Przestrzenie Euklidesowe

W geometrii, przestrzeń euklidesowa, to zbiór punktów $ E $ z zadaną odległością $ d(p,q) $ między punktami, która, po wprowadzeniu odpowiedniego układu współrzędnych w $ E $, jest opisana formułą $ d(p,q)=\sqrt{\sum_{j=1}^n(y_j-x_j)^2} $, $ p=(x_1,\ldots,x_n) $, $ q=(y_1,\ldots,y_n) $.

Pojęcie przestrzeni euklidesowej wprowadzimy w przyjętym przez nas formalizmie przestrzeni afinicznych nad ciałem liczb rzeczywistych, ustalając w przestrzeni wektorów swobodnych iloczyn skalarny.

Afiniczne przestrzenie euklidesowe

Definicja (#) Przestrzeń afiniczną $ (E,(\s{E},\is{\ }{\,}),\ka) $ nad $ \R $, gdzie w skończenie wymiarowej przestrzeni wektorów swobodnych $ \s{E} $ nad $ E $ ustalony jest iloczyn skalarny $ \is{\ }{\,} $, będziemy nazywali afiniczną przestrzenią euklidesową.

W dalszym ciągu będziemy mówili po prostu o przestrzeni euklidesowej $ E $, jeśli jasne jest jaki iloczyn skalarny został ustalony w $ \s{E} $.

Definicja Odległość między punktami przestrzeni euklidesowej określamy wzorem $ d(p,q)=||\ve{pq}|| $, gdzie $ ||\ve{pq}||=\sqrt{\is{\ve{pq}}{\ve{pq}}} $ jest normą wektora swobodnego $ \ve{pq} $ w $ (\s{E},\is{\ }{\,}) $.
Przykład W przestrzeni euklidesowej $ \ee $, gdzie w przestrzeni wektorów swobodnych $ \R^n $ ustalony jest iloczyn skalarny $ \is{X}{Y}=X^TY $, odległość między punktami $ p=(x_1,\ldots,x_n) $, $ q=(y_1,\ldots,y_n) $ jest określona wzorem $ d(p,q)=\sqrt{\sum_{j=1}^n(y_j-x_j)^2} $.
Definicja Rzutem ortogonalnym przestrzeni euklidesowej $ E $ na podprzestrzeń afiniczną $ p+W\subset E $ nazywamy przekształcenie afiniczne $ f:E\to E $ dane wzorem $ f(p+\al)=p+P(\al) $, gdzie $ P:\s{E}\to W $ jest rzutem ortogonalnym $ \s{E} $ na $ W $. Symetrią ortogonalną $ E $ względem $ p+W $ nazywamy przekształcenie afiniczne $ g:E\to E $ określone wzorem $ g(p+\al)=p+\p{g}(\al) $, gdzie $ \p{g} $ jest symetrią ortogonalną $ \s{E} $ względem $ W $.

Niech $ f:E\to E $ będzie rzutem ortogonalnym przestrzeni euklidesowej $ E $ na podprzestrzeń $ p+ W $. Zgodnie z Uwagą [link], rzut ortogonalny $ r=f(q) $ punktu $ q $ jest jedynym punktem $ p+W $ spełniającym warunek $ d(r,q)=\inf\set{d(\xx,q):\xx\in p+W} $.

Minimalna odległość $ d(r,q) $ punktu $ q $ od $ p+W $ jest normą rzutu ortogonalnego wektora $ \ve{pq} $ na dopełnienie ortogonalne $ W^\perp $ podprzestrzeni $ W $ w $ \s{E} $, nazywamy ją odległością punktu $ q $ od podprzestrzeni $ p+W $.

Jeśli $ U $ i $ W $ są podprzestrzeniami $ \s{E} $, $ p,q\in E $, to kres dolny odległości między punktami podprzestrzeni $ q+U $ i $ p+W $, $ \inf\{d(p+\be,q+\ga):\be\in W,\ga\in U\}= \inf\{d(p+\be-\ga,q):\be\in W, \ga\in U\} $ jest odległością punktu $ q $ od podprzestrzeni $ p+(W+U) $ równą normie rzutu wektora $ \ve{pq} $ na podprzestrzeń $ (W+U)^\perp $ - jest to odległość między podprzestrzeniami $ q+U $ i $ p+W $ przestrzeni $ E $.

Definicja Afiniczny układ współrzędnych $ \si_p:E\to\R^n $ w przestrzeni euklidesowej $ E $ nazywamy prostokątnym, jeśli $ \si:\s{E}\to\R^n $ jest prostokątnym układem współrzędnych w $ \s{E} $.

Izometrie przestrzeni euklidesowych

Izometrie przestrzeni euklidesowej to przekształcenia $ f:E\to E $ zachowujące odległość: dla $ p,q\in E $,

$ (\ast) $ $ d(f(p),f(q))=d(p,q) $

Każdy izomorfizm afiniczny $ f:E\to E $, którego część liniowa jest izometrią liniową, jest oczywiście izometrią. Pokażemy, że wszystkie izometrie $ E $ są takiej postaci.

Twierdzenie (#) Izometrie przestrzeni euklidesowej $ E $ są przekształceniami afinicznymi, których część liniowa jest izometrią liniową przestrzeni $ \s{E} $ wektorów swobodnych nad $ E $.
Dowód: Ustalmy punkt $ p\in E $ i połóżmy $ {\p{f}}(\ve{pq})=\ve{f(p)f(q)} $. Wtedy $ \p{f}:\s{E}\to\s{E} $ jest dobrze określone i $ f(q)=f(p)+\p{f}(\ve{pq}) $ dla $ q\in E $, więc nasza teza mówi, że $ \p{f} $ jest izometrią liniową. Wyprowadzimy ją z Twierdzenia [link] dowodząc, że $ \p{f} $ spełnia warunek $ (\ast\ast) $ podany w założeniach tego twierdzenia.

Warunek $ {\p{f}}(\0)=\0 $ jest oczywiście spełniony. Rozważmy wektory $ \ve{pq},\ve{pr}\in\s{E} $. Z $ (\ast) $ dla $ q,r\in E $ mamy $ ||\ve{qr}||=||\ve{f(q)f(r)}|| $, a z drugiej strony, $ \ve{qr}=\ve{pr}-\ve{pq} $ i, analogicznie, $ \ve{f(q)f(r)}=\ve{f(p)f(r)}-\ve{f(p)f(q)} $, czyli $ ||\ve{pr}-\ve{pq}||=||{\p{f}}(\ve{pr})-{\p{f}}(\ve{pq})|| $, więc $ \p{f} $ spełnia warunek $ (\ast\ast) $ w [link]. □

Ważnym wnioskiem z Twierdzenia [link] jest fakt, że odległość w przestrzeni euklidesowej $ E $ pozwala scharakteryzować przesunięcia tej przestrzeni (a więc pozwala zdefiniować przestrzeń wektorów swobodnych nad $ E $).

Stwierdzenie Przekształcenie $ f:E\to E $ przestrzeni euklidesowej $ E $ jest przesunięciem o pewien wektor wtedy i tylko wtedy, gdy $ f $ jest izometrią i $ \sup\set{d(q,f(q)):q\in E}< \infty $.
Dowód: Oczywiście, przesunięcie $ q\to q+\al $ jest izometrią $ E $ i $ d(q,q+\al)=||\al|| $.

Na odwrót, niech $ f $ będzie izometrią taką, że $ \sup\set{d(q,f(q)):q\in E}< \infty $. Zgodnie z [link], $ f $ jest przekształceniem afinicznym. Ustalmy $ p\in E $ i rozważmy przekształcenie afiniczne $ g:E\to E $ będące złożeniem $ f $ z przesunięciem o wektor $ \ve{f(p)p} $. Wtedy $ g(p)=p $ i wystarczy pokazać, że $ g=\id_E $, bo stąd natychmiast wynika, że $ f $ jest przesunięciem o wektor $ \ve{pf(p)} $.

Zauważmy, że $ \sup\set{d(q,g(q)):q\in E}< \infty $. Gdyby $ g(p+\al)\neq p+\al $ dla pewnego wektora $ \al\in\s{E} $, to z $ g(p+\al)=p+\p{g}(\al) $ mielibyśmy $ \p{g}(\al)-\al\neq \0 $, czyli $ ||\p{g}(\al)-\al||\neq 0 $. Wtedy $ \lim_{t\rightarrow\infty}||\p{g}(t\al)-t\al||= \lim_{t\rightarrow\infty}|t|||\p{g}(\al)-\al||=\infty $, czyli $ \lim_{t\rightarrow\infty}d(p+t\al,g(p+t\al))=\infty $, sprzecznie z założeniem. □

Twierdzenie [link] pozwala wzmocnić Twierdzenie [link] w następujący sposób.

Powiemy, że przekształcenie $ f:H\to E $ niepustego podzbioru $ H\subset E $ przestrzeni euklidesowej $ E $ w $ E $ jest izometrią, jeśli $ f $ zachowuje odległości punktów z $ H $, czyli spełnia warunek $ (\ast) $ dla $ p,q\in H $.

Twierdzenie {\bf $ ^\ast $} Dla każdej izometrii $ f:H\to E $ podzbioru $ H\subset E $ przestrzeni euklidesowej $ E $ istnieje izometria liniowa $ \vp:\s{E}\to\s{E} $ taka, że $ f(q)=f(p)+\vp(\ve{pq}) $ dla $ p,q\in H $.
Dowód: Ustalmy punkt $ p\in H $ i połóżmy $ A=\set{\ve{pq}:q\in H} $. Tak jak w dowodzie Twierdzenia [link], sprawdza się, że funkcja $ \bar{f}:A\to A $ dana przez $ {\bar{f}}(\ve{pq})=\ve{f(p)f(q)} $ dla $ \ve{pq}\in A $, spełnia założenia Twierdzenia [link] i wyprowadza się stąd tezę twierdzenia. □