Wyznaczniki

Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją $ \det:\M{m}{n}{\K}\to\K $, ($ m=1,2,\ldots $) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno i zerującą sie na macierzach mających dwa identyczne wiersze. Jak zobaczymy, te warunki i warunek $ \det I_n=1 $ charakteryzują wyznacznik jednoznacznie, przy czym funkcję $ \det $ można określić przez indukcję ze względu na $ n $.

Zanim przystąpimy do dokładnego opisu wyznacznika, podamy pewną interpretację geometryczną funkcji $ \det:\M{3}{3}{\R}\to\R $. Własności wyznacznika zapewniają, że moduł wyznacznika nie zmienia się przy operacjach elementarnych typu (I) i (II) na wierszach macierzy. Tak więc, jeśli $ A\in\M{3}{3}{\R} $ jest macierzą odwracalną, a macierz $ B $ jest macierzą diagonalną otrzymaną w wyniku operacji elementarnych na wierszach $ A $ (zob.\ dowód Twierdzenia [link]), to $ |\det A|=|\det B| $.

Nietrudno sprawdzić, że operacje elementarne redukujące $ A $ do $ B $ nie zmieniają objętości równoległościanu rozpiętego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej na wierszach macierzy. Zatem objętości równoległościanów rozpiętych na wierszach $ A $ i $ B $ są identyczne. Ponieważ wiersze $ B $ rozpinają prostopadłościan i $ |\det B| $ jest iloczynem modułów wyrazów na przekątnej $ B $ - długości jego krawędzi, $ |\det B| $ jest objętością tego prostopadłościanu.

W rezultacie widzimy, że $ |\det A| $ jest objętością równoległościanu rozpiętego na wierszach macierzy $ A $. Znak wyznacznika wiąże się z orientacją przestrzeni. Do tej ważnej interpretacji geometrycznej wyznacznika nad ciałem liczb rzeczywistych powrócimy w dalszej części, po wprowadzeniu $ n $-wymiarowych przestrzeni euklidesowych. Najpierw jednak skupimy się na własnościach algebraicznych wyznaczników nad dowolnym ciałem skalarów.

Definicja i podstawowe własności

W tej części podamy dowód twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności wyznacznika.

Twierdzenie (#) Istnieje dokładnie jedna funkcja $ \det:\M{n}{n}{\K}\to\K $ $ ( $zwana wyznacznikiem$ ) $ taka, że

  • [(1)] $ \det \mk{c}{w_1\\\vdots\\cw_k\\\vdots\\w_n}=c\det \mk{c}{w_1\\\vdots\\w_k\\\vdots\\w_n} $ dla $ c\in\K $ $ ( $jednorodność względem $ k $-tego wiersza, $ k=1,\ldots,n) $,
  • [(2)] $ \det \mk{c}{w_1\\\vdots\\w_k'+w_k''\\\vdots\\w_n}=\det \mk{c}{w_1\\\vdots\\w'_k\\\vdots\\w_n}+\det \mk{c}{w_1\\\vdots\\w''_k\\\vdots\\w_n} $ $ ( $addytywność względem $ k $-tego wiersza, $ k=1,\ldots,n) $,
  • [(3)] $ \det A=0 $ jeśli $ A $ ma dwa sąsiednie wiersze równe.
  • [(4)] $ \det I_n=1 $.
Definicja (#)

Wartość $ \det A $ funkcji $ \det $ na macierzy $ A\in\M{n}{n}{\K} $ nazywamy wyznacznikiem $ A $.

Dowód przeprowadzimy określając najpierw indukcyjnie funkcję spełniającą warunki (1)-(4), a następnie upewniając się, że te warunki określają funkcję $ \det $ jednoznacznie.

Zaczniemy od uwagi pokazującej, że warunek (3) można wzmocnić żądając by wyznacznik zerował się na macierzach mających dwa równe wiersze. W definicji wyznacznika często podaje się taką mocniejszą wersję warunku (3). Użycie w [link] słabszej wersji (3) upraszcza dowód istnienia funkcji $ \det $.

Uwaga (#) Niech $ \det:\M{n}{n}{\K}\to\K $ spełnia warunki (1)-(4) i $ A\in\M{n}{n}{\K} $.

  • [(a)] Ustalmy $ k<l\leq n $. Jeśli $ \det C=0 $ dla macierzy $ C $ takich, że $ k $-ty wiersz $ C $ jest równy $ l $-temu i $ B\in\M{n}{n}{\K} $ powstaje z $ A $ w wyniku zamiany miejscami wiersza $ k $-tego z $ l $-tym, to $ \det B = -\det A $.
  • [(b)] $ \det C=0 $ jeśli $ C $ ma dwa wiersze równe.

Uzasadnimy (a). Niech $ w_k $ i $ w_l $ będą $ k $-tym oraz $ l $-tym wierszem macierzy $ A $. Rozpatrzmy macierze $ C' $, $ C'' $ i $ C''' $, mające $ k $-ty oraz $ l $-ty wiersz równy odpowiednio $ w_k+w_l $, $ w_k $ i $ w_l $, a pozostałe wiersze identyczne z wierszami $ A $. W (a) zakładamy, że wyznaczniki tych macierzy się zerują, a z (2) dla wierszy $ k $ i $ l $ mamy $ \det C' = \det C'' +\det A+\det B +\det C''' $, czyli $ \det A+\det B=0 $, co dowodzi (a).

Z (3) wynika, że założenie w (a) jest spełnione dla $ l=k+1 $. Oznacza to, że przestawienie dwóch sąsiednich wierszy zmienia znak wyznacznika. Jeśli $ C $ ma dwa wiersze równe, to kilkakrotnie zamieniając dwa sąsiednie wiersze miejscami możemy przekształcić $ C $ w macierz $ A $ mającą dwa sąsiednie wiersze równe. Z (3) mamy więc $ \det C=\pm\det A=0 $.

Istnienie funkcji $ \det $.\\ Załóżmy, że istnieje funkcja $ \det:\M{(n-1)}{(n-1)}{\K}\to\K $ spełniająca (1)-(4) (dla $ n=1 $ przyjmujemy $ \det[a]=a $).

Dla macierzy $ A=[a_{ij}]\in\M{n}{n}{\K} $ oznaczmy przez $ \MI{A}{ij} $ macierz z $ \M{(n-1)}{(n-1)}{\K} $ otrzymaną z $ A $ przez skreślenie $ i $-tego wiersza i $ j $-tej kolumny oraz przyjmijmy

$ d_j (A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det \MI{A}{ij}, $

Ustalmy $ j=1,\ldots,n $. Pokażemy, że $ d_j $ spełnia warunki (1)-(4) na macierzach z $ \M{n}{n}{\K} $ (po upewnieniu się, że (1)-(4) określają wyznacznik jednoznacznie, będziemy także wiedzieć, że $ d_j(A) $ nie zależy od $ j $).

Istotnie, jednorodność i addytywność za względu na $ k $-ty wiersz każdego składnika $ (-1)^{i+j}a_{ij}\det \MI{A}{ij} $ wynikają z założenia indukcyjnego dla $ i\neq k $, a jeśli $ i=k $, to własności te wynikają z faktu, że zmiana $ k $-tego wiersza nie zmienia $ \det \MI{A}{kj} $, a jedynie $ a_{kj} $.

Dla sprawdzenia własności (3) załóżmy, że $ k $-ty i $ (k+1) $-szy wiersz macierzy $ A $ są identyczne. Z założenia indukcyjnego zerują się wtedy wszystkie $ \det\MI{A}{ij} $ dla $ i\not\in\set{k,k+1} $, więc

$$d_j(A)=(-1)^{k+j}a_{kj} \det \MI{A}{kj}+(-1)^{(k+1)+j}a_{k+1\,j}\det \MI{A}{k+1\,j}=0,$$

a ponieważ macierze $ \MI{A}{kj} $ i $ \MI{A}{k+1\,j} $ są identyczne, mamy $ d_j(A)=0 $.

\m Własność (4) wynika z równości $ d_j (I_n)=(-1)^{j+j}\det \MI{({I_n})}{jj}=\det I_{n-1}=1 $.

Jednoznaczność funkcji $ \det $ na macierzach elementarnych.

Niech $ B $ będzie macierzą otrzymaną z macierzy $ A $ w wyniku operacji elementarnej na wierszach. Zbadamy zależność między $ \det A $ i $ \det B $.

Warunek (1) oznacza, że $ \det B=c\det A $ dla operacji mnożącej $ k $-ty wiersz przez $ c\neq 0 $.

Z Uwagi [link] wynika, że $ \det B=-\det A $ dla operacji zamieniającej dwa wiersze miejscami.

Pokażemy, że $ \det B=\det A $ dla operacji dodającej do $ k $-tego wiersza $ w_k $ macierzy $ A $ $ i $-ty wiersz $ w_i $ tej macierzy pomnożony przez skalar $ a $. Istotnie, z (2) i (1) wynika, że $ \det B=\det A+a\det C $, gdzie $ C $ jest macierzą mającą $ k $-ty i $ i $-ty wiersz równy $ w_i $, więc $ \det C=0 $.

Przypomnijmy, że wykonanie operacji elementarnej na wierszach $ A $ daje iloczyn $ MA $, gdzie $ M $ jest odpowiednią macierz elementarną, zob.\ Uwaga [link]. Dla macierzy $ A\in\M{n}{n}{\K} $ i macierzy elementarnej $ M\in\M{n}{n}{\K} $ mamy więc

$ (\ast) $ $ \det MA=\left\{\begin{array}{rrl} \det A &\mbox{dla } M & \mbox{dodającej do wiersza inny wiersz pomnożony przez skalar,}\\ -\det A&\mbox{dla } M & \mbox{zamieniającej dwa wiersze miejscami},\\ c\det A &\mbox{dla } M & \mbox{mnożącej wiersz przez } c\neq 0. \end{array}\right. $

\m Zastępując $ A $ przez $ I_n $, z warunku ($ 4 $) dostajemy

$ \det M\ =\ \left\{\begin{array}{rrl} 1 &\mbox{dla } M & \mbox{dodającej do wiersza inny wiersz pomnożony przez skalar,}\\ -1&\mbox{dla } M & \mbox{zamieniającej dwa wiersze miejscami},\\ c &\mbox{dla } M & \mbox{mnożącej wiersz przez } c\neq 0,</p>
<p>\end{array}\right. $

czyli $ \det MA=\det M\det A $ dla dowolnej macierzy $ A $ i macierzy elementarnej $ M $.

Jednoznaczność funkcji $ \det $.

Jeśli $ M_1,\ldots,M_p\in\M{n}{n}{\K} $ są macierzami elementarnymi, to z wzoru $ \det MA=\det M\det A $ wynika (przez indukcję ze względu na $ p $), że $ \det (M_p\ldots M_1B)=\det M_p\ldots\det M_1 \det B $ dla $ B\in\M{n}{n}{\K} $.

Dla odwracalnej macierzy $ A $ wartość $ \det A $ jest jednoznacznie wyznaczona i $ \det A\neq 0 $ (bo z Wniosku [link] $ A $ rozkłada się na iloczyn $ A=M_p\ldots M_1 $ macierzy elementarnych i przyjmując $ B=I_n $ dostajemy $ \det A=\det M_p\ldots\det M_1 $). Ponadto, $ \det AB=\det A\det B $ (bo $ \det AB =\det (M_p\ldots M_1B)=\det M_p\ldots\det M_1 \det B=\det A\det B $).

Dla macierzy $ A $, która nie jest odwracalna, $ \det A=0 $ (bo jeśli $ M $ jest iloczynem macierzy elementarnych odpowiadających operacjom redukującym $ A $ do postaci schodkowej, to ostatni wiersz $ MA $ jest zerowy i z (1) dla $ k=n $, $ c=0 $ mamy $ \det(MA)=0 $, ale $ \det (MA)=\det M\det A $ i $ \det M\neq 0 $, bo $ M $ jest odwracalna).

Wykazaliśmy więc jednoznaczność i zakończyliśmy dowód Twierdzenia [link]. $ \ep $

Uwaga (#)

  • [(a)] $ \det A\neq 0 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ A $ jest odwracalna\\ (pokazaliśmy to w dowodzie jednoznaczności).
  • [(b)] (Twierdzenie Cauchy'ego) $ \det AB=\det A\det B $ dla $ A,B\in\M{n}{n}{\K} $\\ (pokazaliśmy to dla $ A $ odwracalnej; w przeciwnym przypadku $ \det AB=0=\det A\det B $).
  • [(c)] Jeśli macierz $ A $ jest odwracalna, to $ \det (A^{-1})=(\det A)^{-1} $\\ (bo $ 1=\det I_n =\det(A\cdot A^{-1})= \det A\cdot\det (A^{-1}) $).

Obliczanie wyznaczników

Z jednoznaczności w Twierdzeniu [link] wynika, że $ d_j(A)=\det A $ dla funkcji $ d_j $ zdefiniowanych w dowodzie istnienia. Otrzymujemy więc

Twierdzenie (Rozwinięcie Laplace'a względem $ j $-tej kolumny).(#) Dla $ A=[a_{ij}]\in\M{n}{n}{\K} $

$ \det A=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det \MI{A}{ij}. $

Przykład Rozwijając względem pierwszej kolumny dostajemy dla $ n=2 $ wzór

$$det \left[\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\  \end{array}\right]=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},$$

a dla $ n=3 $ wzór Sarrusa

\m$ det\left[\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\  \end{array}\right]= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31} -a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}. $

Uwaga Wyznacznik $ (n\times n) $-macierzy dla $ n>3 $ można obliczyć zmniejszając wymiar macierzy przy pomocy rozwinięcia Laplace'a, lub redukując tę macierz do postaci schodkowej (macierz kwadratową w postaci schodkowej nazywamy górnie trójkątną). Wzory $ (\ast) $ w części [link] pozwalają powiązać wyznacznik macierzy wyjściowej z wyznacznikiem macierzy trójkątnej, który łatwo obliczyć korzystając z punktu $ (a) $ poniżej.

  • [(a)] Wyznacznik macierzy górnie trójkątnej jest iloczynem wyrazów na przekątnej (czyli dla $ A=[a_{ij}] $ takiej, że $ a_{ij}=0 $ dla $ i>j $, $ \det A=a_{11}\cdot\ldots\cdot a_{nn} $). Istotnie, rozwijając $ \det A $ względem pierwszej kolumny dostajemy wzór dający krok indukcyjny dowodu.

  • [(b)] Dla macierzy blokowo trójkątnej $ A=\mk{c|c}{A_1&\ast\\\hline\0&A_2} $, gdzie $ A_i\in\M{n_i}{n_i}{\K} $, mamy $ \det A=\det A_1\det A_2 $ (bo zgodnie z Uwagą [link] macierze $ [A_1|\ \ast\ ]\in\M{n_1}{n}{\K} $ i $ [\ \0\ |A_2]\in\M{n_2}{n}{\K} $ można doprowadzić do postaci schodkowej operacjami pierwszego rodzaju na wierszach, które nie zmieniają wyznaczników).

\mPokażemy teraz, że przy obliczaniu wyznaczników wiersze odgrywają taką samą rolę jak kolumny, a zera pod przekątna taką samą rolę jak zera nad przekątną.

Twierdzenie Dla $ A\in\M{n}{n}{\K} $ \ $ \det A=\det A^T $.
Dowód: Jeśli $ \r A<n $, to $ \r A^T<n $ i oba wyznaczniki są zerami.

Jeśli $ \r A=n $, to z Wniosku [link], $ A $ rozkłada się na iloczyn $ A=M_p\ldots M_1 $ macierzy elementarnych. Zgodnie z Uwagą [link] (c), $ A^T=M_1^T\ldots M_p^T $, więc korzystając z Uwagi [link] (b), wystarczy zauważyć, że $ \det M=\det M^T $ dla macierzy elementarnych $ M $. □

Rozwinięcia Laplace'a $ \det A^T $ względem $ i $-tej kolumny macierzy $ A^T $ daje wzór na rozwinięcie $ \det A $ względem $ i $-tego wiersza macierzy $ A $.

Twierdzenie (Rozwinięcie Laplace'a względem $ i $-tego wiersza). Dla $ A=[a_{ij}]\in\M{n}{n}{\K} $

$ \det A=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det \MI{A}{ij} $.

Wyznacznik pozwala określić znak permutacji, co prowadzi do formuły uogólniającej wzór Sarrusa.

Niech $ S_n $ będzie zbiorem wszystkich bijekcji zbioru $ \set{1,2,\ldots,n} $ na siebie - permutacji. Każdej permutacji $ \pi\in S_n $ odpowiada macierz $ E_\pi=[\ep_{\pi(1)},\ep_{\pi(2)},\ldots,\ep_{\pi(n)}] $, której wyznacznik $ \det E_\pi\in\{1,-1\} $ nazywamy znakiem permutacji $ \pi $ i oznaczamy symbolem $ {\rm sgn}(\pi) $ (łatwo upewnić się, że znak $ \pi $ określa parzystość liczby transpozycji przeprowadzających $ \pi $ na identyczność - dla $ {\rm sgn}(\pi)=1 $ ta liczba jest parzysta, a dla $ {\rm sgn}(\pi)=-1 $, nieparzysta).

Twierdzenie (#) Dla macierzy $ A=[a_{ij}] \in \M{n}{n}{\K} $

$$\det A=\sum_{\pi\in S_n}{\rm sgn}(\pi)a_{\pi(1) 1}a_{\pi(2) 2}\ldots a_{\pi(n) n}.$$
Dowód: Niech $ A=[A_1,\ldots,A_n]=[a_{ij}] \in \M{n}{n}{\K} $. Wtedy $ A_j=\sum_{i=1}^n a_{ij}\ep_i $ i z liniowości wyznacznika względem kolejnych kolumn mamy

$ \det A= \det [\sum_{i=1}^n a_{i1}\ep_i,\sum_{i=1}^n a_{i2}\ep_i,\ldots,\sum_{i=1}^n a_{in}\ep_i]=\\ \hspace*{60pt}\sum_{i_1=1}^n a_{i_11}\det[\ep_{i_1},\sum_{i=1}^n a_{i2}\ep_i,\ldots,\sum_{i=1}^n a_{in}\ep_i]=\\ \hspace*{60pt}\sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n a_{i_1 1}a_{i_2 2}\det[\ep_{i_1},\ep_{i_2},\ldots,\sum_{i=1}^n a_{in}\ep_i]=\\ \hspace*{300pt}\ldots=\\ \hspace*{60pt}\sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n\ldots \sum_{i_n=1}^n a_{i_1 1}a_{i_2 2}\ldots a_{i_n n} \det[\ep_{i_1},\ep_{i_2},\ldots,\ep_{i_n}] $.

Teza wynika z faktu, że występujące we wzorze wyznaczniki $ \det[\ep_{i_1},\ep_{i_2},\ldots,\ep_{i_n}] $ są zerowe jeśli $ i_j=i_k $ dla pewnych $ j\neq k $, więc sumowanie można ograniczyć do ciągów różnowartościowych $ (i_1,\ldots,i_n) $, czyli permutacji zbioru $ \{1,\ldots,n\} $. □

Macierz stowarzyszona i wzory Cramera

Ważną rolę (choć nie przy obliczeniach) odgrywa macierz $ \adj A $ stowarzyszona z macierzą kwadratową $ A $, zdefiniowana przy pomocy wyznaczników, która po pomnożeniu przez $ A $ daje macierz $ \det A\cdot I $. Przy pomocy macierzy stowarzyszonej otrzymuje się wzory Cramera opisujące w terminach wyznaczników rozwiązania układów równań $ AX=B $ z macierzą odwracalną $ A $ (układy Cramera).

Ustalmy macierz $ A=[A_1,\ldots,A_n]=[a_{ij}]\in \M{n}{n}{\K} $ i przypomnijmy, że w części [link] zdefiniowaliśmy $ \MI{A}{ij} $ jako macierz otrzymaną z $ A $ przez skreślenie $ i $-tego wiersza i $ j $-tej kolumny.

Definicja (#) Macierzą stowarzyszoną z $ A $ nazywamy macierz $ \adj A= [\hat{a}_{ij}]^T $, gdzie $ \hat{a}_{ij}=(-1)^{i+j}\det \MI{A}{ij} $.

Dla $ B\in\K^n $ mamy

$ (\ast\ast) $ $ \adj A\cdot B= \mk{c}{\det [B,A_2,\ldots,A_n]\\ \det [A_1,B,\ldots,A_n]\\ \vdots\\ \det [A_1,A_2,\ldots,B]} $.

Wzór $ (\ast\ast) $ wynika z Twierdzenia [link], bo dla $ B=[b_1,b_2,\ldots,b_n]^T $

$ \mk{ccccc}{ (-1)^{1+1}\det \MI{A}{11}&\ldots&(-1)^{n+1}\det \MI{A}{n1}\\ (-1)^{1+2}\det \MI{A}{12}&\ldots&(-1)^{n+2}\det \MI{A}{n2}\\ \vdots &   & \vdots \\ (-1)^{1+n}\det \MI{A}{1n}&\ldots&(-1)^{n+n}\det \MI{A}{nn}} \mk{c}{b_1\\b_2\\\vdots\\b_n}= \mk{c}{\sum_{i=1}^n  (-1)^{i+1} b_i\det \MI{A}{i1}\\ \sum_{i=1}^n  (-1)^{i+2} b_i\det \MI{A}{i2}\\ \vdots\\ \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} b_i\det \MI{A}{in}}= \mk{c}{\det [B,A_2,\ldots,A_n]\\ \det [A_1,B,\ldots,A_n]\\ \vdots\\ \det [A_1,A_2,\ldots,B]} $.

W szczególności $ \adj A\cdot A=[\adj A\,A_1,\ldots,\adj A\,A_n]=(\det A)I_n $, więc dostajemy

Twierdzenie Jeśli $ A $ jest macierzą odwracalną, to $ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\adj A $.

Rozwiązanie $ X=[x_1,\ldots,x_n]^T $ układu Cramera $ AX = B $ ma postać $ X = A^{-1}B=\frac{1}{\det A} (\adj A\,B) $. Zatem z $ (\ast\ast) $ dostajemy wzory Cramera:

$$x_1 = \frac{\det [B,A_2,\ldots,A_n]}{\det A}\, , \ \ x_2 = \frac{\det [A_1,B,\ldots,A_n]}{\det A}\, ,\ldots\, ,\ \ x_n = \frac{ \det [A_1,A_2,\ldots,B]}{\det A}\ .$$