Ciała $\mathbb{Z}_p$

Ważne przykłady ciał, które określimy w tej części są, w odróżnieniu od ciała liczb rzeczywistych $ \R $, ciała liczb wymiernych $ \Q $ i ciała liczb zespolonych $ \c $ - ciałami skończonymi.

Niech $ p $ będzie liczbą pierwszą i niech $ \om=\cos\frac{2\pi}{p}+i\sin\frac{2\pi}{p} $ będzie pierwiastkiem stopnia $ p $ z jedności. Wszystkie potęgi $ \om^n $ są również pierwiastkami stopnia $ p $ z jedności. Zbiór $ \Z_p=\set{\om^0,\om^1,\ldots,\om^{p-1}} $ wszystkich pierwiastków stopnia $ p $ z jedności jest więc zamknięty ze względu na działania

$$\om^k\oplus\om^l=\om^{k+l}\,; \om^k\odot\om^l=\om^{kl}.$$
Twierdzenie $ \Z_p $ z ustalonym elementem zerowym $ \0=\om^0 $, jedynką $ \textbf{1}=\om^1 $ oraz działaniami dodawania $ \oplus $ i mnożenia $ \odot $ jest ciałem.
Dowód: Elementem przeciwnym do $ \om^k\in\Z_p $ jest $ \om^{p-k} $, bo $ \om^k+\om^{p-k}=\om^p=\0 $. Jeśli $ \om^k\in\Z_p\setminus\set{0} $, to z Lematu [link] dla $ n=p $ istnieją $ l, t $ takie, że $ 1=lk+tp $. Elementem odwrotnym do $ \om^k\neq\0 $ jest wtedy $ \om^l $, bo $ \textbf{1}=\om^1=\om^{lk}\om^{tp}= \om^{lk}= \om^{k}\odot\om^{l} $. Pozostałe aksjomaty wynikają z odpowiednich własności dodawania i mnożenia liczb naturalnych. □