldots,i_k) $ symbol $ I\langle l\rangle=(i_1,\ldots,i_{l-1},i_{l+1},\ldots,i_l) $ oznacza zestaw $ I $ z pominiętym $ l $-tym elementem $ i_l $, to wówczas

\[ \begin{equation} 	\omega = H(d\omega) + d(H\omega) 	\label{oHo} \end{equation} \]

dla każdej $ k $-formy, niekoniecznie zamkniętej; w szczególności, gdy $ d\omega=0 $, to $ \omega=d(H\omega) $.

Dowód: Obliczymy najpierw różniczkę formy $ 	H(f\, {\dyj xI}) $. Stosując wzór d wspolrz, otrzymujemy

\[ \begin{align} d\big(	H(f\, {\dyj xI}) \big) & =	\sum_{l=1}^k (-1)^{l-1}  \biggl(\int_0^1 t^{k-1}f(t\xx )\, dt\biggr)\; dx_{i_l}\wedge dx_{I\langle l\rangle}\nonumber\\ & {}\qquad{} + \sum_{l=1}^k (-1)^{l-1} x_{i_l}\; d\biggl(\int_0^1 t^{k-1}f(t\xx )\, dt\biggr) \wedge dx_{I\langle l\rangle}\label{C S}\\ &= k \biggl(\int_0^1 t^{k-1}f(t\xx )\, dt\biggr)\; \dyj xI %\nonumber \\& {}\qquad{}  + \sum_{l=1}^k (-1)^{l-1} x_{i_l}\; d\biggl(\int_0^1 t^{k-1}f(t\xx )\, dt\biggr) \wedge dx_{I\langle l\rangle}, \nonumber \end{align} \]

gdyż $ (-1)^{l-1} dx_{i_l}\wedge dx_{I\langle l\rangle}=\dyj xI $ (aby `wstawić $ dx_{i_l} $ we właściwe miejsce', wykonujemy $ (l-1) $ przestawień). Całkując przez części, sprawdzamy, że

\[ \begin{align*} k \int_0^1 t^{k-1}f(t\xx )\, dt &= t^kf(t\xx )\Big|_0^1 - \int_0^1 t^k\sum_{\nu=1}^n x_\nu \pcz{f}{x_\nu}(t\xx )\, dt\\ &=f(\xx)-\sum_{\nu=1}^n x_\nu\int_0^1 t^k \pcz{f}{x_\nu}(t\xx )\, dt\, . \end{align*} \]

Różniczka zewnętrzna całki w C S jest równa

\[ d\biggl(\int_0^1 t^{k-1}f(t\xx )\, dt\biggr) = \sum_{\nu=1}^n \biggl(\int_0^1 t^{k}\pcz{f}{x_\nu}(t\xx )\, dt\biggr) dx_\nu \]

Podstawiając te wyniki do C S, otrzymujemy

\[ \begin{equation} \label{d H f} \begin{split} d\big(	H(f\, {\dyj xI})\big)&= f(\xx)\, \dyj xI -x_\nu\biggl(\int_0^1 t^k\sum_{\nu=1}^n  \pcz{f}{x_\nu}(t\xx )\, dt\,\biggr)\; \dyj xI\\  & {}\qquad{} + \sum_{l=1}^k  \sum_{\nu=1}^n(-1)^{l-1} x_{i_l}\; \biggl(\int_0^1 t^{k}\pcz{f}{x_\nu}(t\xx )\, dt\biggr) dx_\nu\wedge \dyj x{I\langle l\rangle}.	 \end{split} \end{equation} \]

Teraz, dla $ \omega=f\, \dyj xI $, wyznaczymy $ H(d\omega)=H(df\wedge \dyj xI) $. Ponieważ

\[ d\omega=df\wedge \dyj xI = \sum_{\nu=1}^n \pcz{f}{x_\nu}dx_\nu\wedge dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_l}\, , \]

więc, wobec liniowości $ H $, otrzymujemy wprost z definicji tego operatora

\[ \begin{equation} \begin{split} H(df\wedge \dyj xI) & = \sum_{\nu=1}^n \biggl(\int_0^1t^k \pcz{f}{x_\nu}(t\xx)\, dt\biggr)\,x_\nu\; dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_l}\\ & {}\qquad{}+ \sum_{\nu=1}^n\sum_{l=1}^k(-1)^l \biggl(\int_0^1t^k \pcz{f}{x_\nu}(t\xx)\, dt\biggr)\,x_{i_l}\; dx_\nu\wedge \dyj x{I\langle l\rangle}\, . \end{split} \label{H df} \end{equation} \]

(proszę przemyśleć, dlaczego w drugiej sumie figuruje znak $ (-1)^l $, a nie $ (-1)^{l-1} $). Dodając d H f i H df stronami, otrzymujemy tezę.□

Uwaga Proszę zauważyć, że w dowodzie korzystamy jedynie z tego, że współczynniki formy $ \omega $ są klasy $ C^1 $.
Wniosek Jeśli $ g_1,\ldots,g_n\in C^1(U) $, zbiór $ U\subset\R^n $ jest otwarty i gwiaździsty względem zera w $ \R^n $, a ponadto zachodzi warunek

\[ \begin{equation} \label{fij} \pcz{g_i}{x_j}=\pcz{g_j}{x_i} \qquad\mbox{na $U$ dla wszystkich $i,j=1,\ldots, n$,}	 \end{equation} \]

to istnieje $ h\in C^2(U) $ taka, że $ h_{x_i}=g_i $ dla $ i=1,\ldots, n $.

Dowód: Z założenia fij wynika, że

\[ d(g_1\, dx_1+\cdots + g_n\, dx_n)= \sum_{1\le i < j\le n}\left(\pcz{g_j}{x_i}-\pcz{g_i}{x_j}\right) dx_i\wedge dx_j = 0\, . \]

Dla formy $ \omega=g_1\, dx_1+\cdots + g_n\, dx_n $ znika więc składnik $ H(d\omega) $ po prawej stronie wzoru oHo. Kładąc $ h=H\omega $, gdzie $ H $ jest operatorem z Lematu Poincar\'{e}go, otrzymujemy funkcję klasy $ C^2 $ taką, że $ dh=g_1\, dx_1+\cdots + g_n\, dx_n $, tzn. $ h_{x_i}=g_i $.□

Zadanie Udowodnić tezę powyższego wniosku, zakładając jedynie, że obszar $ U $ jest dyfeomorficzny z kulą $ B(\zero,1)\subset \R^n $.     Wskazówka. Skorzystać z Twierdzenia [link](iv).

\chapter{Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym}

Na zakończenie, pokażemy, że z twierdzenia Stokesa wynika twierdzenie Brouwera o punkcie stałym i twierdzenie o nieistnieniu retrakcji kuli do brzegu.

W tym podrozdziale symbol $ B(0,r) $ oznacza kulę domkniętą w $ \R^n $ o środku w zerze i promieniu $ r $. Niech $ B=B(0,1)=\{\xx\in \R^n\colon \|x\|\le 1\} $

Twierdzenie [Brouwera o punkcie stałym] Jeśli przekształcenie $ f\colon B\to B $ jest ciągłe, to ma punkt stały, tzn. istnieje punkt $ \xx\in B $ taki, że $ f(\xx)=\xx $. (#)
Twierdzenie Nie istnieje odwzorowanie ciągłe $ g\colon B\to \S^{n-1}=\partial B $ takie, że $ g(\xx)=\xx $ dla wszystkich $ \xx\in\partial B $. (#)

    Dowód Twierdzenia [link] Załóżmy, że teza jest fałszywa. Niech $ g\colon B\to \S^{n-1} $ będzie ciągłe i niech $ g(\xx)=\xx $ na sferze jednostkowej $ \S^{n-1} $.

    Krok 1. Wykażemy, że bez zmniejszenia ogólności można założyć, że przekształcenie $ g $ jest gładkie, $ g\colon \R^n\to \S^{n-1} $ i $ g(\xx)=\xx $ na $ \S^{n-1} $. Istotnie, przedłużmy najpierw $ g $ do przekształcenia ciągłego $ g\colon \R^n\to \R^n $, kładąc $ g(\yy)=\yy $ dla $ \|\yy\|>1 $. Następnie, rozpatrzmy splot $ g_1:=\varphi_\eps \ast g $ przekształcenia $  g $ z jedynką aproksymatywną

\[ \varphi_\eps(\xx)=\frac{1}{\eps^n}    \varphi\Big(\frac{\xx}\eps\Big), \qquad\mbox{gdzie}\quad\varphi\in C_0^\infty(\R^n),\quad  \int_{\R^n}\varphi\, d\lambda_n=1\, . \]

Przekształcenie $ g_1 $ jest dobrze określone i gładkie, patrz podrozdział [link]. Jeśli $ \eps $ jest dostatecznie małe, to $ g_1\not = 0 $ w kuli $ B(0,2) $; ponadto, jeśli wybierzemy funkcję $ \varphi\in C^\infty_0(\R^n) $ zależną jedynie od $ \|\xx\| $, to wówczas

\[ \begin{equation} 	\label{g_1}                   	g_1(\xx) = \int_{\R^n} \varphi_\eps(\yy)\cdot  (\xx-\yy) \; d\lambda_n (\yy)=\xx \qquad\mbox{dla $\|\xx\|\ge \frac 32$,}    \end{equation} \]

gdyż dla $ j=1,\ldots,n $ całki $ \int_{\R^n} y_j\varphi_\eps(\yy)d\lambda_n $ znikają wobec nieparzystości funkcji podcałkowych. Dlatego $ g_1\not=\zero $ w całej przestrzeni $ \R^n $.

Połóżmy teraz

\[ g_2(\xx) = \frac{g_1(2\xx)}{\|g_1(2\xx)\|}\, . \]

Wówczas $ g_2\colon \R^n\to \S^{n-1} $ i $ g_2\in C^\infty $. Wreszcie, $ g_2(\xx)=\xx $ na $ \S^{n-1} $ wobec warunku g_1.

    Krok 2. Niech $ g=(g_1,\ldots,g_n)\colon \R^n\to \S^{n-1} $ będzie przekształceniem gładkim, takim, że $ g(\xx)=\xx $ na $ \S^{n-1} $. Wówczas, dwukrotnie korzystając z twierdzenia Stokesa, otrzymujemy

\[ \begin{align*} \lambda_n(B)=\int_B dx_1\wedge \ldots \wedge dx_n &= \int_B d\big( x_1\, dx_2\wedge \ldots \wedge dx_n\big) \\  &=   \int_{\S^{n-1}} x_1\, dx_2\wedge \ldots \wedge dx_n \\ &=   \int_{\S^{n-1}} g_1\, dg_2\wedge \ldots \wedge dg_n \\ & = \int_{B} d\big(g_1\, dg_2\wedge \ldots \wedge dg_n\big) =\int_B   dg_1\wedge \ldots \wedge dg_n = 0, \end{align*} \]

gdyż

\[ \int_B   dg_1\wedge \ldots \wedge dg_n = \int_B \det Dg\; d\lambda_n = 0 \]

(ostatnia równość wynika stąd, że $ g $ obniża wymiar: $ n $ kolumn macierzy $ Dg $ to wektory styczne do $ (n-1) $-wymiarowej sfery, więc macierz $ Dg $ musi mieć rząd mniejszy od $ n $.)

Uzyskana sprzeczność $ \pi^{n/2}/\Gamma((n+2)/2)=\lambda_n(B)=0 $ kończy dowód. □

    Dowód Twierdzenia [link] Załóżmy, że przekształcenie ciągłe $ f\colon B\to B $ nie ma punktu stałego. Zdefinujmy odwzorowanie $ g\colon B\to \partial B $ następująco: jeśli $ \xx\in B $, to $ g(\xx) $ jest tym punktem, w którym półprosta o początku $ f(\xx) $, przechodząca przez $ \xx $, przecina sferę $ \S^{n-1}=\partial B $.

Przekształcenie $ g $ jest dobrze określone, gdyż $ f\colon B\to B $ i $ f(\xx)\not=\xx $. Ciągłość $ g $ wynika z ciągłości $ f $. Wreszcie, $ g(\xx)=\xx $ na $ \partial B $. Jednak istnienie takiego przekształcenia $ B $ przeczy udowodnionemu wcześniej Twierdzeniu [link]. Dlatego założenie, że $ f $ nie ma punktu stałego, musi być fałszywe. □