Przestrzenie afiniczne

W tym rozdziale skupimy uwagę na geometrii - dokładniej, geometrii analitycznej. Zbliżając nasz język do języka geometrii, wprowadzimy pojęcie przestrzeni afinicznej, obiektu, w którym wyróżnia się przestrzeń punktów $ E $ i przestrzeń wektorów swobodnych $ \s{E} $ nad $ E $, działających na $ E $ jako bijekcje - przesunięcia, przy czym dodawaniu wektorów w $ \s E $ odpowiada składanie przesunięć w $ E $.

Zaczniemy od omówienia struktury afinicznej przestrzeni $ \K^n $.

Struktura afiniczna przestrzeni współrzędnych

Struktura afiniczna przestrzeni $ \K^n $ związana jest z warstwami - przesunięciami podprzestrzeni liniowych tej przestrzeni oraz przekształceniami afinicznymi - złożeniami endomorfizmów $ \K^n $ z przesunięciami.

O ile wektor zerowy w $ \K^n $ pełni wyróżnioną rolę względem klasy przekształceń liniowych, $ \K^n $ jest przestrzenią jednorodną ze względu na przekształcenia afiniczne - klasa takich przekształceń nie wyróżnia żadnego elementu $ \K^n $.

Definicja (#) Warstwą podprzestrzeni $ W\subset\K^n $ przechodzącą przez wektor $ X_0\in\K^n $ nazywamy zbiór $ X_0+W=\set{X_0+Z:Z\in W}\subset \K^n $.

Jeśli $ X_0\not\in W $, to warstwa $ X_0+W $ nie jest podprzestrzenią liniową $ \K^n $, bo $ \0\not\in X_0+W $.

W Twierdzeniu [link] pokazaliśmy, że zbiór rozwiązań niesprzecznego układu równań $ AX=B $, gdzie $ A\in\nolinebreak\M{m}{n}{\K} $, $ B\in\K^m $, jest warstwą $ X_\ast+N(A) $ podprzestrzeni $ N(A) $ rozwiązań jednorodnego układu $ AX=\0 $ przechodzącą przez (dowolne) rozwiązanie $ X_\ast $ układu $ AX=B $.

Zauważmy też, że dla macierzy $ A\in\nolinebreak\M{m}{n}{\K} $ warstwa $ X_0+N(A)\in\K^n $ jest zbiorem rozwiązań układu równań $ AX=B $, gdzie $ B=AX_0 $. Z Twierdzenia [link] wynika więc, że każda warstwa w $ \K^n $ jest zbiorem rozwiązań pewnego niesprzecznego układu równań liniowych.

Zbiór $ R $ rozwiązań niesprzecznego układu równań liniowych $ AX=B $ wyznacza zbiór $ \set{Y-X:X,Y\in R} $ rozwiązań układu jednorodnego, więc każda warstwa $ R $ jednoznacznie wyznacza podprzestrzeń $ W $ taką, że $ R=X_\ast+W $ dla dowolnego $ X_\ast\in R $. Wymiar $ W $ nazywamy wymiarem warstwy $ R $. Warstwy wymiaru \nolinebreak $ 1 $ nazywamy prostymi, a warstwy wymiaru $ n-1 $, hiperpłaszczyznami w $ \K^n $.

Definicja (#) Mówimy, że przekształcenie $ f:\K^n\to\K^m $ jest afiniczne, jeśli $ f(X)=AX+B $ dla $ A\in\M{m}{n}{\K} $, $ B=f(\0)\in\K^m $. Przekształcenie afiniczne $ f $ wyznacza przekształcenie liniowe $ \vp:\K^n\to\K^m $ dane wzorem $ \vp(X)=f(X)-f(\0)=AX $, które nazywamy częścią liniową $ f $ i \nolinebreak oznaczamy przez $ \p{f} $. Przekształcenie afiniczne $ f:\K^n\to\K^n $ nazywamy izomorfizmem afinicznym $ \K^n $, jeśli macierz $ A $ jest odwracalna.
Uwaga (#) Niech $ f(X)=AX+B $ będzie przekształceniem afinicznym $ \K^n $ w $ \K^m $.

  • [(a)] Dla dowolnego $ X\in\K^n $

    $ (\ast) $ $ f(X+Z)=f(X)+\p{f}(Z) $ dla $ Z\in \K^n $.

    Istotnie, $ f(X+Z)=A(X+Z)+B=AX+AZ+B=f(X)+AZ $.

  • [(b)] Jeśli $ m=n $ i $ f $ jest izomorfizmem afinicznym $ \K^n $, to $ f $ ma przekształcenie odwrotne, które też jest izomorfizmem afinicznym $ \K^n $, bo z $ Y=AX+B $ mamy $ f^{-1}(Y)=A^{-1}(Y-B)=A^{-1}Y+A^{-1}(-B) $.
  • [(c)] Złożenie przekształcenia afinicznego $ f $ z przekształceniem afinicznym $ g:\K^m\to\K^l $ jest przekształceniem afinicznym $ g\circ f:\K^n\to\K^l $, bo dla $ f(X)=AX+B $ i $ g(Y)=CY+D $ złożenie $ g\circ f $ jest dane wzorem $ g\circ f(X)=C(AX+B)+D=(CA)X+(CB+D) $.

Odnotujmy na koniec, że przekształcenia afiniczne $ f:\K^n\to\K^m $ przekształcają warstwy w $ \K^n $ na \nolinebreak warstwy w $ \K^m $, zob.\ $ (\ast) $ w Uwadze [link].

Przestrzenie afiniczne

Przed wprowadzeniem ogólnej definicji przestrzeni afinicznej, wyjaśnimy to pojęcie na podstawowym przykładzie kartezjańskiej przestrzeni afinicznej $ \ek{n} $.

Przykład (#) Pisząc $ \ek{n} $ wskazujemy, że elementy $ n $-tej potęgi kartezjańskiej $ \K $ traktujemy jako punkty, odróżniając $ \ek{n} $ od przestrzeni liniowej $ \K^n $, której elementami są wektory-kolumny.

Punkty będziemy oznaczać literami $ p,q,\ldots $, a współrzędne punktu będziemy zapisywać w nawiasach okrągłych, $ p=(x_1,\ldots,x_n) $. Każda para punktów $ p=(x_1,\ldots,x_n) $, $ q=(y_1,\ldots,y_n) $ w $ \ek{n} $ wyznacza wektor $ \ve{pq}=[y_1-x_1,\ldots,y_n-x_n]^T\in\K^n $.

Wektor $ Z=[z_1,\ldots,z_n]^T\in\K^n $ można zaczepić w dowolnym punkcie $ p=(x_1,\ldots,x_n)\in\K^n $, w wyniku czego otrzymuje się punkt $ p+Z=(x_1+z_1,\ldots,x_n+z_n) $ (w szczególności, $ p+\ve{pq}=q $). Tak więc, każdy wektor $ Z\in\K^n $ wyznacza bijekcję $ p\to p+Z $ przestrzeni punktów $ \ek{n} $ na siebie - przesunięcie o wektor $ Z $, przy czym $ p+(X+Y)=(p+X)+Y $, a więc operacji dodawania wektorów w $ \K^n $ odpowiada składanie przesunięć o te wektory w $ \ek{n} $.

Pojęcie przestrzeni afinicznej pozwala uwolnić się od współrzędnych przypisanych punktom, jak to ma miejsce w Przykładzie [link].

Definicja (#) Przestrzenią afiniczną nad ciałem $ \K $ nazywamy trójkę $ (E,\s E,\ka) $, gdzie $ E $ jest niepustym zbiorem punktów, $ \s E $ jest przestrzenią liniową nad $ \K $, której elementy nazywamy wektorami swobodnymi nad $ E $, a \ $ \ka:E\times\s E\to E $ jest operacją zaczepiania wektorów swobodnych w punktach taką, że przyjmując oznaczenie $ \ka(p,\ga)=p+\ga $, mamy

$ (0) $      $ p+\0=p $ dla $ p\in E $,

$ (1) $      $ (p+\ga)+\al=p+(\ga+\al) $ dla $ \ga,\al\in\s E $,

$ (2) $      Dla każdej pary punktów $ p,q\in E $ istnieje dokładnie jeden wektor $ \ga\in \s E $ taki, że $ p+\ga=q $ $ ( $będziemy go oznaczać symbolem $ \ve{pq}) $.

Dla uproszczenia oznaczeń, zamiast $ (E,\s E,\ka) $ będziemy często pisać $ E $, a elementy $ \s{E} $ będziemy nazywać po prostu wektorami nad $ E $.

Wymiarem $ \dim E $ przestrzeni afinicznej $ E $ będziemy nazywać wymiar przestrzeni $ \s E $.

Uwaga (#)

  • [(a)] Warunek (2) w definicji oznacza, że dla ustalonego $ p\in E $ (punktu początkowego) przyporządkowanie wektorowi $ \ga\in\s E $ punktu $ p+\ga\in E $ (końca wektora $ \ga $ zaczepionego w $ p $) ustala wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między $ E $ i $ \s E $ (operacją odwrotną jest przyporządkowanie punktowi $ q $ wektora $ \ve{pq} $). Punkt początkowy $ p $ odpowiada wtedy wektorowi zerowemu.

  • [(b)] Warunek (1) mówi jak wektor przyporządkowany punktowi zmienia się w wyniku zastąpienia punktu początkowego $ p $ przez inny punkt $ q $: podstawiając $ q=p+\ve{pq} $ do $ r=q+\ve{qr} $ dostajemy $ r=(p+\ve{pq})+\ve{qr}=p+(\ve{pq}+\ve{qr}) $, a stąd
    $$\ve{pr}=\ve{pq}+\ve{qr}.$$

    W szczególności, dla $ r=p $ mamy $ \0=\ve{pp}=\ve{pq}+\ve{qp} $, czyli $ \ve{qp}=-\ve{pq} $.

Przykład (#) Niech $ V $ będzie przestrzenią liniową nad $ \K $. Podobnie jak w Przykładzie [link], pisząc $ \ev $ rozpatrujemy $ V $ jako zbiór punktów i określamy przestrzeń afiniczną $ (\ev,V,\ka) $ definiując operację zaczepienia wektora $ \ga\in V $ w punkcie $ p\in\ev $ wzorem $ \ka(p,\ga)=p+\ga $, gdzie plus po prawej stronie jest operacją dodawania wektorów w $ V $.

W przestrzeni afinicznej $ E $ wyróżnimy niepuste podzbiory odpowiadające warstwom w $ \K^n $ zdefiniowanym w pierwszej części tego rozdziału.

Uwaga Niech $ W\subset \s E $ będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni $ \s E $ wektorów swobodnych nad $ E $ i \nolinebreak niech $ p+W=\set{p+\be:\be\in W}\subset E $ będzie zbiorem końców wektorów z $ W $ zaczepionych w ustalonym punkcie $ p\in E $. Wówczas dla każdego punktu $ q\in p+W $ mamy $ q+W= p+W $.

Istotnie, $ q\in p+W $ oznacza, że $ q=p+\ga $ dla pewnego wektora $ \ga\in W $. Wtedy $ q+W=(p+\ga)+W=\set{(p+\ga)+\be:\be\in W}=\set{p+(\ga+\be):\be\in W}=p+W $.

Z tej uwagi wynika, że zbiór $ p+W $ wyznacza podprzestrzeń $ W $ wzorem $ W=\set{\ve{qr}:q,r\in p+W} $ i \nolinebreak jest zamknięty ze względu na operację zaczepiania wektorów z $ W $ w \nolinebreak punktach $ p+W $. Zatem zbiór $ p+W\subset E $ dziedziczy w naturalny sposób strukturę afiniczną z przestrzeni $ (E,\s E,\ka) $: zbiorem wektorów swobodnych nad $ p+W $ jest $ W $, a operacja zaczepiania wektorów w punktach $ p+W $ jest obcięciem operacji zaczepiania wektorów $ \ka:E\times \s E\to E $ do $ (p+W)\times W $.

Definicja Zbiory postaci $ p+W\subset E $, gdzie $ p\in E $, a $ W\subset\s{E} $ jest podprzestrzenią przestrzeni wektorów swobodnych nad $ E $ nazywamy podprzestrzeniami afinicznymi $ E $. Przestrzenią wektorów swobodnych nad $ p+W $ jest przestrzeń $ W=\set{\ve{qr}:q,r\in p+W} $, a $ \dim{W} $ jest wymiarem $ p+W $. Podprzestrzenie wymiaru \nolinebreak $ 1 $ nazywamy prostymi, a podprzestrzenie wymiaru $ \dim \s E-1 $, hiperpłaszczyznami.

Na zakończenie tej części podamy przykład przestrzeni afinicznej innej niż wcześniej omawiane. Warto jednak podkreślić, że jak się okaże, każdą przestrzeń afiniczną można utożsamić, z \nolinebreak zachowaniem struktury afinicznej, z przestrzenią afiniczną odpowiedniego wymiaru, opisaną w Przykładzie [link].

Przykład {\bf *} Niech $ V $ będzie niezerową przestrzenią liniową nad $ \K $ i niech $ f:V\to\K $ będzie niezerowym funkcjonałem liniowym. Jako $ E $ przyjmijmy zbiór jednowymiarowych podprzestrzeni $ V $, nie leżących w $ \ker f=\s E $. Operację \, $ \ka:E\times \s E\to E $ określamy następująco: jeśli $ p\in E $ jest jednowymiarową podprzestrzenią $ V $ oraz $ \ga\in\s E $, wybieramy niezerowy wektor $ \al\in p $ i definiujemy

$$\ka(p,\ga)=\lin(\al+f(\al)\ga).$$

Bez trudu sprawdza się, że operacja $ \ka $ jest określona poprawnie (prawa strona równości nie zależy od \nolinebreak wyboru $ \al\in p $) i spełnia warunki (0)-(2) Definicji [link]. Zatem $ (E,\s E,\ka) $ jest przestrzenią afiniczną.

Kombinacje afiniczne

Przeniesiemy teraz do przestrzeni afinicznych operację środka ciężkości układu punktów z wagami, odgrywającą ważną rolę w geometrii.

Uwaga Niech $ (p_0,\ldots,p_n) $ będzie układem punktów w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \K $ i niech $ a_0,\ldots,a_n\in\K $ będą skalarami o sumie $ \sum_{j=0}^na_j=1 $. Wówczas, dla dowolnego punktu początkowego $ p\in E $, punkt

$ (\ast) $ $ q=p+\sum_{j=0}^n a_j\ve{pp_j} $

spełnia warunek

$ (\ast\ast)<table class="displaymath"><tr><td class="dspleft"><img class="teximage" src="/sites/default/files/tex/1408974249228fb882a5f373b10cb6d7342efa0b.png" alt="eece6370a3a395cc0e886257591a9bfd:209:" /></td><td class="dspright"></td></tr></table>\af(p_0,\ldots,p_n)=p_0+\lin(\ve{p_0p_1},\ldots,\ve{p_0p_n}). $$ Co więcej, $ \af(p_0,\ldots,p_n) $ jest najmniejszą podprzestrzenią afiniczną $ E $ zawierającą wszystkie punkty $ p_j $.

Dowód: Ponieważ $ \ve{p_0p_0}=\0 $, z wzoru $ (\ast) $ dla $ p=p_0 $ dostajemy

$ \af(p_0,\ldots,p_n)=\set{p_0+\sum_{j=0}^n a_j\ve{p_0p_j}:\sum_{j=0}^n a_j=1}= \set{p_0+(a_0\ve{p_0p_0}+\sum_{j=1}^n a_j\ve{p_0p_j}):\sum_{j=0}^n a_j=1}=\set{p_0+\sum_{j=1}^n a_j\ve{p_0p_j}: a_1,\ldots,a_n\in\K}= p_0+\lin(\ve{p_0p_1},\ldots,\ve{p_0p_n}) $.

W szczególności, $ p_0\in\af(p_0,\ldots,p_n) $, a ponieważ powłoka afiniczna układu punktów nie zależy od ich kolejności, mamy stąd $ p_j\in\af(p_0,\ldots,p_n) $ dla $ j\leq n $. Podprzestrzenie afiniczne w $ E $ są zamknięte ze \nolinebreak względu na kombinacje afiniczne, więc $ \af(p_0,\ldots,p_n) $ jest najmniejszą podprzestrzenią afiniczną $ E $ zawierającą wszystkie $ p_j $. □

Definicja Mówimy, że układ punktów $ (p_0,\ldots,p_n) $ w przestrzeni afinicznej $ E $ jest afinicznie niezależny jeśli podprzestrzeń $ \af(p_0,\ldots,p_n) $ ma wymiar $ n $.
Uwaga Z Twierdzenia [link] wynika, że afiniczna niezależność układu punktów $ (p_0,\ldots,p_n) $ jest równoważna liniowej niezależności układu wektorów $ (\ve{p_0p_1},\ldots,\ve{p_0p_n}) $, przy czym $ p_0 $ można zastąpić dowolnym innym punktem układu, bo powłoka afiniczna nie zależy od kolejności punktów układu.

Układ bazowy, baza punktowa

W Uwadze [link] (a) odnotowaliśmy, że wybranie punktu początkowego $ p\in E $ ustala wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość punktów $ E $ z wektorami z $ \s E $, $ q\to\ve{pq} $. Dodatkowy wybór bazy w $ \s{E} $ pozwala więc przyporządkować każdemu punktowi współrzędne.

Definicja Układem bazowym w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \K $ nazywamy układ $ (p;\al_1,\ldots,\al_n) $ taki, że $ p\in E $, a $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ jest bazą $ \s E $.
Definicja Bazą punktową w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \K $ nazywamy układ punktów $ (p_0,\ldots,p_n) $ taki, że $ (p_0;\ve{p_0p_1},\ldots,\ve{p_0p_n}) $ jest układem bazowym w $ E $.

Jeśli $ (p_0,p_1,\ldots,p_n) $ jest bazą punktową $ E $, to punkt $ q\in E $ można jednoznacznie zapisać w układzie bazowym $ (p_0;\ve{p_0p_1},\ldots,\ve{p_0p_n}) $ w postaci $ q=p_0+\sum_{j=1}^na_j\ve{p_0p_j} $. Wtedy $ q=\sum_{j=0}^na_jp_j $ jest kombinacją afiniczną $ (p_0,p_1,\ldots,p_n) $, w której waga $ a_0=1-\sum_{j=1}^n a_j $ jest dobrana tak, by suma wag była jednością. Wagi $ a_0,\ldots,a_n $ nazywamy współrzędnymi barycentrycznymi punktu $ q $.

Zbiór współrzędnych barycentrycznych, interpretowanych jako elementy $ \K^{n+1} $, tworzy w tej przestrzeni hiperpłaszczyznę opisaną równaniem $ \sum_{j=0}^nx_j=1 $.

Przekształcenia afiniczne

Rozpatrując przekształcenia między przestrzeniami punktów przestrzeni afinicznych będziemy zawsze zakładać, że dziedzina i przeciwdziedzina są przestrzeniami nad tym samym ciałem $ \K $.

Przekształcenia afiniczne przestrzeni afinicznych, to przekształcenia, które w ustalonych układach bazowych są opisane przez przekształcenia afiniczne z $ \K^n $ w $ \K^m $, postaci $ Y=AX+B $, określone na początku tego rozdziału. Wygodniej jednak będzie przyjąć jako definicję warunek niezależny od wyboru układów bazowych.

Definicja (#) Niech $ E,F $ będą przestrzeniami afinicznymi nad $ \K $. Funkcję $ f:E\to F $ nazywamy przekształceniem afinicznym, jeśli dla pewnego $ p\in E $ istnieje przekształcenie liniowe $ \p{f}:\s{E}\to \s{F} $, zwane częścią liniową $ f $, spełniające warunek

$ (\ast) $ $ f(p+\al)=f(p)+\p{f}(\al) $ dla $ \al\in \s{E} $.

Uwaga (#)

  • [(a)] W warunku $ (\ast) $ można, bez zmiany $ \p{f} $, zastąpić punkt $ p $ dowolnym punktem $ q\in E $, bo dla $ q=p+\ga $ mamy $ f(q+\al)=f(p+\ga+\al)=f(p)+\p{f}(\ga+\al)= f(p)+\p{f}(\ga)+\p{f}(\al)=f(q)+\p{f}(\al) $.
  • [(b)] $ f $ jest wyznaczone przez podanie obrazu $ f(p) $ jakiegokolwiek punktu $ p\in E $ i części liniowej $ \p{f} $.
  • [(c)] Złożenie przekształceń afinicznych $ g\circ f $ jest przekształceniem afinicznym i $ \ve{g\circ f}=\p{g}\circ\p{f} $.\\ Istotnie, $ g(f(p+\al))=g(f(p)+\p{f}(\al))=g(f(p))+\p{g}(\p{f}(\al)) $.

Niech $ f:E\to E $ będzie przekształceniem afinicznym. Jeśli $ \p{f}=\0 $, to $ f $ jest przekształceniem stałym.

Jeśli $ \p{f}=\id $, to $ f $ jest przesunięciem $ f(p+\al)=f(p)+\al=(p+\ve{pf(p)})+\al=(p+\al)+\ve{pf(p)} $.

Jeśli $ \p{f}=c\cdot\id $, $ c\neq 1 $, to $ f $ nazywamy jednokładnością o skali $ c $ (środkiem tej jednokładności jest punkt $ q=p+(1-c)^{-1}\ve{pf(p)} $ spełniający warunek $ f(q)=q $).

Przekształcenie afiniczne $ f:E\to E $ nazywamy rzutem na podprzestrzeń $ p+W $ równoległym do \nolinebreak $ U $ (symetrią względem $ p+W $ równoległą do $ U $), jeśli $ f(p)=p $ i część liniowa $ f $ jest rzutem $ \s E $ na $ W $ równoległym do $ U $ (symetrią względem $ W $ równoległą do $ U $).

Definicja Przekształcenie afiniczne $ f:E\to F $ nazywamy izomorfizmem afinicznym jeśli część liniowa $ \p{f}:\s{E}\to\s{F} $ jest izomorfizmem liniowym.
Uwaga Izomorfizm afiniczny $ f:E\to F $ ma funkcję odwrotną $ f^{-1}:F\to E $, która jest izomorfizmem afinicznym zadanym warunkami $ f^{-1}(f(p))=p $ \ i \ $ \ve{(f^{-1})}=(\p{f}\,)^{-1}:\s{F}\to\s{E} $.

Mówimy, że przestrzenie afiniczne $ E,F $izomorficzne jeśli istnieje izomorfizm afiniczny $ E $ na $ F $, co zgodnie z Wnioskiem [link] jest równoważne równości wymiarów $ \dim E=\dim F $.

\mNa koniec tej części odnotujemy ważną własność przekształceń afinicznych (w istocie, charakteryzującą tę klasę przekształceń).

Uwaga (#) Przekształcenia afiniczne zachowują kombinacje afiniczne.

Istotnie, dla przekształcenia afinicznego $ f:E\to F $ warunek $ (\ast) $ oznacza, że $ \p{f}(\ve{pq})=\ve{f(p)f(q)} $, $ p,q\in E $. Stąd dla kombinacji afinicznej $ \sum_{j=0}^n a_jp_j $ w $ E $, gdzie $ \sum_{j=0}^n a_j=1 $,

$ f(\sum_{j=0}^n a_jp_j)=f(p+\sum_{j=0}^n a_j\ve{pp_j})=f(p)+\p{f}(\sum_{j=0}^n a_j\ve{pp_j})=f(p)+\sum_{j=0}^n a_j\p{f}(\ve{pp_j})=f(p)+\sum_{j=0}^n a_j\ve{f(p)f(p_j)}=\sum_{j=0}^n a_jf(p_j) $.

Afiniczne układy współrzędnych

Definicja (#) Przestrzeń afiniczną $ (E,(\s{E},\is{\ }{\,}),\ka) $ nad $ \R $, gdzie w skończenie wymiarowej przestrzeni wektorów swobodnych $ \s{E} $ nad $ E $ ustalony jest iloczyn skalarny $ \is{\ }{\,} $, będziemy nazywali afiniczną przestrzenią euklidesową.

W dalszym ciągu będziemy mówili po prostu o przestrzeni euklidesowej $ E $, jeśli jasne jest jaki iloczyn skalarny został ustalony w $ \s{E} $.

Definicja Odległość między punktami przestrzeni euklidesowej określamy wzorem $ d(p,q)=||\ve{pq}|| $, gdzie $ ||\ve{pq}||=\sqrt{\is{\ve{pq}}{\ve{pq}}} $ jest normą wektora swobodnego $ \ve{pq} $ w $ (\s{E},\is{\ }{\,}) $.
Przykład W przestrzeni euklidesowej $ \ee $, gdzie w przestrzeni wektorów swobodnych $ \R^n $ ustalony jest iloczyn skalarny $ \is{X}{Y}=X^TY $, odległość między punktami $ p=(x_1,\ldots,x_n) $, $ q=(y_1,\ldots,y_n) $ jest określona wzorem $ d(p,q)=\sqrt{\sum_{j=1}^n(y_j-x_j)^2} $.
Definicja Rzutem ortogonalnym przestrzeni euklidesowej $ E $ na podprzestrzeń afiniczną $ p+W\subset E $ nazywamy przekształcenie afiniczne $ f:E\to E $ dane wzorem $ f(p+\al)=p+P(\al) $, gdzie $ P:\s{E}\to W $ jest rzutem ortogonalnym $ \s{E} $ na $ W $. Symetrią ortogonalną $ E $ względem $ p+W $ nazywamy przekształcenie afiniczne $ g:E\to E $ określone wzorem $ g(p+\al)=p+\p{g}(\al) $, gdzie $ \p{g} $ jest symetrią ortogonalną $ \s{E} $ względem $ W $.

Niech $ f:E\to E $ będzie rzutem ortogonalnym przestrzeni euklidesowej $ E $ na podprzestrzeń $ p+ W $. Zgodnie z Uwagą [link], rzut ortogonalny $ r=f(q) $ punktu $ q $ jest jedynym punktem $ p+W $ spełniającym warunek $ d(r,q)=\inf\set{d(\xx,q):\xx\in p+W} $.

Minimalna odległość $ d(r,q) $ punktu $ q $ od $ p+W $ jest normą rzutu ortogonalnego wektora $ \ve{pq} $ na dopełnienie ortogonalne $ W^\perp $ podprzestrzeni $ W $ w $ \s{E} $, nazywamy ją odległością punktu $ q $ od podprzestrzeni $ p+W $.

Jeśli $ U $ i $ W $ są podprzestrzeniami $ \s{E} $, $ p,q\in E $, to kres dolny odległości między punktami podprzestrzeni $ q+U $ i $ p+W $, $ \inf\{d(p+\be,q+\ga):\be\in W,\ga\in U\}= \inf\{d(p+\be-\ga,q):\be\in W, \ga\in U\} $ jest odległością punktu $ q $ od podprzestrzeni $ p+(W+U) $ równą normie rzutu wektora $ \ve{pq} $ na podprzestrzeń $ (W+U)^\perp $ - jest to odległość między podprzestrzeniami $ q+U $ i $ p+W $ przestrzeni $ E $.

Definicja Afiniczny układ współrzędnych $ \si_p:E\to\R^n $ w przestrzeni euklidesowej $ E $ nazywamy prostokątnym, jeśli $ \si:\s{E}\to\R^n $ jest prostokątnym układem współrzędnych w $ \s{E} $.

Izometrie przestrzeni euklidesowych.

Izometrie przestrzeni euklidesowej to przekształcenia $ f:E\to E $ zachowujące odległość: dla $ p,q\in E $,

\m$  (\ast) $ $ d(f(p),f(q))=d(p,q) $

\mKażdy izomorfizm afiniczny $ f:E\to E $, którego część liniowa jest izometrią liniową, jest oczywiście izometrią. Pokażemy, że wszystkie izometrie $ E $ są takiej postaci.

Twierdzenie (#) Izometrie przestrzeni euklidesowej $ E $ są przekształceniami afinicznymi, których część liniowa jest izometrią liniową przestrzeni $ \s{E} $ wektorów swobodnych nad $ E $.
Dowód: Ustalmy punkt $ p\in E $ i połóżmy $ {\p{f}}(\ve{pq})=\ve{f(p)f(q)} $. Wtedy $ \p{f}:\s{E}\to\s{E} $ jest dobrze określone i $ f(q)=f(p)+\p{f}(\ve{pq}) $ dla $ q\in E $, więc nasza teza mówi, że $ \p{f} $ jest izometrią liniową. Wyprowadzimy ją z Twierdzenia [link] dowodząc, że $ \p{f} $ spełnia warunek $ (\ast\ast) $ podany w założeniach tego twierdzenia.

Warunek $ {\p{f}}(\0)=\0 $ jest oczywiście spełniony. Rozważmy wektory $ \ve{pq},\ve{pr}\in\s{E} $. Z $ (\ast) $ dla $ q,r\in E $ mamy $ ||\ve{qr}||=||\ve{f(q)f(r)}|| $, a z drugiej strony, $ \ve{qr}=\ve{pr}-\ve{pq} $ i, analogicznie, $ \ve{f(q)f(r)}=\ve{f(p)f(r)}-\ve{f(p)f(q)} $, czyli $ ||\ve{pr}-\ve{pq}||=||{\p{f}}(\ve{pr})-{\p{f}}(\ve{pq})|| $, więc $ \p{f} $ spełnia warunek $ (\ast\ast) $ w [link]. □

Ważnym wnioskiem z Twierdzenia [link] jest fakt, że odległość w przestrzeni euklidesowej $ E $ pozwala scharakteryzować przesunięcia tej przestrzeni (a więc pozwala zdefiniować przestrzeń wektorów swobodnych nad $ E $).

Stwierdzenie Przekształcenie $ f:E\to E $ przestrzeni euklidesowej $ E $ jest przesunięciem o pewien wektor wtedy i tylko wtedy, gdy $ f $ jest izometrią i $ \sup\set{d(q,f(q)):q\in E}< \infty $.
Dowód: Oczywiście, przesunięcie $ q\to q+\al $ jest izometrią $ E $ i $ d(q,q+\al)=||\al|| $.

Na odwrót, niech $ f $ będzie izometrią taką, że $ \sup\set{d(q,f(q)):q\in E}< \infty $. Zgodnie z [link], $ f $ jest przekształceniem afinicznym. Ustalmy $ p\in E $ i rozważmy przekształcenie afiniczne $ g:E\to E $ będące złożeniem $ f $ z przesunięciem o wektor $ \ve{f(p)p} $. Wtedy $ g(p)=p $ i wystarczy pokazać, że $ g=\id_E $, bo stąd natychmiast wynika, że $ f $ jest przesunięciem o wektor $ \ve{pf(p)} $.

Zauważmy, że $ \sup\set{d(q,g(q)):q\in E}< \infty $. Gdyby $ g(p+\al)\neq p+\al $ dla pewnego wektora $ \al\in\s{E} $, to z $ g(p+\al)=p+\p{g}(\al) $ mielibyśmy $ \p{g}(\al)-\al\neq \0 $, czyli $ ||\p{g}(\al)-\al||\neq 0 $. Wtedy $ \lim_{t\rightarrow\infty}||\p{g}(t\al)-t\al||= \lim_{t\rightarrow\infty}|t|||\p{g}(\al)-\al||=\infty $, czyli $ \lim_{t\rightarrow\infty}d(p+t\al,g(p+t\al))=\infty $, sprzecznie z założeniem. □

Twierdzenie [link] pozwala wzmocnić Twierdzenie [link] w następujący sposób.

Powiemy, że przekształcenie $ f:H\to E $ niepustego podzbioru $ H\subset E $ przestrzeni euklidesowej $ E $ w $ E $ jest izometrią, jeśli $ f $ zachowuje odległości punktów z $ H $, czyli spełnia warunek $ (\ast) $ dla $ p,q\in H $.

Twierdzenie {\bf $ ^\ast $} Dla każdej izometrii $ f:H\to E $ podzbioru $ H\subset E $ przestrzeni euklidesowej $ E $ istnieje izometria liniowa $ \vp:\s{E}\to\s{E} $ taka, że $ f(q)=f(p)+\vp(\ve{pq}) $ dla $ p,q\in H $.
Dowód: Ustalmy punkt $ p\in H $ i połóżmy $ A=\set{\ve{pq}:q\in H} $. Tak jak w dowodzie Twierdzenia [link], sprawdza się, że funkcja $ \bar{f}:A\to A $ dana przez $ {\bar{f}}(\ve{pq})=\ve{f(p)f(q)} $ dla $ \ve{pq}\in A $, spełnia założenia Twierdzenia [link] i wyprowadza się stąd tezę twierdzenia. □