Afiniczne przestrzenie euklidesowe

Definicja (#) Przestrzeń afiniczną $ (E,(\s{E},\is{\ }{\,}),\ka) $ nad $ \R $, gdzie w skończenie wymiarowej przestrzeni wektorów swobodnych $ \s{E} $ nad $ E $ ustalony jest iloczyn skalarny $ \is{\ }{\,} $, będziemy nazywali afiniczną przestrzenią euklidesową.

W dalszym ciągu będziemy mówili po prostu o przestrzeni euklidesowej $ E $, jeśli jasne jest jaki iloczyn skalarny został ustalony w $ \s{E} $.

Definicja Odległość między punktami przestrzeni euklidesowej określamy wzorem $ d(p,q)=||\ve{pq}|| $, gdzie $ ||\ve{pq}||=\sqrt{\is{\ve{pq}}{\ve{pq}}} $ jest normą wektora swobodnego $ \ve{pq} $ w $ (\s{E},\is{\ }{\,}) $.
Przykład W przestrzeni euklidesowej $ \ee $, gdzie w przestrzeni wektorów swobodnych $ \R^n $ ustalony jest iloczyn skalarny $ \is{X}{Y}=X^TY $, odległość między punktami $ p=(x_1,\ldots,x_n) $, $ q=(y_1,\ldots,y_n) $ jest określona wzorem $ d(p,q)=\sqrt{\sum_{j=1}^n(y_j-x_j)^2} $.
Definicja Rzutem ortogonalnym przestrzeni euklidesowej $ E $ na podprzestrzeń afiniczną $ p+W\subset E $ nazywamy przekształcenie afiniczne $ f:E\to E $ dane wzorem $ f(p+\al)=p+P(\al) $, gdzie $ P:\s{E}\to W $ jest rzutem ortogonalnym $ \s{E} $ na $ W $. Symetrią ortogonalną $ E $ względem $ p+W $ nazywamy przekształcenie afiniczne $ g:E\to E $ określone wzorem $ g(p+\al)=p+\p{g}(\al) $, gdzie $ \p{g} $ jest symetrią ortogonalną $ \s{E} $ względem $ W $.

Niech $ f:E\to E $ będzie rzutem ortogonalnym przestrzeni euklidesowej $ E $ na podprzestrzeń $ p+ W $. Zgodnie z Uwagą [link], rzut ortogonalny $ r=f(q) $ punktu $ q $ jest jedynym punktem $ p+W $ spełniającym warunek $ d(r,q)=\inf\set{d(\xx,q):\xx\in p+W} $.

Minimalna odległość $ d(r,q) $ punktu $ q $ od $ p+W $ jest normą rzutu ortogonalnego wektora $ \ve{pq} $ na dopełnienie ortogonalne $ W^\perp $ podprzestrzeni $ W $ w $ \s{E} $, nazywamy ją odległością punktu $ q $ od podprzestrzeni $ p+W $.

Jeśli $ U $ i $ W $ są podprzestrzeniami $ \s{E} $, $ p,q\in E $, to kres dolny odległości między punktami podprzestrzeni $ q+U $ i $ p+W $, $ \inf\{d(p+\be,q+\ga):\be\in W,\ga\in U\}= \inf\{d(p+\be-\ga,q):\be\in W, \ga\in U\} $ jest odległością punktu $ q $ od podprzestrzeni $ p+(W+U) $ równą normie rzutu wektora $ \ve{pq} $ na podprzestrzeń $ (W+U)^\perp $ - jest to odległość między podprzestrzeniami $ q+U $ i $ p+W $ przestrzeni $ E $.

Definicja Afiniczny układ współrzędnych $ \si_p:E\to\R^n $ w przestrzeni euklidesowej $ E $ nazywamy prostokątnym, jeśli $ \si:\s{E}\to\R^n $ jest prostokątnym układem współrzędnych w $ \s{E} $.