Definicja i podstawowe własności

W tej części podamy dowód twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności wyznacznika.

Twierdzenie (#) Istnieje dokładnie jedna funkcja $ \det:\M{n}{n}{\K}\to\K $ $ ( $zwana wyznacznikiem$ ) $ taka, że

  • [(1)] $ \det \mk{c}{w_1\\\vdots\\cw_k\\\vdots\\w_n}=c\det \mk{c}{w_1\\\vdots\\w_k\\\vdots\\w_n} $ dla $ c\in\K $ $ ( $jednorodność względem $ k $-tego wiersza, $ k=1,\ldots,n) $,
  • [(2)] $ \det \mk{c}{w_1\\\vdots\\w_k'+w_k''\\\vdots\\w_n}=\det \mk{c}{w_1\\\vdots\\w'_k\\\vdots\\w_n}+\det \mk{c}{w_1\\\vdots\\w''_k\\\vdots\\w_n} $ $ ( $addytywność względem $ k $-tego wiersza, $ k=1,\ldots,n) $,
  • [(3)] $ \det A=0 $ jeśli $ A $ ma dwa sąsiednie wiersze równe.
  • [(4)] $ \det I_n=1 $.
Definicja (#)

Wartość $ \det A $ funkcji $ \det $ na macierzy $ A\in\M{n}{n}{\K} $ nazywamy wyznacznikiem $ A $.

Dowód przeprowadzimy określając najpierw indukcyjnie funkcję spełniającą warunki (1)-(4), a następnie upewniając się, że te warunki określają funkcję $ \det $ jednoznacznie.

Zaczniemy od uwagi pokazującej, że warunek (3) można wzmocnić żądając by wyznacznik zerował się na macierzach mających dwa równe wiersze. W definicji wyznacznika często podaje się taką mocniejszą wersję warunku (3). Użycie w [link] słabszej wersji (3) upraszcza dowód istnienia funkcji $ \det $.

Uwaga (#) Niech $ \det:\M{n}{n}{\K}\to\K $ spełnia warunki (1)-(4) i $ A\in\M{n}{n}{\K} $.

  • [(a)] Ustalmy $ k<l\leq n $. Jeśli $ \det C=0 $ dla macierzy $ C $ takich, że $ k $-ty wiersz $ C $ jest równy $ l $-temu i $ B\in\M{n}{n}{\K} $ powstaje z $ A $ w wyniku zamiany miejscami wiersza $ k $-tego z $ l $-tym, to $ \det B = -\det A $.
  • [(b)] $ \det C=0 $ jeśli $ C $ ma dwa wiersze równe.

Uzasadnimy (a). Niech $ w_k $ i $ w_l $ będą $ k $-tym oraz $ l $-tym wierszem macierzy $ A $. Rozpatrzmy macierze $ C' $, $ C'' $ i $ C''' $, mające $ k $-ty oraz $ l $-ty wiersz równy odpowiednio $ w_k+w_l $, $ w_k $ i $ w_l $, a pozostałe wiersze identyczne z wierszami $ A $. W (a) zakładamy, że wyznaczniki tych macierzy się zerują, a z (2) dla wierszy $ k $ i $ l $ mamy $ \det C' = \det C'' +\det A+\det B +\det C''' $, czyli $ \det A+\det B=0 $, co dowodzi (a).

Z (3) wynika, że założenie w (a) jest spełnione dla $ l=k+1 $. Oznacza to, że przestawienie dwóch sąsiednich wierszy zmienia znak wyznacznika. Jeśli $ C $ ma dwa wiersze równe, to kilkakrotnie zamieniając dwa sąsiednie wiersze miejscami możemy przekształcić $ C $ w macierz $ A $ mającą dwa sąsiednie wiersze równe. Z (3) mamy więc $ \det C=\pm\det A=0 $.

Istnienie funkcji $ \det $.\\ Załóżmy, że istnieje funkcja $ \det:\M{(n-1)}{(n-1)}{\K}\to\K $ spełniająca (1)-(4) (dla $ n=1 $ przyjmujemy $ \det[a]=a $).

Dla macierzy $ A=[a_{ij}]\in\M{n}{n}{\K} $ oznaczmy przez $ \MI{A}{ij} $ macierz z $ \M{(n-1)}{(n-1)}{\K} $ otrzymaną z $ A $ przez skreślenie $ i $-tego wiersza i $ j $-tej kolumny oraz przyjmijmy

$ d_j (A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det \MI{A}{ij}, $

Ustalmy $ j=1,\ldots,n $. Pokażemy, że $ d_j $ spełnia warunki (1)-(4) na macierzach z $ \M{n}{n}{\K} $ (po upewnieniu się, że (1)-(4) określają wyznacznik jednoznacznie, będziemy także wiedzieć, że $ d_j(A) $ nie zależy od $ j $).

Istotnie, jednorodność i addytywność za względu na $ k $-ty wiersz każdego składnika $ (-1)^{i+j}a_{ij}\det \MI{A}{ij} $ wynikają z założenia indukcyjnego dla $ i\neq k $, a jeśli $ i=k $, to własności te wynikają z faktu, że zmiana $ k $-tego wiersza nie zmienia $ \det \MI{A}{kj} $, a jedynie $ a_{kj} $.

Dla sprawdzenia własności (3) załóżmy, że $ k $-ty i $ (k+1) $-szy wiersz macierzy $ A $ są identyczne. Z założenia indukcyjnego zerują się wtedy wszystkie $ \det\MI{A}{ij} $ dla $ i\not\in\set{k,k+1} $, więc

$$d_j(A)=(-1)^{k+j}a_{kj} \det \MI{A}{kj}+(-1)^{(k+1)+j}a_{k+1\,j}\det \MI{A}{k+1\,j}=0,$$

a ponieważ macierze $ \MI{A}{kj} $ i $ \MI{A}{k+1\,j} $ są identyczne, mamy $ d_j(A)=0 $.

\m Własność (4) wynika z równości $ d_j (I_n)=(-1)^{j+j}\det \MI{({I_n})}{jj}=\det I_{n-1}=1 $.

Jednoznaczność funkcji $ \det $ na macierzach elementarnych.

Niech $ B $ będzie macierzą otrzymaną z macierzy $ A $ w wyniku operacji elementarnej na wierszach. Zbadamy zależność między $ \det A $ i $ \det B $.

Warunek (1) oznacza, że $ \det B=c\det A $ dla operacji mnożącej $ k $-ty wiersz przez $ c\neq 0 $.

Z Uwagi [link] wynika, że $ \det B=-\det A $ dla operacji zamieniającej dwa wiersze miejscami.

Pokażemy, że $ \det B=\det A $ dla operacji dodającej do $ k $-tego wiersza $ w_k $ macierzy $ A $ $ i $-ty wiersz $ w_i $ tej macierzy pomnożony przez skalar $ a $. Istotnie, z (2) i (1) wynika, że $ \det B=\det A+a\det C $, gdzie $ C $ jest macierzą mającą $ k $-ty i $ i $-ty wiersz równy $ w_i $, więc $ \det C=0 $.

Przypomnijmy, że wykonanie operacji elementarnej na wierszach $ A $ daje iloczyn $ MA $, gdzie $ M $ jest odpowiednią macierz elementarną, zob.\ Uwaga [link]. Dla macierzy $ A\in\M{n}{n}{\K} $ i macierzy elementarnej $ M\in\M{n}{n}{\K} $ mamy więc

$ (\ast) $ $ \det MA=\left\{\begin{array}{rrl} \det A &\mbox{dla } M & \mbox{dodającej do wiersza inny wiersz pomnożony przez skalar,}\\ -\det A&\mbox{dla } M & \mbox{zamieniającej dwa wiersze miejscami},\\ c\det A &\mbox{dla } M & \mbox{mnożącej wiersz przez } c\neq 0. \end{array}\right. $

\m Zastępując $ A $ przez $ I_n $, z warunku ($ 4 $) dostajemy

$ \det M\ =\ \left\{\begin{array}{rrl} 1 &\mbox{dla } M & \mbox{dodającej do wiersza inny wiersz pomnożony przez skalar,}\\ -1&\mbox{dla } M & \mbox{zamieniającej dwa wiersze miejscami},\\ c &\mbox{dla } M & \mbox{mnożącej wiersz przez } c\neq 0,</p>
<p>\end{array}\right. $

czyli $ \det MA=\det M\det A $ dla dowolnej macierzy $ A $ i macierzy elementarnej $ M $.

Jednoznaczność funkcji $ \det $.

Jeśli $ M_1,\ldots,M_p\in\M{n}{n}{\K} $ są macierzami elementarnymi, to z wzoru $ \det MA=\det M\det A $ wynika (przez indukcję ze względu na $ p $), że $ \det (M_p\ldots M_1B)=\det M_p\ldots\det M_1 \det B $ dla $ B\in\M{n}{n}{\K} $.

Dla odwracalnej macierzy $ A $ wartość $ \det A $ jest jednoznacznie wyznaczona i $ \det A\neq 0 $ (bo z Wniosku [link] $ A $ rozkłada się na iloczyn $ A=M_p\ldots M_1 $ macierzy elementarnych i przyjmując $ B=I_n $ dostajemy $ \det A=\det M_p\ldots\det M_1 $). Ponadto, $ \det AB=\det A\det B $ (bo $ \det AB =\det (M_p\ldots M_1B)=\det M_p\ldots\det M_1 \det B=\det A\det B $).

Dla macierzy $ A $, która nie jest odwracalna, $ \det A=0 $ (bo jeśli $ M $ jest iloczynem macierzy elementarnych odpowiadających operacjom redukującym $ A $ do postaci schodkowej, to ostatni wiersz $ MA $ jest zerowy i z (1) dla $ k=n $, $ c=0 $ mamy $ \det(MA)=0 $, ale $ \det (MA)=\det M\det A $ i $ \det M\neq 0 $, bo $ M $ jest odwracalna).

Wykazaliśmy więc jednoznaczność i zakończyliśmy dowód Twierdzenia [link]. $ \ep $

Uwaga (#)

  • [(a)] $ \det A\neq 0 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ A $ jest odwracalna\\ (pokazaliśmy to w dowodzie jednoznaczności).
  • [(b)] (Twierdzenie Cauchy'ego) $ \det AB=\det A\det B $ dla $ A,B\in\M{n}{n}{\K} $\\ (pokazaliśmy to dla $ A $ odwracalnej; w przeciwnym przypadku $ \det AB=0=\det A\det B $).
  • [(c)] Jeśli macierz $ A $ jest odwracalna, to $ \det (A^{-1})=(\det A)^{-1} $\\ (bo $ 1=\det I_n =\det(A\cdot A^{-1})= \det A\cdot\det (A^{-1}) $).