Liczby zespolone, ciała

Nasza dyskusja równań liniowych opierała się na jedynie na regułach arytmetyki liczb rzeczywistych i zbiór liczb rzeczywistych można tu zastąpić innymi obiektami algebraicznymi - ciałami, których elementy można dodawać i mnożyć zgodnie z analogicznymi regułami.

Z punktu widzenia tego wykładu najważniejszym, obok $ \R $, ciałem jest ciało liczb zespolonych, które otrzymuje się dołączając do $ \R $, w możliwie oszczędny sposób, rozwiązanie równania $ x^2=-1 $ (którego nie ma w ciele $ \R $).

Wspomnimy też jednak o ciałach zupełnie innego typu - ciałach skończonych $ \Z_p $.

Liczby zespolone

Liczby rzeczywiste $ \R $ rozszerzymy dołączając ``liczbę urojoną'' $ \sqrt{-1} $ oznaczaną symbolem $ i $, tak aby na otrzymanych ``liczbach zespolonych'' można było wykonywać algebraiczne operacje dodawania i mnożenia zgodnie ze standardowymi regułami arytmetyki liczb rzeczywistych.

W części [link] pokażemy, że dołączenie $ \sqrt{-1} $ prowadzi do systemu liczbowego, w którym każdy wielomian stopnia dodatniego $ a_0+a_1 x^1+\ldots+a_n x^n $ ma pierwiastek (zasadnicze twierdzenie algebry).

Definicja Liczbami zespolonymi będziemy nazywać wyrażenia postaci $ a+ib $ $ ( $gdzie $ i=\sqrt{-1} $ oraz $ a+ib=c+id \iff a=c $, $ b=d) $ z następującymi operacjami dodawania $ \oplus $ i mnożenia $ \odot\, $:

$$(a+ib)\oplus(c+id)=(a+c)+i(b+d)\ ;\qquad (a+ib)\odot(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$$

Zbiór liczb zespolonych z tak określonymi działaniami oznaczamy symbolem $ \c $.

Uwaga

  • [(a)] Wyrażenie $ a+i0 $ zapisujemy jako $ a $ i utożsamiamy je z liczbą rzeczywistą $ a $. W ten sposób $ \R\subset \c $, przy czym działania $ \oplus $ i $ \odot $ pokrywają się na $ \R $ ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem.

  • [(b)] %Wyrażenie $ 0+ib $, $ b\neq 0 $ zapisujemy jako $ ib $ $ (i $ jeśli $ b=1) $; w szczególności $ i\odot i = -1 $, tzn.\ $ i^2=-1 $ w $ \c $. Zamiast $ 0+ib $, $ b\neq 0 $ piszemy $ ib $ (lub $ i $ jeśli $ b=1) $; w szczególności $ i\odot i = -1 $, tzn.\ $ i^2=-1 $ w $ \c $.
  • [(c )] Liczbę zespoloną $ z=a+ib $ można interpretować jako punkt $ (a,b) $ płaszczyzny kartezjańskiej. Współrzędne $ a,b $ tego punktu będziemy nazywać odpowiednio {\em częścią rzeczywistą} $ \Re z $ i {\em częścią urojoną} $ \Im z $ liczby $ z $
Uwaga (#)Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych spełniają standardowe reguły arytmetyki liczb rzeczywistych, mają elementy neutralne ze względu na dodawanie i mnożenie (zero i jedynkę); w $ \c $ wykonlne są operacje odejmowania i dzielenia przez liczby różne od zera:

\[ \begin{tabular}{l[1cm]lll} (1)& przemienność  &$\ z_1\oplus z_2=z_2\oplus z_1$,&$\ z_1\odot z_2= z_2\odot z_1$;\\ (2)& łączność &$(z_1\oplus z_2)\oplus z_3=z_1\oplus(z_2\oplus z_3)$, & $(z_1\odot z_2)\odot z_3=z_1\odot (z_2\odot z_3)$;\\ (3)& elementy neutralne &$0$ dla dodawania: $z\oplus 0=z$,& $1$ dla mnożenia: $1\odot z=z$;\\ (4)&istnienie elementu &przeciwnego $-z$: $z\oplus -z=0$& odwrotnego $z^{-1}$, dla $z\neq 0$: $z\odot z^{-1}=1$\\ && $-(a+ib)=(-a)+i(-b)$,& $a+ib\neq0$, to $(a+ib)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2})+i(\frac{-b}{a^2+b^2})$;\\ \vspace{15pt} (5)&rozdzielność&  mnożenia względem dodawania& $z_1\odot (z_2\oplus z_3)=z_1\odot z_2\oplus z_1\odot z_3$. \end{tabular}\vspace{-25pt} \]

W dalszym ciągu zamiast $ \oplus $ i $ \odot $ będziemy używali zwykłych symboli dodawania i mnożenia w $ \R $. Odejmowanie definiujemy jako dodanie liczby przeciwnej $ z_1-z_2=z_1+(-z_2) $, dzielenie jako mnożenie przez liczbę odwrotną $ {z_1}:{z_2}=\frac{z_1}{z_2}=z_1(z_2^{-1}) $, $ n $-tą potęgę $ z^n $ jako iloczyn $ n $ egzemplarzy liczby $ z $, dla $ n>0 $, $ z^0=1 $ i $ z^{-n}=(z^{-1})^n $, tzn.\ rozszerzamy na $ \c $ konwencje związane z działaniami w $ \R $.

Postać trygonometryczna

Modułem liczby zespolonej $ z=a+ib $ nazywamy liczbę $ |z|=\sqrt{a^2+b^2}\in\R $. Interpretując liczbę $ z\neq 0 $ jako punkt $ (a,b) $ płaszczyzny kartezjańskiej widzimy, że $ |z| $ jest odległością $ z $ od $ 0 $, a liczba $ \frac{z}{|z|} $ odpowiadająca punktowi okręgu jednostkowego na płaszczyźnie ma postać $ \frac{z}{|z|}=\cos\theta+i\sin\theta $, gdzie kąt $ \theta $ zwany argumentem $ z $ i oznaczany przez $ \arg z $ jest wyznaczony z dokładnością do całkowitych wielokrotności $ 2\pi $.

Otrzymujemy stąd zapis liczby zespolonej $ z\neq 0 $ w postaci trygonometrycznej

\fbox{$ z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta) $,}

gdzie $ |z| $ jest modułem $ z $, a $ \theta $ argumentem $ z $.

Twierdzenie (#) Niech $ z_1=|z_1|(\cos\theta_1+i\sin\theta_1) $, $ z_2=|z_2|(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) $. Wtedy

$$z_1z_2=|z_1||z_2|(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)),$$

tzn.\ moduł iloczynu jest iloczynem modułów, a argument iloczynu jest sumą argumentów czynników.

Dowód: $ z_1z_2=|z_1|(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)|z_2|(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)= |z_1||z_2|(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)= |z_1||z_2|(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2+ i(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2))= |z_1||z_2|(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)) $.\ \ □
Stwierdzenie (Formuła de Moivre'a) $ (\cos\theta+i\sin\theta)^n= \cos(n\theta)+i\sin(n\theta) $.

Sprzężeniem liczby $ z=a+ib $ nazywamy liczbę $ \overline{z}=a-ib $. Dla $ z\neq0 $ mamy $ z\overline{z}=|z|^2 $ i $ \frac{1}{z}=\frac{\overline{z}\ }{|z|^2} $. %(różnica $ \overline{z}=a-ib=a+i(-b) $).

Pierwiastki z jedności

Ustalmy liczbę naturalną $ n>1 $. Pierwiastkiem stopnia $ n $ z jedności będziemy nazywać każdą liczbę zespoloną $ z $ taką, że $ z^n=1 $.

Niech $ \om=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n} $. Z formuły de Moivre'a wynika natychmiast, że liczby $ \om^k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n} $, $ k=0,1,\ldots,n-1 $, są wszystkimi pierwiastkami stopnia $ n $ z jedności.

Punkty płaszczyzny kartezjańskiej odpowiadające pierwiastkom stopnia $ n $ z jedności są wierzchołkami $ n $-kąta foremnego wpisanego w okrąg jednostkowy, mającego wierzchołek w $ \om^0=1 $.

Pierwiastek stopnia $ n $ z jedności nazywamy pierwotnym jeśli nie jest nie jest pierwiastkiem z jedności stopnia $ <n $. Do scharakteryzowania pierwiastków pierwotnych skorzystamy z następującego faktu związanego z dzieleniem z resztą liczb naturalnych.

Lemat (#) Dla względnie pierwszych liczb naturalnych $ 0<k<n $ istnieją liczby całkowite $ l,t $ takie, że $ lk+tn=1 $. Co więcej, można zakładać, że $ 0<l<n $.
Dowód: Niech $ d $ będzie najmniejszą liczbą dodatnią postaci $ d=sk+tn $, gdzie $ s,t $ są całkowite. Wystarczy pokazać, że $ d $ jest dzielnikiem $ k $ i $ n $. Dla reszty $ r=k-qd $ z dzielenia $ k $ przez $ d $ mamy $ r=k-q(sk+tn)= (1-qs)k+(-t)n $, więc $ r=0 $ z minimalności $ d $. Analogicznie pokazuje się, że $ d $ dzieli $ n $.

Drugą część tezy otrzymujemy przyjmując za $ l $ resztę z dzielenia $ s $ przez $ n $. Wtedy $ s=qn+l $, więc $ 1=sk+tn=(qn+l)k+tn=lk+(qk+t)n $ i w szczególności $ l>0 $. □

Twierdzenie Pierwiastek $ \om^k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n} $, $ 1<k<n $ stopnia $ n $ z jedności jest pierwotny wtedy i tylko wtedy, gdy $ k $ i $ n $ są względnie pierwsze.
Dowód: Niech $ k $ i $ n $ będą względnie pierwsze. Z lematu istnieją $ l,t $ takie, że $ 1=lk+tn $, a stąd $ \om=\om^{lk+tn}=\om^{lk}(\om^{n})^t=\om^{lk} $.

Załóżmy teraz, że $ d>1 $ jest wspólnym dzielnikiem $ k $ i $ n $, a $ q $ oraz $ m $ są takie, że $ k=qd $ oraz $ n=md $. Wtedy $ (\om^k)^m=(\om^{qd})^m=(\om^{md})^q=1 $, więc pierwiastek $ \om^k $ nie jest pierwotny □

Ciała

Własności dodawania i mnożenia w $ \R $ i w $ \c $ zebrane w Uwadze [link], stanowią punkt wyjścia definicji ciała.

Definicja (#) Zbiór $ K $ z dwoma ustalonymi elementami: $ 0,1 $ $ (\,0\neq 1) $ oraz dwoma działaniami: dodawania ``$ + $'' i mnożenia ``$ \cdot $'' nazywamy ciałem jeśli dla dowolnych $ a,b,c\in K $ spełnione są warunki $ ( $dziewięć aksjomatów ciała$ ) $

\[ \begin{tabular}{l[1cm]lllll} $(1)$& przemienność  &&\quad$\ a+b=b+ a$,&&$\ a\cdot b= b\cdot a$;\\ $(2)$& łączność &&\quad$(a+b)+c=a+(b+c)$, && $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$;\\ $(3)$& elementy neutralne &&\quad$0$ dla dodawania: $a+0=a$,&& $1$ dla mnożenia: $1\cdot a=a$;\\ $(4)$&istnienie elementu &&\quad przeciwnego $a'$: $a+ a'=0$,&& odwrotnego $a^*$, dla $a\neq 0$: $a\cdot a^*=1$;\\ $(5)$&rozdzielność&&  mnożenia względem dodawania&& $a\cdot (b+c)=a\cdot b+ a\cdot c$. \end{tabular} \]

Dla podkreślenia, że ciało to zbiór z wyróżnionymi zerem i jedynką oraz z ustalonymi działaniami, będziemy pisać $ \K $ zamiast $ K $.

Równanie $ x+a=b $ ma w ciele $ \K $ dokładnie jedno rozwiązanie, bo dodając do obu stron tego równania $ a' $ - ustalony element przeciwny do $ a $ otrzymujemy, po uporządkowaniu równoważne równanie $ x=b+a' $.

W szczególności wynika stąd, że $ 0 $ i element przeciwny do $ a $ (oznaczany przez $ -a $) są wyznaczone jednoznacznie. Analogiczne rozumowanie dla równania $ x\cdot a=b $, gdzie $ a\neq 0 $, pokazuje że $ 1 $ i element odwrotny do $ a $ (oznaczany przez $ a^{-1} $) są wyznaczone jednoznacznie. Ułamek $ \frac{b}{a} $ oznacza iloczyn $ b\cdot a^{-1} $.

Wszystko, co powiedzieliśmy w pierwszym rozdziale o układach równań liniowych o współczynnikach z ciała liczb rzeczywistych przenosi się bez zmian na układy o współczynnikach z dowolnego ciała, tzn.\ na układy postaci $ AX=B $, gdzie $ A\in\M{m}{n}{\K}, B\in\K^m $.

W dowolnym ciele prawdziwe są dobrze znane własności działań w $ \R $ (będziemy pisać $ ab $ zamiast $ a\cdot b $).

Uwaga (#) Dla dowolnych $ a,b\in\K $:

  • [a)] $ a0=0 $ (bo do obu stron $ a0+a0=a(0+0)=a0 $ można dodać $ -(a0) $).
  • [b)] $ ab=0 $, to $ a= 0 $ lub $ b=0 $ (bo $ a\neq 0 $, to obie strony można pomnożyć przez $ a^{-1} $).
  • [c)] $ (-1)a=-a $ (bo $ a+(-1)a=(1+(-1))a=0a=0 $).

Ciała $\mathbb{Z}_p$

Ważne przykłady ciał, które określimy w tej części są, w odróżnieniu od ciała liczb rzeczywistych $ \R $, ciała liczb wymiernych $ \Q $ i ciała liczb zespolonych $ \c $ - ciałami skończonymi.

Niech $ p $ będzie liczbą pierwszą i niech $ \om=\cos\frac{2\pi}{p}+i\sin\frac{2\pi}{p} $ będzie pierwiastkiem stopnia $ p $ z jedności. Wszystkie potęgi $ \om^n $ są również pierwiastkami stopnia $ p $ z jedności. Zbiór $ \Z_p=\set{\om^0,\om^1,\ldots,\om^{p-1}} $ wszystkich pierwiastków stopnia $ p $ z jedności jest więc zamknięty ze względu na działania

$$\om^k\oplus\om^l=\om^{k+l}\,; \om^k\odot\om^l=\om^{kl}.$$
Twierdzenie $ \Z_p $ z ustalonym elementem zerowym $ \0=\om^0 $, jedynką $ \textbf{1}=\om^1 $ oraz działaniami dodawania $ \oplus $ i mnożenia $ \odot $ jest ciałem.
Dowód: Elementem przeciwnym do $ \om^k\in\Z_p $ jest $ \om^{p-k} $, bo $ \om^k+\om^{p-k}=\om^p=\0 $. Jeśli $ \om^k\in\Z_p\setminus\set{0} $, to z Lematu [link] dla $ n=p $ istnieją $ l, t $ takie, że $ 1=lk+tp $. Elementem odwrotnym do $ \om^k\neq\0 $ jest wtedy $ \om^l $, bo $ \textbf{1}=\om^1=\om^{lk}\om^{tp}= \om^{lk}= \om^{k}\odot\om^{l} $. Pozostałe aksjomaty wynikają z odpowiednich własności dodawania i mnożenia liczb naturalnych. □