Endomorfizmy przestrzeni euklidesowych

W tym rozdziale omówimy dwie ważne klasy endomorfizmów $ \vp:V\to V $ liniowych przestrzeni euklidesowych $ (V,\is{\ }{\,}) $ - endomorfizmy samosprzężone (tzn.\ takie, że $ \is{\al}{\vp(\be)}=\is{\vp(\al)}{\be} $) oraz izometrie liniowe (spełniające warunek $ \is{\al}{\be}=\is{\vp(\al)}{\vp(\be)} $).

Głównymi wynikami są dwa twierdzenia, z których pierwsze mówi, że endomorfizmy samosprzężone mają w pewnym prostokątnym układzie współrzędnych macierz diagonalną, a drugie, że izometrie liniowe mają w pewnym prostokątnym układzie współrzędnych macierz mającą na przekątnej albo $ \pm 1 $, albo też macierze obrotu płaszczyzny

$ \mk{rr}{\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta} $.

Oba te fakty można wyprowadzić z zasadniczego twierdzenia algebry, przy czym macierz obrotu o kąt $ \theta $ odpowiada zespolonej wartości własnej $ \la=\cos\theta+i\sin\theta $ izometrii liniowej. Takie uzasadnienie naszkicujemy w części [link] uzupełnień.

Warto też jednak pokazać dowody tych twierdzeń nie wychodzące poza dziedzinę rzeczywistą i to podejście przedstawimy poniżej.