Baza i wymiar

Wyróżnienie $ n $-elementowej bazy w przestrzeni liniowej $ V $ nad ciałem $ \K $ pozwala przypisać każdemu wektorowi $ \al\in V $ wektor z $ \K^n $ (wektor współrzędnych $ \al $ w tej bazie) z zachowaniem operacji dodawania i mnożenia przez skalary.

Definicja (#) Układ wektorów $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ w przestrzeni liniowej $ V $ nad ciałem $ \K $ nazywamy bazą $ V $ jeśli układ $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ jest liniowo niezależny i rozpina $ V $.
Uwaga (#) Jeśli układ $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ jest bazą $ V $, to zgodnie z Uwagą [link], każdy wektor $ \al\in V $ daje się przedstawić jako kombinacja liniowa $ \al=a_1\al_1+\ldots+a_n\al_n $ w dokładnie jeden sposób. Współczynniki tej kombinacji nazywamy współrzędnymi wektora $ \al $ w bazie $ (\al_1,\ldots,\al_n) $. % i zapisując je w kolumnie, interpretujemy jako wektor z $ \K^n $. Dla $ \al,\be\in V $ i $ c\in\K $ współrzędne $ \al+\be $ są sumą współrzędnych tych wektorów w $ \K^n $, a współrzędne $ c\al $ są iloczynem współrzędnych $ \al $ przez skalar $ c $, zob.\ dowód [link].\ \

Przykład (#)

  • [(a)] W przestrzeni $ \K^m $ połóżmy $ \ep_1=\mk{c}{1\\0\\\vdots\\0} $, $ \ep_2=\mk{c}{0\\1\\\vdots\\0} $, \ldots, $ \ep_m=\mk{c}{0\\0\\\vdots\\1} $.

    Układ $ (\ep_1,\ep_2,\ldots,\ep_m) $ jest bazą przestrzeni $ \K^m $. Współrzędne wektora $ X\in\K^m $ są identyczne ze współrzędnymi $ X $ w tej bazie. Bazę $ (\ep_1,\ep_2,\ldots,\ep_m) $ nazywamy bazą standardową $ \K^m $.

  • [(b)] W $ \M{2}{2}{\K} $ połóżmy $ E_{11}=\mk{cc}{1&0\\0&0}, E_{21}=\mk{cc}{0&0\\1&0}, E_{12}=\mk{cc}{0&1\\0&0}, E_{22}=\mk{cc}{0&0\\0&1} $.

    Układ $ (E_{11},E_{21},E_{12},E_{22}) $ jest bazą przestrzeni $ \M{2}{2}{\K} $. Współrzędne macierzy $ A\in\M{2}{2}{\K} $ w tej bazie są wyrazami tej macierzy w porządku, w jakim ustawiliśmy macierze $ E_{ij} $.

    Analogicznie w przestrzeni macierzy $ \M{m}{n}{\K} $ definiuje się bazę mającą $ m\cdot n $ elementów $ E_{kl}\in\M{m}{n}{\K} $, gdzie $ E_{kl} $ jest macierzą mającą na miejscu $ k,l $ jedynkę i wszystkie pozostałe wyrazy zerowe.

  • [(c)] Układ jednomianów $ (x^0,x^1,\ldots,x^n) $ tworzy bazę podprzestrzeni $ \K_n[x] $ wielomianów stopnia $ \leq n $ przestrzeni $ \K[x] $. Współrzędne wielomianu $ w(x) $ w tej bazie są współczynnikami tego wielomianu.% (poczynając od wyrazu wolnego).
Uwaga (#) Układ $ (A_1,\ldots A_n) $ w $ \K^m $ wyznacza macierz $ A=[A_1,\ldots A_n]\in\M{m}{n}{\K} $. Jeśli w wyniku redukcji $ A $ do postaci schodkowej otrzymujemy macierz $ A' $ mającą schodki w kolumnach o numerach $ j_1,\ldots,j_r $, to układ $ (A_{j_1},\ldots A_{j_r}) $ jest bazą $ V=\lin(A_1,\ldots A_n) $, bo dla każdego $ B\in\K^m $ takiego, że układ $ AX=B $ jest niesprzeczny, równanie $ x_{j_1}A_{j_1}+\ldots +x_{j_r}A_{j_r}=B $ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

W szczególności dla $ n=m $ układ $ (A_1,\ldots,A_n) $ w $ \K^n $ jest bazą $ \K^n $ wtedy i tyko wtedy, gdy macierz zredukowana $ A' $ ma $ n $ schodków (w każdej kolumnie i w każdym wierszu).

Bazę $ (A_{j_1},\ldots A_{j_r}) $ przestrzeni $ \lin(A_1,\ldots A_n)\subset \K^m $ otrzymujemy wybierając z układu rozpinającego wektory, które nie są kombinacjami poprzednich, zob.\ Uwaga [link]. Tak samo można postępować w przypadku ogólnym.

Twierdzenie (#){\em\bf (o istnieniu bazy).} Jeśli z układu wektorów $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ rozpinającego przestrzeń $ V $ wybierzemy wszystkie wektory $ \al_j $ takie, że $ \al_j\not\in\lin(\al_i)_{i<j} $, to otrzymamy bazę $ (\al_{j_1},\ldots,\al_{j_r}) $ przestrzeni $ V $.
Dowód: Z Twierdzenia [link] $ (iii) $ układ $ (\al_{j_1},\ldots,\al_{j_r}) $ jest lniowo niezależny. Niech $ W=\lin(\al_{j_1},\ldots,\al_{j_r}) $. Pokażemy, że $ (\al_{j_1},\ldots,\al_{j_r}) $ rozpina $ V $, czyli $ W=V $. W tym celu wystarczy wykazać, że $ \al_i\in W $ dla $ i\leq n $.

Gdyby nie wszystkie $ v_i $ należały do $ W $, to dla $ j=\min\set{i\leq n: \al_i\not\in W} $ mielibyśmy $ \lin(\al_i)_{i<j}\subset W $ oraz $ \al_j\not\in W $. Zatem $ \al_j\not\in\lin(\al_i)_{i<j} $, więc $ \al_j $ byłby w $ W $ jako jeden z wybranych wektorów, co przeczy wyborowi $ j $. □

Z Twierdzenia [link] wynika.

Twierdzenie (#) {\em\bf (o rozszerzaniu układu liniowo niezależnego do bazy).} Jeśli układ wektorów $ (\al_1,\ldots,\al_k) $ w przestrzeni liniowej $ V $ jest liniowo niezależny, a układ $ (\be_1,\ldots,\be_m) $ rozpina $ V $, to układ $ (\al_1,\ldots,\al_k) $ można rozszerzyć do bazy $ V $ wektorami z układu $ (\be_1,\ldots,\be_m) $.
Dowód: Układ $ (\al_1,\ldots,\al_k,\be_1,\ldots,\be_m) $ rozpina $ V $. Usuwając z tego układu wszystkie wektory będące kombinacjami poprzednich otrzymamy, zgodnie z Twierdzeniem [link], bazę przestrzeni $ V $, a z Twierdzenia [link] $ (iii) $ wynika, że nie usuniemy żadnego z wektorów $ \al_j $. □

Zastosowane w tym dowodzie rozumowanie wykorzystamy też w dowodzie kolejnego twierdzenia, które pozwoli na określenie wymiaru przestrzeni liniowej.

Twierdzenie (#) {\em\bf (Steinitza o wymianie).} Jeśli układ wektorów $ (\al_1,\ldots,\al_k) $ w przestrzeni liniowej $ V $ jest liniowo niezależny, a układ $ (\be_1,\ldots,\be_m) $ rozpina $ V $, to $ k\leq m $ oraz istnieją parami różne indeksy $ i_1,\ldots,i_k\leq m $ takie, że układ otrzymany z $ (\al_1,\ldots,\al_k,\be_1,\ldots,\be_m) $ przez usunięcie wektorów $ \be_{i_1},\ldots,\be_{i_k} $ rozpina $ V $.
Dowód: Nierówność $ k\leq m $ wynika z drugiej części tezy, którą udowodnimy przez indukcję ze względu na $ j\leq k $ dopisując na początku układu $ (\be_1,\ldots,\be_m) $ kolejno wektory $ \al_j $ i usuwając, za każdym razem, wektor $ \be_{i_j} $ tak, by układ otrzymany po $ j $ wymianach pozostawał układem rozpinającym $ V $.

W kroku indukcyjnym dodajemy do układu rozpinającego kolejny wektor $ \al_j $, bezpośrednio po wektorze $ \al_{j-1} $ (na początku, gdy $ j=1 $). Z warunku $ (ii) $ Twierdzenia [link] dostajemy układ liniowo zależny, a z warunku $ (iii) $ tego twierdzenia jeden z pozostających w naszym układzie wektorów $ \be_{i_j} $ jest kombinacją poprzednich, więc po jego usunięciu otrzymamy układ rozpinający $ V $. □

Przestrzeń liniowa może mieć wiele baz (zob.\ Uwaga [link]). Jednakże z pierwszej części tezy Twierdzenia Steinitza wynika, że w przestrzeni $ V $ z bazą mającą $ n $ wektorów, każdy układ liniowo niezależny ma $ k\leq n $ wektorów, a każdy układ rozpinający ma $ m\geq n $ wektorów. Tak więc, wszystkie bazy w $ V $ mają tyle samo elementów.

Definicja (#) Wymiarem przestrzeni liniowej $ V $ mającej bazę skończoną nazywamy liczbę wektorów tej bazy, którą oznaczamy $ \dim V $ $ (\dim\set{\0}=0) $. Jeśli $ V $ nie ma bazy skończonej, mówimy, że wymiar $ V $ jest \mbox{nieskończony}.

Przykład (#) Z Przykładu [link] dostajemy

  • [(a)] $ \dim\K^m=m $,
  • [(b)] $ \dim\M{m}{n}{\K}=mn $,
  • [(c)] $ \dim \K_n[x]=n+1 $.
Uwaga (#) Jeśli $ W $ jest podprzestrzenią przestrzeni $ V $ mającej skończony wymiar, to z Twierdzenia Steinitza $ \dim W\leq\dim V $. Co więcej, z $ \dim W=\dim V $ wynika, że $ W=V $, bo gdyby $  W \neq V $, to bazę $ W $ można by było istotnie rozszerzyć do bazy $ V $, zob.\ Twierdzenie [link].

Odnotujmy jednak, że przestrzenie wymiaru nieskończonego, na przykład $ \K[x] $, mogą zawierać właściwe podprzestrzenie wymiaru nieskończonego. W dalszej części, jeśli nie powiemy wyraźnie inaczej, będziemy zakładać, że wszystkie rozważane przestrzenie mają wymiar skończony.