Hiperpowierzchnie stopnia 2

W dalszym ciągu zakładamy, że ciało $ \K $ ma charakterystykę różną od $ 2 $.

Hiperpowierzchnie stopnia 2

Hiperpowierzchnie stopnia $ 2 $ w przestrzeni afinicznej $ E $ są niepustymi zbiorami punktów w $ E $ opisanymi w ustalonym afinicznym układzie współrzędnych równaniem kwadratowym, to znaczy równaniem postaci $ f(X)=0 $, gdzie $ f $ jest funkcją kwadratową na $ \K^n $. Dodatkowo uznajemy, że hiperpłaszczyzn w $ E $, które można opisać równaniem liniowym $ B^TX+c=0 $ (a także równaniem kwadratowym $ (B^TX+c)^2=0 $) nie będziemy uważać za hiperpowierzchnie stopnia $ 2 $. Dokładniej, przyjmujemy następującą definicję.

Definicja Niech $ E $ będzie przestrzenią afiniczną. Niepusty zbiór $ H\in E $, który nie jest hiperpłaszczyzną, jest hiperpowierzchnią stopnia $ 2 $, jeśli dla pewnego afinicznego układu współrzędnych $ \si_p:E\to\K^n $ i funkcji kwadratowej $ f:\K^n\to\K $,

$ H=\set{\xx\in E: f(X)=0 \mbox{ dla }X=\si_p(\xx)} $.

Będziemy wtedy mówili, że równanie $ f(X)=0 $ opisuje $ H $ w układzie współrzędnych $ \si_p $.

Twierdzenie (#) Dla hiperpowierzchni $ H $ stopnia $ 2 $ w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \K $ można wybrać afiniczny układ współrzędnych $ \ta_q:E\to \K^n $ taki, ze hiperpowierzchnia $ H $ jest opisana w tym układzie jednym z równań

(AI)$ _r $ $ d_1z_1^2+\ldots+d_rz_r^2+c'=0 $, \qquad $ d_j\neq 0 $ dla $ j\leq r $,

(AII)$ _r $ $ d_1z_1^2+\ldots+d_rz_r^2+z_n=0 $, $ d_j\neq 0 $ dla $ j\leq r<n $,

gdzie $ \ta_q(\xx)=[z_1,\ldots,z_n]^T $.

Dowód: Ustalmy afiniczny układ współrzędnych $ \si_p:E\to\K^n $ i funkcję kwadratową $ f:\K^n\to\K $ taką, że równanie $ f(X)=0 $ opisuje $ H $ w układzie $ \si_p $. Z twierdzenia o redukcji afinicznej, istnieje izomorfizm afiniczny $ g:\K^n\to\K^n $ taki, że złożenie $ f\circ g $ jest dane jednym z wzorów (AI)$ _r $ lub (AII)$ _r $. Wówczas

$ H=\set{\xx\in E: f\circ \si_p(\xx)=0}= \set{\xx\in E:(f\circ g)\circ (g^{-1}\circ \si_p)(\xx)=0} $,

a więc, korzystając z równoważności $ (i)\iff(ii) $ w Twierdzeniu [link], możemy przyjąć $ \ta_q=g^{-1}\circ \si_p $. □

W równaniu (AI)$ _r $ można ponadto zakładać, że $ c' $ jest zerem lub jedynką, bo jeśli $ c'\neq 0 $, to obie strony (AI)$ _r $ można pomnożyć przez $ (c')^{-1} $, nie zmieniając zbioru rozwiązań.

W dalszej części będziemy rozważać wyłącznie hiperpowierzchnie w przestrzeni afinicznej $ E $ nad ciałem liczb rzeczywistych. Dla $ \K=\R $, zastępując w powyższym dowodzie twierdzenie o redukcji afinicznej Twierdzeniem [link], można dodatkowo uprościć równania (AI)$ _r $ i (AII)$ _r $.

Twierdzenie (#) Dla hiperpowierzchni $ H $ stopnia $ 2 $ w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \R $ można wybrać afiniczny układ współrzędnych $ \ta_q:E\to \R^n $ taki, że hiperpowierzchnia $ H $ jest opisana w tym układzie jednym z równań

\ (AI$ _0 $)$ _{s,r} $ $ z_1^2+\ldots+z_s^2-z_{s+1}^2-\ldots-z_r^2=0 $,
$ 0<\frac{r}{2}\leq s\leq r\leq n $,

\ (AI$ _1 $)$ _{s,r} $ $ z_1^2+\ldots+z_s^2-z_{s+1}^2-\ldots-z_r^2+1=0 $,
$ 0\leq s\leq r\leq n $,

\ (AII)$ _{s,r} $ $ z_1^2+\ldots+z_s^2-z_{s+1}^2-\ldots-z_r^2+z_n=0 $,
$ 0<\frac{r}{2}\leq s\leq r<n $,

gdzie $ \ta_q(\xx)=[z_1,\ldots,z_n]^T $.

Dowód: Jak w dowodzie Twierdzenia [link], załóżmy, że $ f:\R^n\to\R $ jest funkcją kwadratową taką, że równanie $ f(X)=0 $ opisuje $ H $ w afinicznym układzie współrzędnych $ \si_p:E\to\R^n $.

Jeśli $ f $ ma środek symetrii $ X_0 $, to możemy założyć, że $ f $ przyjmuje w $ X_0 $ wartość $ 0 $ lub $ 1 $, bo jeśli $ f(X_0)\neq 0 $, to $ f $ można zastąpić przez $ \frac{1}{f(X_0)}f $.

Jeśli $ f $ zeruje się w swoim środku symetrii, lub też $ f $ nie ma środka symetrii, to zastępując w razie potrzeby $ f $ przez $ -f $, możemy założyć, że część kwadratowa $ Q $ funkcji $ f $ spełnia warunek $ s_+(Q)\geq s_-(Q) $. Dla $ s=s_+(Q) $ i $ r=\r(Q)=s_+(Q)+ s_-(Q) $ mamy wtedy $ r\leq 2s $, czyli $ \frac{r}{2}\leq s $.

Dla tak zmodyfikowanej funkcji kwadratowej $ f $, opisującej $ H $ w układzie $ \si_p $, istnieje izomorfizm afiniczny $ g:\R^n\to\R^n $ taki, że złożenie $ f\circ g $ jest dane jednym z wzorów (AI)$ _r $ lub (AII)$ _r $ z Twierdzenia [link]. Podobnie jak w dowodzie Twierdzenia [link], dostajemy stąd tezę przyjmując $ \ta_q=g^{-1}\circ \si_p $. □

Występujące w Twierdzeniu [link] równania będziemy nazywali równaniami kanonicznymi.

Równania (AI$ _1)_{r,r} $ (postaci $ z_1^2+\ldots+z_{r}^2+1=0 $) są sprzeczne, a równania (AI$ _0)_{r,r} $ (postaci $ z_1^2+\ldots+z_{r}^2=0 $) opisują podprzestrzenie afiniczne wymiaru $ n-r $ w $ E $ (zbiory rozwiązań układu równań $ z_1=\ldots=z_r=0 $).

Definicja (#) Niech $ E $ będzie przestrzenią afiniczną nad $ \R $. Mówimy, że $ H\subset E $ jest hiperpowierzchnią właściwą w $ E $, jeśli $ H $ jest hiperpowierzchnią stopnia $ 2 $, która nie jest podprzestrzenią afiniczną $ E $.

Z kolejnej uwagi wynika, że wszystkie pozostałe równania kanoniczne opisują hiperpowierzchnie właściwe.

Uwaga (#) Jeśli hiperpowierzchnia $ H $ stopnia $ 2 $ w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \R $ jest, w układzie współrzędnych $ \ta_q $ związanym z układem bazowym $ (q;\be_1,\ldots,\be_n) $ w $ E $, opisana jednym z równań kanonicznych, z wyłączeniem równań typu (AI$ _0)_{r,r} $ i (AI$ _1)_{r,r} $, to istnieje prosta $ L_0\subset E $ przecinająca $ H $ w dokładnie dwóch punktach.

Istotnie, dla każdego z takich równań kanonicznych możemy zdefiniować prostą $ L_0 $ w układzie współrzędnych $ \ta_q $ następująco:

- prosta $ z_r=1 $ i $ z_j=0 $ dla pozostałych $ j>2 $ ($ L_0=q+\be_r+\lin(\be_1) $)
dla równań (AI$ _0)_{s,r} $, $ s<r $,

- prosta $ z_j=0 $ dla $ j\neq r $ ($ L_0=q+\lin(\be_r) $)
dla równań (AI$ _1)_{s,r} $, $ s<r $,

- prosta $ z_{r+1}=-1 $ i $ z_j=0 $ dla pozostałych $ j>2 $ ($ L_0=q+(-\be_{r+1})+\lin(\be_{1}) $)
dla równań (AII)$ _{s,r} $.

Podamy teraz przykłady hiperpowierzchni właściwych w $ \R^n $ dla $ n=2,3 $ uwzględniając, dla każdego z typów równań kanonicznych, wskazane przez nas ograniczenia na indeksy $ s $ i $ r $:

(AI$ _0)_{s,r} $ - $ 0<\frac{r}{2}\leq s<r\leq n $,

(AI$ _1)_{s,r} $ - $ 0\leq s<r\leq n $,

(AII)$ _{s,r} $ - $ 0<\frac{r}{2}\leq s\leq r<n $.

Hiperpowierzchnie właściwe w $ \R^2 $ nazywamy krzywymi stopnia $ 2 $.

\[ \begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|r|l|} \hline grupa&r&s&równanie kanoniczne&krzywa\\ \hline\hline (AI_0)&2&1&z_1^2-z_{2}^2=0&para przecinających się prostych (z_1=\pm z_2)\\ \hline\hline (AI_1)&2&1&z_1^2-z_{2}^2+1=0&hiperbola\\ \hline -_{''}-&2&0&-z_1^2-z_{2}^2+1=0&elipsa\\ \hline -_{''}-&1&0&-z_1^2+1=0&para prostych równoległych (z_1=\pm 1)\\ \hline\hline (AII)&1&1&z_1^2+z_2=0&parabola\\ \hline \end{tabular} \end{center} \]

Hiperpowierzchnie właściwe w $ \R^3 $ nazywamy powierzchniami stopnia $ 2 $. W identyfikacji powierzchni pomaga analiza jej przekrojów płaszczyznami (na przykład takimi jak wskazane w tabeli).

TeX Embedding failed!

Klasyfikacja hiperpowierzchni właściwych

Jeśli hiperpowierzchnia $ H $ stopnia $ 2 $ w $ E $ jest podprzestrzenią afiniczną $ E $ wymiaru $ n-r $ opisaną w pewnym afinicznym układzie współrzędnych równaniem kanonicznym $ z_1^2+\ldots+z_r^2=0 $, to $ r>1 $ (bo $ H $ nie jest hiperpłaszczyzną) i $ H $ jest też opisana równaniem $ 2z_1^2+\ldots+z_r^2=0 $, które nie jest krotnością równania kanonicznego. Natomiast hiperpowierzchnia właściwa wyznacza swoje równanie z dokładnością do stałej.

Twierdzenie (#) Niech $ H $ będzie hiperpowierzchnią właściwą w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \R $. Jeśli $ f,f_\ast:\R^n\to\R $ są funkcjami kwadratowymi takimi, że równania $ f(X)=0 $ i $ f_\ast(X)=0 $ opisują $ H $ w tym samym afinicznym układzie współrzędnych w $ E $, to $ f_\ast=\la f $ dla pewnego $ \la\in\R $.

Dowód tego twierdzenia podamy w części [link] uzupełnień.

Stwierdzenie Hiperpowierzchnia właściwa w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \R $ wyznacza swoje równanie kanoniczne.
Dowód: Niech $ \si_p,\ta_q:E\to\R^n $ będą afinicznymi układami współrzędnych w $ E $, $ f,f_\ast:\R^n\to\R $ funkcjami kwadratowymi i załóżmy, że równanie $ f(X)=0 $ opisuje $ H $ w układzie $ \si_p $, a równanie $ f_\ast(Z)=0 $ jest kanoniczne i opisuje $ H $ w układzie $ \ta_q $. Pokażemy, że redukcja równania $ f(X)=0 $ prowadzi do równania kanonicznego takiego samego typu i z takimi samymi indeksami $ r,s $ jak równanie $ f_\ast(Z)=0 $.

Mamy $ \xx\in H \iff f\circ\si_p(\xx)=0 \iff f\circ\si_p\circ((\ta_q)^{-1}\circ\ta_q)(\xx)=0 $. Zatem równanie $ f\circ(\si_p\circ(\ta_q)^{-1})(Z)=0 $ opisuje hiperpowierzchnię $ H $ w układzie $ \ta_q $ i z Twierdzenia [link] istnieje $ \la\in\R $ takie, że $ f_\ast=\la f\circ(\si_p\circ(\ta_q)^{-1}) $. Zgodnie z Twierdzeniem [link], złożenie $ \si_p\circ(\ta_q)^{-1}:\R^n\to\R^n $

jest izomorfizmem afinicznym $ \R^n $, więc funkcje $ f_\ast $ oraz $ \la f $ są afinicznie równoważne i teza wynika z Uwagi [link]. □

Definicja Mówimy, że hiperpowierzchnie właściwe $ H,H' $ w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \R $ mają ten sam typ afiniczny, jeśli istnieje izomorfizm afiniczny $ g:E\to E $ taki, że $ g(H)=H' $.
Twierdzenie (#) Hiperpowierzchnie właściwe $ H,H' $ w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \R $ mają ten sam typ afiniczny wtedy i tylko wtedy, gdy wyznaczają to samo równanie kanoniczne.
Dowód: Niech $ g:E\to E $ będzie izomorfizmem afinicznym. Jeśli $ g(H) $ jest hiperpowierzchnią stopnia $ 2 $ opisaną w układzie $ \ta_q $ równaniem $ f(Z)=0 $, to $ \xx\in H \iff g(\xx)\in g(H)\iff f\circ\ta_q(g(\xx))=0 $, więc hiperpowierzchnia $ H $ jest opisana równaniem $ f(X)=0 $ w układzie $ \si_p=\ta_q\circ g $, zob.\ Twierdzenie [link].

Jeśli $ \si_p,\ta_q:E\to\R^n $ są afinicznymi układami współrzędnych w $ E $ takimi, że dla funkcji kwadratowej $ f:\R^n\to\R $ równanie $ f(X)=0 $ opisuje $ H $ w układzie $ \si_p $, a równanie $ f(Z)=0 $ opisuje $ H' $ w układzie $ \ta_q $, to $ \xx\in H \iff f\circ\si_p(\xx)=0 \iff f\circ(\ta_q\circ(\ta_q)^{-1})\circ\si_p(\xx)=0\iff f\circ\ta_q\circ((\ta_q)^{-1}\circ\si_p)(\xx)=0\iff (\ta_q)^{-1}\circ\si_p(\xx)\in H' $. Izomorfizm afiniczny $ (\ta_q)^{-1}\circ\si_p:E\to E $ przeprowadza więc $ H $ na $ H' $, zob.\ Twierdzenie [link]. □

Geometryczną własnością odróżniającą hiperpowierzchnie opisane równaniami typu (AI)$ _0 $, (AI)$ _1 $ od hiperpowierzchni opisanych równaniami typu (AII) jest istnienie środka symetrii hiperpowierzchni.

Definicja (#) Niech $ H $ będzie niepustym podzbiorem przestrzeni afinicznej $ E $. Punkt $ p\in E $ nazywamy środkiem symetrii zbioru $ H $ jeśli dla $ \al\in\p{E} $ warunki $ p+\al\in E $ i $ p+(-\al)\in E $ są równoważne.
Twierdzenie Niech $ H $ będzie hiperpowierzchnią właściwą w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \R $. Jeśli $ f:\R^n\to\R $ jest funkcją kwadratową taką, że równanie $ f(Y)=0 $ opisuje $ H $ w układzie współrzędnych $ \si_p:E\to \R^n $, to punkt $ q\in E $ jest środkiem symetrii $ H $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \si_p(q) $ jest środkiem symetrii funkcji $ f $.
Dowód: Ustalmy $ q\in E $, $ X_0=\si_p(q) $ i niech $ X=\si(\al) $ dla $ \al\in\p{E} $. Wtedy

$ \si_p(q+\al)=X_0+X $ \ \ oraz \ \ $ \si_p(q+(-\al))=X_0-X $.

Zatem $ q $ jest środkiem symetrii hiperpowierzchni $ H $, jeśli $ X_0 $ jest środkiem symetrii funkcji $ f $.

Załóżmy, że $ q $ jest środkiem symetrii $ H $ i niech $ g:\R^n\to\R^n $ będzie symetrią afiniczną $ \R^n $ względem $ X_0 $, tzn.\ $ g(X_0+X)=X_0-X $. Złożenie $ f_\ast=f\circ g:\R^n\to\R $ jest funkcją kwadratową taką, że równanie $ f_\ast(Y)=0 $ opisuje $ H $ w układzie $ \si_p $, bo $ q+\al\in H \iff q-\al\in H\iff f(X_0-X)=0\iff f_\ast(X_0+X)=0 $.

Z Twierdzenia [link] istnieje $ \la\in\R $ takie, że $ f=\la f_\ast $, czyli $ f(X_0+X)=\la f(X_0-X) $ dla $ X\in\R^n $ i pozostaje wykazać, że $ \la=1 $. Jeśli funkcja $ f $ jest dana wzorem $ (\ast) $ z Definicji [link], to rachując jak w Uwadze [link], dostajemy $ X^TAX+(2X_0^TA+B^T)X+c'= (-X)^T\la A(-X)+\la(2X_0^TA+B^T)(-X)+\la c' $, a ponieważ $ f $ wyznacza swoją część kwadratową, $ A=\la A $ i z $ A\neq\0 $ wnioskujemy, że $ \la=1 $. □

Stwierdzenie Niech $ H $ będzie hiperpowierzchnią właściwą w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \R $.

  • [(I)$ _0 $] Jeśli $ H $ jest opisana równaniem kanonicznym typu $ (AI)_0 $, to $ H $ ma środek symetrii i zawiera wszystkie swoje środki symetrii.

  • [(I)$ _1 $] Jeśli $ H $ jest opisana równaniem kanonicznym typu $ (AI)_1 $, to $ H $ ma środek symetrii i nie zawiera żadnego swojego środka symetrii.
  • [(II)] Jeśli $ H $ jest opisana równaniem kanonicznym typu $ (AII) $, to $ H $ nie ma środków symetrii.

Na zakończenie tej części podamy kilka uwag dotyczących hiperpowierzchni właściwych w przestrzeni euklidesowej $ E $.

Podobnie jak w Twierdzeniu [link], dowodzi się, że każda taka hiperpowierzchnia jest opisana w pewnym prostokątnym układzie współrzędnych $ \ta_q $ równaniem $ f(Z)=0 $, gdzie $ f $ jest jedną z funkcji występujących w Twierdzeniu [link]. Z Twierdzenia [link] wynika, że takie równanie jest wyznaczone z dokładnością do stałej $ \la\in\R $.

Uznając dwa takie proporcjonalne równania za równoważne, dowodzi się, podobnie jak w Twierdzeniu [link], następujące twierdzenie.

Twierdzenie (#) Hiperpowierzchnie właściwe $ H,H' $ w przestrzeni euklidesowej $ E $ są izometryczne wtedy i tylko wtedy, gdy w pewnych prostokątnych układach współrzędnych są opisane równoważnymi równaniami.