Liniowe przestrzenie euklidesowe

W tym rozdziale rozpatrujemy wyłącznie skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe nad ciałem liczb rzeczywistych.

Wzorując się na własnościach algebraicznych iloczynu skalarnego wektorów rozpatrywanego w geometrii, wyróżnimy pewne przekształcenia $ \is{\ }{\,}:V\times V \to \R $, które pozwalają na określenie prostopadłości wektorów i długości wektorów, przy czym spełnione jest twierdzenie Pitagorasa o długości boków trójkątów prostokątnych. Wprowadzone w ten sposób liniowe przestrzenie euklidesowe $ (V,\is{\ }{\,}) $, dla wymiarów $ 2 $ i $ 3 $ można utożsamiać, ze względu na własności algebraiczne i geometryczne, z przestrzenią wektorów płaszczyzny euklidesowej lub trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, odpowiednio.

Iloczyn skalarny i norma

Definicja (#) Niech $ V $ będzie przestrzenią liniową nad $ \R $. Przekształcenie $ \is{\ }{\,}:V\times V \to \R $ przyporządkowujące parze wektorów $ \al,\be\in V $ skalar $ \is{\al}{\be} $ nazywamy iloczynem skalarnym jeśli

$ (1) $ $ \is{\al}{\be}=\is{\be}{\al} $,

$ (2) $ $ \is{\al_1+\al_2}{\be}=\is{\al_1}{\be}+\is{\al_2}{\be} $,

$ (3) $ $ \is{a\al}{\be}=a\is{\al}{\be} $,

$ (4) $ $ \is{\al}{\al}>0 $, dla $ \al\neq 0 $.

Normę $ ||\al|| $ (długość) wektora $ \al\in V $ określamy wzorem $ ||\al||=\sqrt{\is{\al}{\al}} $.

Przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym $ (V,\is{\ }{\,}) $ nazywamy liniową przestrzenią euklidesową.

Przykład (#)

  • [(a)] Kartezjańska przestrzeń euklidesowa $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $, gdzie $ \is{X}{Y}=X^TY=\sum_i x_iy_i $ jest sumą iloczynów odpowiednich współrzędnych $ X $ i $ Y $.
  • [(b)] Przestrzeń rzeczywistych wielomianów stopnia $ \leq n $ z iloczynem skalarnym $ \is{w}{u}=\int_0^1 w(t)u(t)dt $.

W oznaczeniach z Przykładu [link] (a), znaną z Analizy nierówność Cauchy'ego można zapisać w postaci $ (\is{X}{Y})^2\leq \is{X}{X}\is{Y}{Y} $. Jest to szczególny przypadek nierówności Schwarza, którą wykażemy w \nolinebreak następującym twierdzeniu.

Twierdzenie (#){\bf (nierówność Schwarza).} W liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ prawdziwa jest nierówność

$ (\ast) $ $ (\is{\al}{\be})^2\leq \is{\al}{\al}\is{\be}{\be} $,

przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy wektory $ \al,\be $ są liniowo zależne.

Dowód: Dla każdego $ x\in\R $, zgodnie z własnościami (1)-(3)

w Definicji [link], $ w(x)=\is{x\al+\be}{x\al+\be}= x^2\is{\al}{\al}+2x\is{\al}{\be}+ \is{\be}{\be} $. Z własności (4) mamy $ w(x)\geq 0 $, więc $ \Delta= 4(\is{\al}{\be})^2-4\is{\al}{\al}\is{\be}{\be}\leq 0 $, co daje $ (\ast) $. Ponadto, równość w $ (\ast) $ oznacza, że dla pewnego $ \la\in\R $, $ w(\la)=0 $, a więc $ \la\al+\be=\0 $. □

Uwaga (#) Odnotujmy, że w liniowych przestrzeniach euklidesowych $ (V,\is{\ }{\,}) $ norma $ ||\al||=\sqrt{\is{\al}{\al}} $ ma następujące własności

$ (1) $\qquad $ ||\al||\geq 0 $ i $ ||\al||= 0 $ tylko dla $ \al=\0 $,

$ (2) $\qquad $ ||a \al||=|a|\, ||\al|| $, $ a\in\R $,

$ (3) $\qquad $ ||\al+\be||\leq||\al||+||\be|| $.

Tylko ostatnia własność - nierówność trójkąta wymaga wyjaśnienia.

Z nierówności Schwarza, $ |\is{\al}{\be}|\leq ||{\al}||\, ||{\be}|| $, a więc $ ||\al+\be||^2=\is{\al+\be}{\al+\be}=\is{\al}{\al}+2\is{\al}{\be}+ \is{\be}{\be}\leq ||\al||^2+2||\al||\,||\be||+||\be||^2= (||\al||+||\be||)^2 $.

Ortogonalność w przestrzeniach euklidesowych

Dwa wektory w geometrii są prostopadłe jeśli ich iloczyn skalarny jest zerem. Tę własność przyjmiemy jako określenie prostopadłości wektorów w liniowych przestrzeniach euklidesowych, przy czym zgodnie z \nolinebreak powszechnie przyjętą terminologią, będziemy raczej mówili o ortogonalności.

Definicja (#) Wektory $ \al, \be $ w liniowej przestrzeni euklidesowej są ortogonalne (lub prostopadłe) jeśli $ \is{\al}{\be}=0 $, co zapisujemy $ \al\perp\be $.

Ortogonalność podprzestrzeni $ U,W $ przestrzeni $ V $, $ U\perp W $, oznacza, że $ \ga\perp\be $ dla dowolnych $ \ga\in U $ i \nolinebreak $ \be\in W $. W szczególności, ortogonalność wektora $ \ga $ do podprzestrzeni $ W $, $ \ga\perp W $ oznacza, że $ \lin(\ga)\perp W $.

Uwaga Jeśli $ U\perp W $, to $ U\cap W=\set{\0} $, bo zgodnie z [link] (4), $ \al\perp\al $ oznacza, że $ \al=\0 $. Jeśli ponadto $ V=U\oplus W $, to będziemy

mówić, że $ V $ jest sumą ortogonalną podprzestrzeni $ U $ i $ W $.

Z własności iloczynu skalarnego i określenia długości wektorów wynika natychmiast formuła Pitagorasa

$ \al\perp \be\quad \iff \quad ||\al-\be||^2=||\al||^2+||\be||^2 $.

Bez założenia ortogonalności mamy $ ||\al-\be||^2= ||\al||^2+||\be||^2-2\is{\al}{\be} $. Definiując kąt między niezerowymi wektorami $ \al,\be $ jako liczbę $ \theta\in[0,\pi] $ taką, że $ \cos\theta=\frac{\is{\al}{\be}}{||\al||\,||\be||} $ (z \nolinebreak nierówności \nolinebreak Schwarza wynika, że ułamek po prawej stronie jest w przedziale $ [-1,1] $) otrzymujemy stąd twierdzenie cosinusów:

$ ||\al-\be||^2= ||\al||^2+||\be||^2-2\cos\theta\,||\al||\, ||\be||. $

Definicja Układ wektorów $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ w liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ jest ortogonalny jeśli $ \al_i\perp\al_j $ dla $ i\neq j $.
Uwaga Ortogonalny układ niezerowych wektorów $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ jest liniowo niezależny, bo jeśli $ \sum_i a_i\al_i=\0 $, to dla każdego $ j $, $ \0=\is{\sum_i a_i\al_i}{\al_j}=\sum_i a_i\is{\al_i}{\al_j}=a_j||\al_j||^2 $, a więc $ a_j=0 $.
Definicja Ortogonalny układ wektorów niezerowych $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ w przestrzeni $ (V,\is{\ }{\,}) $ rozpinający $ V $ nazywamy bazą ortogonalną w $ V $; jeśli dodatkowo $ ||\al_j||=1 $, $ j=1,\ldots,n $, mówimy, że układ $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ jest bazą ortonormalną $ V $.

Pokażemy teraz, że każda liniowa przestrzeń euklidesowa ma bazę ortogonalną. Co więcej, opiszemy procedurę - ortogonalizację Grama-Schmidta pozwalającą przyporządkować każdemu układowi liniowo niezależnemu układ ortogonalny, bez zmiany powłoki liniowej.

Twierdzenie (#){(ortogonalizacja Grama-Schmidta).} Niech $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ będzie liniowo niezależnym układem wektorów w liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $. Określmy indukcyjnie wektory $ \be_1,\ldots,\be_n $ formułą

\[ \be_1=\al_1 , \quad \be_{k}= \al_{k}-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{\is{\al_{k}}{\be_i}}{\is{\be_i }{\be_i}}\be_i. \]

Wówczas

\[ w_i\perp w_j \mbox{ dla } i\neq j, \end{equation} \begin{equation} \lin(\be_1,\ldots,\be_j)=\lin(\al_1,\ldots,\al_j),\ j=1,\ldots,n. \]
Dowód: Załóżmy, że układ $ (\be_1,\ldots,\be_{k-1}) $ został już określony tak, że (3) jest spełnione dla $ j<k $. Mamy pokazać, że dla $ \be_{k} $ określonego formułą (1) układ $ (\be_1,\ldots,\be_{k}) $ jest ortogonalny i spełnia (3) dla $ j=k $. Ta ostatnia własność wynika z faktu, że $ \be_{k}-\al_{k}\in \lin(\be_1,\ldots,\be_{k-1})=\lin(\al_1,\ldots,\al_{k-1}) $, zob.\ (1).

Niech $ j<k $. Sprawdzimy, że $ \be_j\perp\be_{k} $. Istotnie, z (1) i (2),

$ \is{\be_j}{\be_{k}}= \is{\be_j} {\al_{k}-\sum_{i<k} \frac{\is{\al_{k}}{\be_i}}{\is{\be_i}{\be_i}}\be_i}= \is{\be_j}{\al_{k}}-\sum_{i<k} \frac{\is{\al_{k}}{\be_i}}{\is{\be_i}{\be_i}}\is{\be_j}{\be_i}= \is{\be_j}{\al_{k}}- \frac{\is{\al_{k}}{\be_j}}{\is{\be_j}{\be_j}}\is{\be_j}{\be_j}=0 $

Wyjaśnimy teraz, że w opisanej wyżej procedurze ortogonalizacji, na każdym kroku znajdujemy wektor $ \be_k $ odejmując od wektora $ \al_k $ rzut ortogonalny $ \al_k $ na podprzestrzeń rozpiętą przez poprzednie wektory.

Twierdzenie (#) Niech $ W $ będzie podprzestrzenią liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $. Istnieje wówczas przekształcenie liniowe $ P:V\to V $ - rzut ortogonalny $ V $ na $ W $, takie, że

$ (1) $\qquad $ P(\be)=\be $ dla $ \be\in W $

$ (2) $\qquad $ \al-P(\al)\perp W $ dla $ \al\in V $.

Dowód: Zgodnie z Twierdzeniem [link] możemy wybrać układ ortogonalny $ \be_1,\ldots,\be_m $ rozpinający $ W $ i \nolinebreak niech

$$P(\al)=\sum_{i=1}^{m}\frac{\is{\al}{\be_i}}{\is{\be_i}{\be_i}}\be_i.$$

Podobnie jak w dowodzie [link], dla $ j\leq m $,

$ \is{\be_j}{\al-P(\al)}= \is{\be_j} {\al-\sum_{i\leq m} \frac{\is{\al}{\be_i}}{\is{\be_i}{\be_i}}\be_i}= \is{\be_j}{\al}-\sum_{i\leq m} \frac{\is{\al}{\be_i}}{\is{\be_i}{\be_i}}\is{\be_j}{\be_i}= \is{\be_j}{\al}- \frac{\is{\al}{\be_j}}{\is{\be_j}{\be_j}}\is{\be_j}{\be_j}=0 $,

a stąd $ \is{\be}{\al-P(\al)}=0 $ dla $ \be=\sum_{j\leq m} a_j\be_j\in W $, czyli (2).

Jeśli $ \be\in W $, to $ \be-P(\be)\in W $ i z (2), $ \is{\be-P(\be)}{\be-P(\be)}=0 $, co daje $ \be-P(\be)=\0 $, czyli (1). □

Uwaga (#) Zauważmy, że w sytuacji opisanej w Twierdzeniu [link], dla $ \al\in V $, warunki $ \be\in W $ oraz $ \al-\be\perp W $ charakteryzują wektor $ \be $ jednoznacznie, co więcej jest to jedyny wektor z $ W $ taki, że $ ||\al-\be||=\inf\set{||\al-\ga||:\ga\in W} $. Istotnie, dla $ \ga\in W $, $ \ga-\be\in W $, więc $ (\al-\be)\perp (\be-\ga) $ i z formuły Piagorasa, $ ||\al-\ga||^2=||(\al-\be)+(\be-\ga)||^2= ||\al-\be||^2+||\be-\ga||^2\geq ||\al-\be||^2 $, przy czym dla $ \ga\neq \be $ nierówność jest ostra.

Tak więc rzut ortogonalny $ P:V\to W $ można opisać jako przekształcenie, które dla każdego wektora $ \al\in V $ wybiera z $ W $ (jedyny) wektor $ P(\al) $ minimalizujący długości $ ||\al-\ga|| $, $ \ga\in W $.

Jak zobaczymy za chwilę, istnienie rzutu ortogonalnych pozwala uzupełnić każdą podprzestrzeń liniowej przestrzeni euklidesowej składnikiem prostym, ortogonalnym do tej przestrzeni.

Twierdzenie (#) Niech $ W $ będzie podprzestrzenią liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ i niech $ W^\perp=\set{\al\in V:\al\perp W} $. Wówczas $ V=W\oplus W^\perp $ jest sumą ortogonalną.
Dowód: Niech $ P:V\to W $ będzie rzutem ortogonalnym na $ W $. Zauważmy, że $ \im P=W $ oraz $ \ker P=W^\perp $. Ponieważ $ W\cap W^\perp=\set{\0} $ i $ \dim V=\d P+\r P $, więc $ V=W\oplus W^\perp $ i oczywiście $ W\perp W^\perp $. □

Podprzestrzeń $ W^\perp $ nazywamy dopełnieniem ortogonalnym przestrzeni $ W $ w $ V $. Zauważmy, że rzut ortogonalny $ V $ na $ W $ jest rzutem na $ W $ równoległym do $ W^\perp $ zdefiniowanym w [link]. Symetrię względem $ W $ równoległą do $ W^\perp $ nazywamy symetrią ortogonalną względem $ W $.

Wyznacznik Grama i objętość

W tej części wyjaśnimy, że moduł wyznacznika macierzy kwadratowej można interpretować jako objętość równoległościanu rozpiętego na wierszach (równoważnie - kolumnach) tej macierzy w wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej. Ważnym elementem naszych rozważań jest wyznacznik Grama wprowadzony poniżej.

Definicja (#) Macierzą Grama układu wektorów $ (\al_1,\ldots,\al_m) $ w liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ nazywamy $ (m\times m) $-macierz

$$G(\al_1,\ldots,\al_m)=\mk{ccc}{\is{\al_1}{\al_1}& \cdots&\is{\al_1}{\al_m}\\ \vdots&&\vdots\\ \is{\al_m}{\al_1}&\cdots& \is{\al_m}{\al_m}}.$$

Wyznacznik $ \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)=\det (G(\al_1,\ldots,\al_m)) $ nazywamy wyznacznikiem Grama układu $ (\al_1,\ldots,\al_m) $.

Uwaga (#) Macierz Grama $ G(\al_1,\ldots,\al_m) $ układu wektorów w $ (V,\is{\ }{\,}) $ wyznacza wartości iloczynu skalarnego na $ \lin(\al_1,\ldots,\al_m) $: \ dla $ \al=\sum_ia_{i}\al_i $, $ \be=\sum_ja_{j}\al_j $,

$$\is{\al}{\be}= \is{\sum_ia_{i}\al_i}{\sum_jb_{j}\al_j}= \sum_{ij}a_{i}b_j\is{\al_i}{\al_j}= [a_{1},\ldots,a_{m}]G(\al_1,\ldots,\al_m)\mk{c}{b_{1}\\\vdots\\b_{m}}.$$
Lemat (#) Niech $ (\al_1,\ldots,\al_m) $ będzie układem wektorów w $ (V,\is{\ }{\,}) $ i niech $ \be_k=\sum_ia_{ik}\al_i $, $ k\leq m $. Wówczas $ \Gamma(\be_1,\ldots,\be_m)=(\det A)^2\, \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m) $, dla macierzy $ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^m $.
Dowód: Niech $ A=[A_1,\ldots,A_m] $ (tzn.\ $ A_k $ jest $ k $-tą kolumną macierzy $ A $) i połóżmy $ G(\al_1,\ldots,\al_m)=G $. Zgodnie z Uwagą [link], $ (k,l) $-ty wyraz macierzy $ G(\be_1,\ldots,\be_m) $ ma postać $ \is{\be_k}{\be_l}=A_k^T G A_l $, więc $ G(\be_1,\ldots,\be_m)=A^TG A $, a \nolinebreak stąd $ \Gamma(\be_1,\ldots,\be_m)=\det A^T \det G\, \det A=(\det A)^2\, \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m) $. □
Uwaga (#) Jeśli układ $ (\al_1,\ldots,\al_m) $ jest liniowo zależny, to $ \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)=0 $, bo wówczas wiersze macierzy $ G(\al_1,\ldots,\al_m) $ są liniowo zależne.

Jak wynika w szczególności z kolejnego twierdzenia, wyznacznik Grama układu liniowo niezależnego jest dodatni.

Twierdzenie (#) Niech $ (\al_1,\ldots,\al_m) $ będzie układem wektorów w liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $. Jeśli układ wektorów $ (\be_1,\ldots,\be_m) $ otrzymuje się w procesie ortogonalizacji Grama-Schmidta z \nolinebreak układu $ (\al_1,\ldots,\al_m) $, to $ \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)=\Gamma(\be_1,\ldots,\be_m)= ||\be_1||^2\cdot\ldots\cdot||\be_m||^2 $.
Dowód: Zgodnie z formułą (1) w Twierdzeniu [link] $ \al_k=\sum_i a_{ik}\be_i $, gdzie macierz $ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^m $ ma na głównej przekątnej jedynki, a pod główną przekątną zera. Zatem $ \det A=1 $ i z Lematu [link] mamy $ \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)=\Gamma(\be_1,\ldots,\be_m) $. Ponadto macierz $ G(\be_1,\ldots,\be_m) $ jest diagonalna i ma na głównej przekątnej wyrazy $ \is{\be_i}{\be_i}=||\be_i||^2 $, więc $ \Gamma(\be_1,\ldots,\be_m)=||\be_1||^2\cdot\ldots\cdot||\be_m||^2 $. □
Stwierdzenie (#) Niech $ W $ będzie podprzestrzenią liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ rozpiętą na liniowo niezależnym układzie $ (\al_1,\ldots,\al_m) $ i niech $ P:V\to W $ będzie rzutem ortogonalnym $ V $ na $ W $. Wówczas dla $ \al\in V $,

$$||\al-P(\al)||= \sqrt{\frac{\Gamma(\al_1,\ldots,\al_m,\al)}{\Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)}}\,.$$
Dowód: Jeśli $ \al\in W $, to po obu stronach równości mamy zero, zob.\ Uwaga [link]. Niech $ \al\not\in W $ i niech układ $ (\be_1,\ldots,\be_m,\be) $ będzie wynikiem ortogonalizacji Grama-Schmidta układu $ (\al_1,\ldots,\al_m,\al) $. Wówczas $ \be=\al-P(\al) $ oraz

$ \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m,\al)= ||\be_1||^2\cdot\ldots\cdot||\be_m||^2\cdot||\be||^2 $ \ \ i \ \ $ \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)= ||\be_1||^2\cdot\ldots\cdot||\be_m||^2 $,

co dowodzi tezy. □

Uwaga Wyznacznik Grama układu wektorów nie zależy od ich kolejności.

Istotnie, niech $ (\al_1,\ldots,\al_m) $ będzie układem wektorów w $ (V,\is{\ }{\,}) $ i $ \pi:\set{1,\ldots,m}\to\set{1,\ldots,m} $ permutacją. Wówczas $ \al_{\pi(j)}=\sum_i a_{ij}\al_i $, gdzie $ A=[a_{ij}]_{ij=1}^m $ jest macierzą powstałą z permutacji kolumn macierzy jednostkowej. Zatem $ (\det A)^2=1 $ i zgodnie z Lematem [link], $ \Gamma(\al_{\pi(1)},\ldots,\al_{\pi(m)})= \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m) $.

Dla układu wektorów $ (\al_1,\ldots,\al_m) $ w liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ równoległościanem rozpiętym na tym układzie nazywamy zbiór

$ R(\al_1,\ldots,\al_m)=\set{\sum_{i=1}^m t_i\al_i:t_i\in[0,1]}. $

Jeśli układ $ (\al_1,\al_2,\al_3) $ jest liniowo niezależny, to $ R(\al_1,\al_2) $ jest równoległobokiem na płaszczyźnie $ \lin(\al_1,\al_2) $, a $ R(\al_1,\al_2,\al_3) $ jest równoległościanem w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej $ \lin(\al_1,\al_2,\al_3) $.

Zgodnie z określeniem przyjętym w geometrii euklidesowej objętość równoległościanu $ R(\al_1,\ldots,\al_m) $ (dla $ m=2 $, pole równoległoboku $ R(\al_1,\al_2) $) powinna być równa iloczynowi objętości podstawy $ R(\al_1,\ldots,\al_{m-1}) $ przez wysokość $ ||\al_m-P(\al_m)|| $, gdzie $ P(\al_m) $ jest rzutem ortogonalnym $ \al_m $ na przestrzeń $ \lin(\al_1,\ldots,\al_{m-1}) $ rozpiętą na podstawie.

Definicja (#) Objętością ($ n $-wymiarową) układu $ (\al_1,\ldots,\al_{m}) $ w liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ nazywamy liczbę

$ {\rm vol}(\al_1,\ldots,\al_{m})= \sqrt{\Gamma(\al_1,\ldots,\al_{m})}. $

Natychmiastową konsekwencją Wniosku [link] jest

Stwierdzenie Funkcja $ {\rm vol}(\al_1,\ldots,\al_{m}) $ jest jedyną funkcją, która układowi wektorów $ (\al_1,\ldots,\al_{m}) $ w liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ przyporządkowuje liczbę nieujemną w taki sposób, że

$ (1) $\qquad $ {\rm vol}(\al)=||\al|| $

$ (2) $\qquad $ {\rm vol}(\al_1,\ldots,\al_{m})= ||\al_m-P(\al_m)||\,{\rm vol}(\al_1,\ldots,\al_{m-1}) $,

gdzie $ P $ jest rzutem ortogonalnym przestrzeni $ V $ na podprzestrzeń $ \lin(\al_1,\ldots,\al_{m-1}) $.

Uwaga Rozważmy kartezjańską przestrzeń euklidesową z Przykładu [link] (a) i niech $ A\in\M{n}{n}{\K} $ będzie macierzą o kolumnach $ A_1,\ldots,A_n $.

Wtedy $ G(A_1,\ldots,A_n)=A^TA $, więc $ \Gamma(A_1,\ldots,A_n)=(\det A)^2 $ i mamy

$ {\rm vol}(A_1,\ldots,A_n)=|\det A|. $

Następująca obserwacja pokazuje, że moduł wyznacznika endomorfizmu liniowej przestrzeni euklidesowej można interpretować jako współczynnik zmiany objętości przy tym endomorfizmie pełnowymiarowych równoległościanów.

Twierdzenie Niech $ \vp:V\to V $ będzie endomorfizmem liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V\is{\ }{\,}) $. Dla dowolnej bazy $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ w $ V $ zachodzi wówczas równość

$ {\rm vol}(\vp(\al_1),\ldots,\vp(\al_{n}))=|\det \vp|\cdot{\rm vol}(\al_1,\ldots,\al_{n}) $.

Dowód: Niech $ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^m $ będzie macierzą endomorfizmu $ \vp $ w układzie współrzędnych związanym z bazą $ (\al_1,\ldots,\al_{n}) $ przestrzeni $ V $, tzn. $ \vp(\al_j)=\sum_i a_{ij}\al_i $. Z Lematu [link]

$ \Gamma(\vp(\al_1),\ldots,\vp(\al_{n}))=(\det A)^2\cdot\Gamma(\al_1,\ldots,\al_{n}) $,

a ponieważ $ \det\vp=\det A $, otrzymujemy tezę twierdzenia. □

Prostokątne układy współrzędnych

Wśród układów współrzędnych na liniowej przestrzeni euklidesowej wyróżnioną rolę pełnią układy zachowujące iloczyn skalarny - prostokątne układy współrzędnych.

Definicja (#) Układ współrzędnych $ \si:V\to\R^n $ w liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ związany z bazą ortonormalną $ V $, będziemy nazywać prostokątnym układem współrzędnych.
Uwaga (#) Jeśli układ współrzędnych $ \si:V\to\R^n $ w przestrzeni $ (V,\is{\ }{\,}) $ jest związany z bazą ortonormalną $ (\al_1,\ldots,\al_n) $, to

  • [(a)]

    $ \si(\ga)= \mk{c}{\is{\ga}{\al_1}\\\vdots\\\is{\ga}{\al_n}} $ \ \ dla $ \ga\in V $,

    bo mnożąc $ \ga=\sum_ix_i\al_i $ obustronnie przez $ \al_j $ dostajemy $ \is{\ga}{\al_j}=x_j $;

  • [(b)]

    $ \is{\ga}{\al}=\is{\si(\ga)}{\si(\al)} $ \ dla $ \ga,\al\in V $,

    gdzie po prawej stronie równości jest iloczyn skalarny w kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $ opisanej w Przykładzie [link] (a).

    Aby uzasadnić (b) rozpatrzmy $ \ga=\sum_ix_i\al_i $, $ \al=\sum_j y_j\al_j $ i zauważmy, że z warunku $ {\al_i}\perp{\al_j} $ dla \nolinebreak $ i\neq j $ oraz $ \is{\al_i}{\al_i}=1 $ wynika $ \is{\ga}{\al}=\is{\sum_i x_i\al_i}{\sum_j y_j\al_j}=\sum_i x_i y_i=\is{\si(\ga)}{\si(\al)} $.

Zauważmy też, że warunek zachowania iloczynu skalarnego odnotowany w (b) charakteryzuje prostokątne układy współrzędnych.

Uwaga (#) Z istnienia prostokątnych układów współrzędnych wynika także, że dla każdych dwóch \mbox{$ n $-wymiarowych} liniowych przestrzeni euklidesowych $ (V,\is{\ }{\,}) $ i $ (W,\is{\ }{\,}) $ istnieje izomorfizm $ \vp:V\to W $ zachowujący iloczyn skalarny, tzn.\ $ \is{\ga}{\al}=\is{\vp(\ga)}{\vp(\al)} $.

Istotnie, dla prostokątnych układów współrzędnych \mbox{$ \si:V\to\R^n $} i $ \ta:W\to\R^n $, z Uwagi [link] (b) wynika, że $ \vp=\ta^{-1}\circ\si $ zachowuje iloczyn skalarny.