Endomorfizmy przestrzeni euklidesowych

W tym rozdziale omówimy dwie ważne klasy endomorfizmów $ \vp:V\to V $ liniowych przestrzeni euklidesowych $ (V,\is{\ }{\,}) $ - endomorfizmy samosprzężone (tzn.\ takie, że $ \is{\al}{\vp(\be)}=\is{\vp(\al)}{\be} $) oraz izometrie liniowe (spełniające warunek $ \is{\al}{\be}=\is{\vp(\al)}{\vp(\be)} $).

Głównymi wynikami są dwa twierdzenia, z których pierwsze mówi, że endomorfizmy samosprzężone mają w pewnym prostokątnym układzie współrzędnych macierz diagonalną, a drugie, że izometrie liniowe mają w pewnym prostokątnym układzie współrzędnych macierz mającą na przekątnej albo $ \pm 1 $, albo też macierze obrotu płaszczyzny

$ \mk{rr}{\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta} $.

Oba te fakty można wyprowadzić z zasadniczego twierdzenia algebry, przy czym macierz obrotu o kąt $ \theta $ odpowiada zespolonej wartości własnej $ \la=\cos\theta+i\sin\theta $ izometrii liniowej. Takie uzasadnienie naszkicujemy w części [link] uzupełnień.

Warto też jednak pokazać dowody tych twierdzeń nie wychodzące poza dziedzinę rzeczywistą i to podejście przedstawimy poniżej.

Endomorfizmy samosprzężone

Definicja Endomorfizm $ \vp:V\to V $ liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ jest samosprzężony, jeśli $ \is{\al}{\vp(\be)}=\is{\vp(\al)}{\be} $ dla $ \al,\be\in V $.
Uwaga (#) Niech $ A\in\M{n}{n}{\R} $. Endomorfizm $ \vp(X)=AX $ kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $ jest samosprzężony wtedy i tylko wtedy, gdy macierz $ A $ jest symetryczna, , czyli $ A=A^T $.

Istotnie, warunek $ \is{X}{\vp(Y)}=\is{\vp(X)}{Y} $ oznacza, że $ X^TAY=(AX)^TY=X^TA^TY $, a więc, z \nolinebreak dowolności $ X,Y\in\R^n $, jest on równoważny symetrii macierzy $ A $.

Dwie podstawowe własności endomorfizmów samosprzężonych (charakteryzujące tę klasę), to istnienie wektorów własnych i zachowywanie przestrzeni ortogonalnych do podprzestrzeni niezmienniczych.

Drugą z tych własności bardzo łatwo uzasadnić.

Uwaga (#) Niech $ \vp:V\to V $ będzie endomorfizmem samosprzężonym liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ i niech $ W\subset V $ będzie podprzestrzenią taką, że $ \vp(W)\subset W $. Wówczas $ \vp(W^\perp)\subset W^\perp $.

Istotnie, jeśli $ \al\in W^\perp $, to dla dowolnego $ \be\in W $ mamy $ 0=\is{\al}{\vp(\be)}=\is{\vp(\al)}{\be} $, a więc $ \vp(\al)\in W^\perp $.

Przejdziemy teraz do dowodu istnienia wektorów własnych dla endomorfizmów samosprzężonych.

Twierdzenie (#) Dla każdego endomorfizmu samosprzężonego $ \vp:V\to V $ liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ istnieje wektor własny $ \be\in V $ taki, że

$ (\ast) $ $ ||\be||=1 $ \ oraz \ $ \is{\be}{\vp(\be)}= \sup\set{\is{\al}{\vp(\al)}:||\al||=1} $.

Dowód: Istnienie wektora spełniającego $ (\ast) $ wynika z twierdzenia Weierstrassa zastosowanego do funkcji $ \al\to\is{\al}{\vp(\al)} $ na sferze jednostkowej $ \set{\al\in V:||\al||=1} $, co wyjaśnimy w uzupełnieniach, zob.\ Lemat [link].

Dla dowodu twierdzenia wystarczy teraz pokazać, że wektor $ \be $ spełniający $ (\ast) $ jest wektorem własnym \nolinebreak $ \vp $. Tak jest jeśli $ \vp(\be)= 0 $. Załóżmy więc $ \vp(\be)\neq 0 $ i dla $ t $ z przedziału $ J= (-\frac{||\be||}{||\vp(\be)||},\frac{||\be||}{||\vp(\be)||})\subset \R $ połóżmy

$$\al(t)=\frac{1}{||\be+t\vp(\be)||}(\be+t\vp(\be))\ .$$

Określmy funkcję $ \phi:J\to \R $ wzorem

$$\phi(t)=\is{\al(t)}{\vp(\al(t))}= \frac{\is{\be}{\vp(\be)}+2t\is{\vp(\be)}{\vp(\be)}+t^2\is{\vp(\be)}{\vp^2(\be)}} {\is{\be}{\be}+2t\is{\be}{\vp(\be)}+ t^2\is{\vp(\be)}{\vp(\be)}}$$

(w liczniku skorzystaliśmy z równości $ \is{\be}{\vp^2(\be)}=\is{\vp(\be)}{\vp(\be)} $ wynikającej z samosprzężoności $ \vp $).

Ponieważ $ ||\al(t)||=1 $ i $ \al(0)=\be $, z $ (\ast) $ wynika, że funkcja $ \phi $ osiąga maksimum w punkcie $ t=0 $, a więc $ \phi'(0)=0 $. Z drugiej strony,

$$\phi'(0)=\frac{ 2\is{\vp(\be)}{\vp(\be)}\is{\be}{\be}- 2\is{\be}{\vp(\be)}\is{\be}{\vp(\be)} }{\is{\be}{\be}^2}\ ,$$

więc $ \is{\be}{\vp(\be)}^2=\is{\be}{\be}\is{\vp(\be)}{\vp(\be)} $ i z warunku równości w nierówności Schwarza, zob. [link], dostajemy $ \vp(\be)\in\nolinebreak\lin(\be) $. □

Łącząc Twierdzenie [link] i Uwagę [link] otrzymujemy główne twierdzenie tej części

Twierdzenie (#) Dla każdego endomorfizmu samosprzężonego $ \vp:V\to V $ liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ istnieje baza ortonormalna $ V $ złożona z wektorów własnych $ \vp $. W prostokątnym układzie współrzędnych związanym z tą bazą endomorfizm $ \vp $ ma macierz diagonalną.
Dowód: Załóżmy, że pierwsza część tezy jest prawdziwa dla endomorfizmów samosprzężonych na przestrzeniach euklidesowych wymiaru mniejszego niż $ \dim V $.

Niech $ \be $ będzie wektorem własnym dla $ \vp $, $ ||\be||=1 $ i niech $ U=\lin(\be)^\perp $. Z Uwagi [link], obcięcie $ \vp|U $ jest endomorfizmem smosprzężonym $ U $ i założenie indukcyjne zapewnia istnienie bazy ortonormalnej \nolinebreak $ U $ złożonej z wektorów własnych $ \vp $. Dołączając do tej bazy wektor $ \be $ dostajemy ortonormalną bazę $ V $ złożoną z \nolinebreak wektorów własnych $ \vp $. Druga część tezy wynika z części pierwszej, zob. Uwaga [link]. □

Przed przeformułowaniem tego twierdzenia w języku macierzowym, wprowadzimy klasę macierzy ortogonalnych, ściśle związanych z izometriami liniowymi.

Definicja (#) Macierz $ C\in\M{n}{n}{\R} $ jest ortogonalna, jeśli $ C^T=C^{-1} $.

Zauważmy, że warunek ortogonalności, $ C^TC=I_n $ oznacza, że kolumny macierzy $ C $ tworzą bazę ortonormalną w kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $. Ponadto, ortogonalność $ C $ jest równoważna ortogonalności macierzy $ C^T $, bo warunki $ C^TC=I_n $ i $ CC^T=I_n $ są równoważne.

Stwierdzenie (#) Dla każdej macierzy symetrycznej $ A\in\M{n}{n}{\R} $ istnieje macierz ortogonalna $ C\in\M{n}{n}{\R} $ taka, że macierz $ C^TAC $ jest diagonalna.
Dowód: Rozpatrzmy kartezjańską przestrzeń euklidesową $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $ i endomorfizm $ \vp(X)=AX $ tej przestrzeni. Jak zauważyliśmy w Uwadze [link], endomorfizm $ \vp $ jest samosprzężony i niech $ \si:\R^n\to\R^n $ będzie prostokątnym układem współrzędnych związanym z ortonormalną bazą $ (C_1,\ldots,C_n) $ w $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $, złożoną z wektorów własnych $ \vp $. Macierz $ \MP{\si}{\si}{\vp}=M(\si\circ\vp\circ\si^{-1})=M(\si)AM(\si^{-1}) $ jest diagonalna, a \nolinebreak $ C=M(\si^{-1})=[C_1,\ldots,C_n] $ jest macierzą ortogonalną, więc $ C^{T}AC=C^{-1}AC=\MP{\si}{\si}{\vp} $. □

Izometrie liniowe

Definicja (#) Izomorfizm $ \vp:V\to W $ liniowych przestrzeni euklidesowych $ (V,\is{\ }{\,})_V $ i $ (W,\is{\ }{\,})_W $ nazywamy izometrią liniową, jeśli $ \vp $ zachowuje iloczyn skalarny, tzn.\ spełnia warunek

$$\is{\ga}{\al}_V=\is{\vp(\ga)}{\vp(\al)}_W \ \mbox{ dla } \ \ga,\al\in V.$$

W szczególności, każdy prostokątny układ współrzędnych $ \si: V\to\R^n $ jest izometrią liniową, a w [link] zauważyliśmy, że dla dowolnych dwóch $ n $-wymiarowych liniowych przestrzeni euklidesowych $ (V,\is{\ }{\,}_V) $ i $ (W,\is{\ }{\,}_W) $ istnieje izometria liniowa $ V $ na $ W $.

Uwaga Endomorfizm $ \vp:\R^n\to\R^n $ kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $ jest izometrią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy macierz $ M(\vp) $ jest ortogonalna.

Istotnie, jeśli $ \vp $ jest izometrią liniową, to kolumny macierzy $ M(\vp)=[\vp(\ep_1),\ldots,\vp(\ep_n)] $ tworzą bazę ortonormalną $ \R^n $ jako obrazy wektorów ortonormalnej bazy standardowej, więc $ M(\vp)^TM(\vp)=I_n $, czyli $ M(\vp) $ jest macierzą ortogonalną.

Uwaga (#) Dla każdej izometrii liniowej $ \vp:\R^2\to \R^2 $ dwuwymiarowej kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej $ (\R^2,\is{\ }{\,}) $ istnieje prostokątny układ współrzędnych $ \si:\R^2\to\R^2 $ taki, że

$ \MP{\si}{\si}{\vp}=\mk{rr}{ \cos \theta&-\sin \theta\\ \sin \theta&\cos \theta} $ (i wówczas $ \vp $ jest obrotem $ \R^2 $ o kąt $ \theta $, $ \si=\id_{\R^2} $)

lub też

$ \MP{\si}{\si}{\vp}=\mk{rr}{1&0\\0&-1} $ (i wówczas $ \vp $ jest symetrią ortogonalną $ V $ względem pewnej prostej).

Istotnie, macierz $ M(\vp)=[\vp(\ep_1),\vp(\ep_2)] $ jest ortogonalna. Jeśli $ \vp(\ep_1)=[a,b]^T $

dla $ a,b\in \R^2 $, to $ M(\vp) $ ma postać

$$\mk{rr}{a&-b\\b&a}\ \mbox{ lub } \ \mk{rr}{a&b\\b&-a}, \mbox{ gdzie } a^2+b^2=1.$$

W pierwszym przypadku $ \det\vp=1 $ i wówczas $ \vp $ jest obrotem $ \R^2 $ o kąt $ \theta $ taki, że $ a=\cos\theta $, $ b=\sin\theta $.

W drugim przypadku $ \det\vp=-1 $, wielomian charakterystyczny $ w_\vp(x)=x^2-1=(1-x)(-1-x) $, więc $ \R^2 $ ma ortonormalną bazę $ (C_1,C_2) $ taką, że $ \vp(C_1)=C_1 $ i $ \vp(C_2)=-C_2 $. W prostokątnym układzie współrzędnych $ \si:\R^2\to\R^2 $ związanym z tą bazą $ \MP{\si}{\si}{\vp} $ jest macierzą diagonalną z $ 1,-1 $ na przekątnej.

Z tej uwagi wynika, że każda izometria liniowa $ \ps:W\to W $ płaszczyzny euklidesowej $ (W,\is{\ }{\,}) $ jest obrotem tej płaszczyzny (jeśli $ \det \ps=1 $) lub symetrią ortogonalną względem pewnej prostej $ U\subset \nolinebreak W $ (jeśli $ \det \ps=-1 $). Pokażemy, że izometrie liniowe przestrzeni euklidesowej wymiaru \nolinebreak $ \geq 2 $ są złożeniem obrotów we wzajemnie ortogonalnych płaszczyznach i symetrii ortogonalnej względem podprzestrzeni zawierającej te płaszczyzny.

Twierdzenie (#) Dla każdej izometrii liniowej $ \vp:V\to V $ liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ wymiaru $ n $ istnieje prostokątny układ współrzędnych $ \si:V\to\R^n $ taki, że $ \MP{\si}{\si}{\vp} $ ma na przekątnej macierze obrotów $ \mk{rr}{ \cos \theta&-\sin \theta\\ \sin \theta&\cos \theta} $ lub skalary $ \pm 1 $.

W języku macierzowym Twierdzenie [link] formułuje się następująco.

Stwierdzenie (#) Dla każdej macierzy ortogonalnej $ A\in\M{n}{n}{\R} $ istnieje macierz ortogonalna $ C $ taka, że $ C^TAC\ (=C^{-1}AC) $ ma na przekątnej macierze obrotów

lub skalary $ \pm 1 $.

Do dowodu twierdzenia potrzebna będzie następująca obserwacja wynikająca z Twierdzenia [link].

Lemat (#) Dla każdej izometrii liniowej $ \vp:V\to V $ liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ wymiaru $ \geq 2 $ istnieje podprzestrzeń $ W\subset V $ taka, że $ \vp(W)\subset W $ oraz $ \dim W\leq 2 $.
Dowód: Zauważmy najpierw, że podstawiając $ \be=\vp(\al) $ w równości $ \is{\ga}{\al}=\is{\vp(\ga)}{\vp(\al)} $, warunek zachowania iloczynów skalarnych można przepisać w postaci $ \is{\ga}{\vp^{-1}(\be)}=\is{\vp(\ga)}{\be} $. Zastępując w \nolinebreak tym warunku izometrię liniową $ \vp $ przez $ \vp^{-1}:V\to V $, dostajemy również $ \is{\ga}{\vp(\be)}=\is{\vp^{-1}(\ga)}{\be} $, a stąd

$$\is{\ga}{(\vp+\vp^{-1})(\be)}=\is{\ga}{\vp(\be)}+\is{\ga}{\vp^{-1}(\be)}= \is{\vp^{-1}(\ga)}{\be}+\is{\vp(\ga)}{\be}= \is{(\vp^{-1}+\vp)(\ga)}{\be},$$

co oznacza, że endomorfizm $ \vp+\vp^{-1}:V\to V $ jest samosprzężony.

Z Twierdzenia [link] istnieje więc niezerowy wektor $ \al\in V $ i $ \la\in\R $ takie, że $ (\vp+\vp^{-1})(\al)=\la\al $. Zatem $ \vp(\vp+\vp^{-1})(\al)=\la\vp(\al) $ i stąd $ \vp^2(\al)=\la\vp(\al)-\al $.

Niech $ W=\lin(\al,\vp(\al)) $. Ponieważ, jak zauważyliśmy $ \vp^2(\al)\in W $, mamy $ \vp(W)\subset W $. □

{\bf Dowód Twierdzenia [link].} Załóżmy, że teza jest prawdziwa dla izometrii liniowych przestrzeni euklidesowych wymiaru mniejszego niż $ \dim V=n $ i niech $ W\subset V $ będzie podprzestrzenią wymiaru $ k\leq 2 $ spełniającą warunki Lematu [link].

Jeśli $ k=1 $, to $ \vp|W $ jest identycznością lub operacją mnożenia przez $ -1 $. Jeśli $ k=2 $, to $ \vp|W $ jest obrotem $ W $ lub symetrią ortogonalną $ W $ względem pewnej prostej, zob. Uwaga [link]. Zatem w $ W $ istnieje prostokątny układ współrzędnych $ \ta:W\to\R^k $ taki, że macierz $ \MP{\ta}{\ta}{\vp|W} $ jest macierzą obrotu lub macierzą diagonalną mającą na przekątnej $ 1,-1 $.

Ponieważ $ \vp $ jest izometrią liniową i $ \vp(W)=W $, mamy również $ \vp(W^\perp)=W^\perp $. Ustalmy prostokątny układ współrzędnych $ \ta_\perp:W^\perp\to\R^{n-k} $ w $ W^\perp $ dany przez założenie indukcyjne.

Dla prostokątnego układu współrzędnych $ \si: V\to\R^n $ związanego z bazą ortonormalną powstałą przez dołączenie do bazy $ W^\perp $ związanej z $ \ta_\perp $, bazy $ W $ związanej z $ \ta $, macierz $ \MP{\si}{\si}{\vp} $ jest postaci opisanej w \nolinebreak twierdzeniu.\null
\null$ \blacksquare $    

Na zakończenie tej części podamy Twierdzenie [link] charakteryzujące izometrie liniowe przy pomocy warunku słabszego niż warunek przyjęty w definicji, wyjaśniającego przy tym lepiej terminologię.

Uwaga (#) Dla izomorfizmu $ \vp:V\to V $ liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ warunek zachowywania iloczynu skalarnego jest równoważny (formalnie słabszemu) warunkowi zachowywania normy

$$ ||\al||=||\vp(\al)|| \ \mbox{ dla } \ \al\in V, $$

Istotnie, z $ \is{\ga-\al}{\ga-\al}= \is{\ga}{\ga}-2\is{\ga}{\al}+\is{\al}{\al} $ dla $ \ga,\al\in V $ mamy

$ (\ast)<table class="displaymath"><tr><td class="dspleft"><img class="teximage" src="/sites/default/files/tex/2f3c9c5b8b502478e61bae67a7d3b7ffee51766f.png" alt="6b8eca55a63c9f97990a999c4b76ffcf:95:" /></td><td class="dspright"></td></tr></table>\is{\ga}{\al}=\is{\bar{f}(\ga)}{\bar{f}(\al)} \ \mbox{ dla } \ {\ga},{\al}\in A.<table class="displaymath"><tr><td class="dspleft"><img class="teximage" src="/sites/default/files/tex/830bbd9d2a8ebf24d8e34557c4449c6597659250.png" alt="6b8eca55a63c9f97990a999c4b76ffcf:96:" /></td><td class="dspright"></td></tr></table>\is{\ps(\ga)}{\ps(\al_j)}=\is{\ga}{\al_j}= \is{\bar{f}(\ga)}{\bar{f}(\al_j)}= \is{\bar{f}(\ga)}{\ps(\al_j)} \ \mbox{ dla }\ j\leq m, $$ więc $ \is{\ps(\ga)-\bar{f}(\ga)}{\be}=0 $ dla $ \be\in W $, a stąd $ ||\ps(\ga)-\bar{f}(\ga)||=\0 $, czyli $ \ps|A=\bar{f} $.

Dla zakończenia dowodu wystarczy teraz przedłużyć $ \ps $ do izometrii liniowej $ \vp:V\to V $ przy pomocy dowolnej izometrii liniowej przeprowadzającej $ U^\perp $ na $ W^\perp $. □

Sprzężenie endomorfizmu przestrzeni euklidesowej

W tej części opiszemy kanoniczny izomorfizm przestrzeni euklidesowej z przestrzenią sprzężoną i wyjaśnimy związek operacji sprzężenia endomorfizmu opisanej w Definicji [link] z pojęciem endomorfizmu samosprzężonego przestrzeni euklidesowej.

Niech $ (V,\is{\ }{\,}) $ będzie liniową przestrzenią euklidesową wymiaru $ n $. Każdemu wektorowi $ \al\in V $ przyporządkujmy funkcjonał $ f_\al\in V^\ast $ określony wzorem

\[ f_\al(\ga)=\is{\ga}{\al}. \]

Przekształcenie $ \al\to f_\al $ jest liniowe i jeśli $ \al\neq\0 $, to $ f_\al\neq\0 $ (w $ V^\ast $), bo $ f_\al(\al)=||\al||^2\neq 0 $, a więc to przyporządkowanie jest izomorfizmem $ V $ na $ V^\ast $. Ten kanoniczny izomorfizm pozwala utożsamiać $ V $ z $ V^\ast $, przy ustalonym iloczynie skalarnym w $ V $.

Zauważmy, że jeśli $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ jest bazą ortonormalną w $ V $, to układ $ (f_{\al_1},\ldots,f_{\al_n}) $ jest bazą dualną do niej w $ V^\ast $, bo $ f_{\al_i}(\al_j)=\is{\al_i}{\al_j} $.

Niech $ \vp:V\to V $ będzie endomorfizmem i niech $ \vp^\ast:V^\ast\to V^\ast $ będzie endomorfizmem sprzężonym określonym w [link]. Utożsamienie $ V^\ast $ z $ V $ pozwala interpretować $ \vp^\ast $ jako endomorfizm $ \vp^\ast:V\to V $ (oznaczany tak samo jak endomorfizm na $ V^\ast $) taki, że dla $ \al\in V $ mamy (w $ V^\ast $)

$$f_{\vp^\ast(\al)}=\vp^\ast(f_\al),$$

gdzie po prawej stronie równości występuje endomorfizm $ \vp^\ast:V^\ast\to V^\ast $, a po lewej jego odpowiednik $ \vp^\ast:\nolinebreak V\to\nolinebreak V $. Z \nolinebreak (1) obliczamy wartość funkcjonału $ f_{\vp^\ast(\al)} $ na wektorze $ \ga\in V $ jako $ f_{\vp^\ast(\al)}(\ga)=\is{\ga}{\vp^\ast(\al)} $, a z [link], prawa strona równości ma na $ \ga $ wartość $ \vp^\ast(f_\al)(\ga)=f_\al(\vp(\ga))=\is{\vp(\ga)}{\al} $.

Wykorzystując izomorfizm kanoniczny otrzymaliśmy więc endomorfizm $ \vp^\ast:V\to V $ taki, że

\[ \is{\ga}{\vp^\ast(\al)}=\is{\vp(\ga)}{\al}. \]

Endomorfizm $ \vp^\ast:V\to V $ opisany formułą (2) nazywamy endomorfizmem sprzężonym do $ \vp $ ze względu na iloczyn skalarny $ \is{\ }{\,} $.

W szczególności, samosprzężoność $ \vp $ oznacza, że $ \vp^\ast=\vp $, a warunek $ \vp^\ast=\vp^{-1} $ określa izometrie liniowe.