Ciała

Własności dodawania i mnożenia w $ \R $ i w $ \c $ zebrane w Uwadze [link], stanowią punkt wyjścia definicji ciała.

Definicja (#) Zbiór $ K $ z dwoma ustalonymi elementami: $ 0,1 $ $ (\,0\neq 1) $ oraz dwoma działaniami: dodawania ``$ + $'' i mnożenia ``$ \cdot $'' nazywamy ciałem jeśli dla dowolnych $ a,b,c\in K $ spełnione są warunki $ ( $dziewięć aksjomatów ciała$ ) $

\[ \begin{tabular}{l[1cm]lllll} $(1)$& przemienność  &&\quad$\ a+b=b+ a$,&&$\ a\cdot b= b\cdot a$;\\ $(2)$& łączność &&\quad$(a+b)+c=a+(b+c)$, && $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$;\\ $(3)$& elementy neutralne &&\quad$0$ dla dodawania: $a+0=a$,&& $1$ dla mnożenia: $1\cdot a=a$;\\ $(4)$&istnienie elementu &&\quad przeciwnego $a'$: $a+ a'=0$,&& odwrotnego $a^*$, dla $a\neq 0$: $a\cdot a^*=1$;\\ $(5)$&rozdzielność&&  mnożenia względem dodawania&& $a\cdot (b+c)=a\cdot b+ a\cdot c$. \end{tabular} \]

Dla podkreślenia, że ciało to zbiór z wyróżnionymi zerem i jedynką oraz z ustalonymi działaniami, będziemy pisać $ \K $ zamiast $ K $.

Równanie $ x+a=b $ ma w ciele $ \K $ dokładnie jedno rozwiązanie, bo dodając do obu stron tego równania $ a' $ - ustalony element przeciwny do $ a $ otrzymujemy, po uporządkowaniu równoważne równanie $ x=b+a' $.

W szczególności wynika stąd, że $ 0 $ i element przeciwny do $ a $ (oznaczany przez $ -a $) są wyznaczone jednoznacznie. Analogiczne rozumowanie dla równania $ x\cdot a=b $, gdzie $ a\neq 0 $, pokazuje że $ 1 $ i element odwrotny do $ a $ (oznaczany przez $ a^{-1} $) są wyznaczone jednoznacznie. Ułamek $ \frac{b}{a} $ oznacza iloczyn $ b\cdot a^{-1} $.

Wszystko, co powiedzieliśmy w pierwszym rozdziale o układach równań liniowych o współczynnikach z ciała liczb rzeczywistych przenosi się bez zmian na układy o współczynnikach z dowolnego ciała, tzn.\ na układy postaci $ AX=B $, gdzie $ A\in\M{m}{n}{\K}, B\in\K^m $.

W dowolnym ciele prawdziwe są dobrze znane własności działań w $ \R $ (będziemy pisać $ ab $ zamiast $ a\cdot b $).

Uwaga (#) Dla dowolnych $ a,b\in\K $:

  • [a)] $ a0=0 $ (bo do obu stron $ a0+a0=a(0+0)=a0 $ można dodać $ -(a0) $).
  • [b)] $ ab=0 $, to $ a= 0 $ lub $ b=0 $ (bo $ a\neq 0 $, to obie strony można pomnożyć przez $ a^{-1} $).
  • [c)] $ (-1)a=-a $ (bo $ a+(-1)a=(1+(-1))a=0a=0 $).