Endomorfizmy przestrzeni euklidesowych

W tym rozdziale omówimy dwie ważne klasy endomorfizmów $\vp:V\to V$ liniowych przestrzeni euklidesowych $(V,\is{\ }{\,})$ - endomorfizmy samosprzężone (tzn.\ takie, że $\is{\al}{\vp(\be)}=\is{\vp(\al)}{\be}$ ) oraz izometrie liniowe (spełniające warunek $\is{\al}{\be}=\is{\vp(\al)}{\vp(\be)}$ ).

Głównymi wynikami są dwa twierdzenia, z których pierwsze mówi, że endomorfizmy samosprzężone mają w pewnym prostokątnym układzie współrzędnych macierz diagonalną, a drugie, że izometrie liniowe mają w pewnym prostokątnym układzie współrzędnych macierz mającą na przekątnej albo $\pm 1$ , albo też macierze obrotu płaszczyzny

$\mk{rr}{\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta}$ .

Oba te fakty można wyprowadzić z zasadniczego twierdzenia algebry, przy czym macierz obrotu o kąt $\theta$ odpowiada zespolonej wartości własnej $\la=\cos\theta+i\sin\theta$ izometrii liniowej. Takie uzasadnienie naszkicujemy w części [link] uzupełnień.

Warto też jednak pokazać dowody tych twierdzeń nie wychodzące poza dziedzinę rzeczywistą i to podejście przedstawimy poniżej.