W tym rozdziale omówimy dwie ważne klasy endomorfizmów liniowych przestrzeni euklidesowych
- endomorfizmy samosprzężone (tzn.\ takie, że
) oraz izometrie liniowe (spełniające warunek
).
Głównymi wynikami są dwa twierdzenia, z których pierwsze mówi, że endomorfizmy samosprzężone mają w pewnym prostokątnym układzie współrzędnych macierz diagonalną, a drugie, że izometrie liniowe mają w pewnym prostokątnym układzie współrzędnych macierz mającą na przekątnej albo , albo też macierze obrotu płaszczyzny
.
Oba te fakty można wyprowadzić z zasadniczego twierdzenia algebry, przy czym macierz obrotu o kąt odpowiada zespolonej wartości własnej
izometrii liniowej. Takie uzasadnienie naszkicujemy w części [link] uzupełnień.
Warto też jednak pokazać dowody tych twierdzeń nie wychodzące poza dziedzinę rzeczywistą i to podejście przedstawimy poniżej.