Endomorfizmy samosprzężone

Definicja Endomorfizm $ \vp:V\to V $ liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ jest samosprzężony, jeśli $ \is{\al}{\vp(\be)}=\is{\vp(\al)}{\be} $ dla $ \al,\be\in V $.
Uwaga (#) Niech $ A\in\M{n}{n}{\R} $. Endomorfizm $ \vp(X)=AX $ kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $ jest samosprzężony wtedy i tylko wtedy, gdy macierz $ A $ jest symetryczna, , czyli $ A=A^T $.

Istotnie, warunek $ \is{X}{\vp(Y)}=\is{\vp(X)}{Y} $ oznacza, że $ X^TAY=(AX)^TY=X^TA^TY $, a więc, z \nolinebreak dowolności $ X,Y\in\R^n $, jest on równoważny symetrii macierzy $ A $.

Dwie podstawowe własności endomorfizmów samosprzężonych (charakteryzujące tę klasę), to istnienie wektorów własnych i zachowywanie przestrzeni ortogonalnych do podprzestrzeni niezmienniczych.

Drugą z tych własności bardzo łatwo uzasadnić.

Uwaga (#) Niech $ \vp:V\to V $ będzie endomorfizmem samosprzężonym liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ i niech $ W\subset V $ będzie podprzestrzenią taką, że $ \vp(W)\subset W $. Wówczas $ \vp(W^\perp)\subset W^\perp $.

Istotnie, jeśli $ \al\in W^\perp $, to dla dowolnego $ \be\in W $ mamy $ 0=\is{\al}{\vp(\be)}=\is{\vp(\al)}{\be} $, a więc $ \vp(\al)\in W^\perp $.

Przejdziemy teraz do dowodu istnienia wektorów własnych dla endomorfizmów samosprzężonych.

Twierdzenie (#) Dla każdego endomorfizmu samosprzężonego $ \vp:V\to V $ liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ istnieje wektor własny $ \be\in V $ taki, że

$ (\ast) $ $ ||\be||=1 $ \ oraz \ $ \is{\be}{\vp(\be)}= \sup\set{\is{\al}{\vp(\al)}:||\al||=1} $.

Dowód: Istnienie wektora spełniającego $ (\ast) $ wynika z twierdzenia Weierstrassa zastosowanego do funkcji $ \al\to\is{\al}{\vp(\al)} $ na sferze jednostkowej $ \set{\al\in V:||\al||=1} $, co wyjaśnimy w uzupełnieniach, zob.\ Lemat [link].

Dla dowodu twierdzenia wystarczy teraz pokazać, że wektor $ \be $ spełniający $ (\ast) $ jest wektorem własnym \nolinebreak $ \vp $. Tak jest jeśli $ \vp(\be)= 0 $. Załóżmy więc $ \vp(\be)\neq 0 $ i dla $ t $ z przedziału $ J= (-\frac{||\be||}{||\vp(\be)||},\frac{||\be||}{||\vp(\be)||})\subset \R $ połóżmy

$$\al(t)=\frac{1}{||\be+t\vp(\be)||}(\be+t\vp(\be))\ .$$

Określmy funkcję $ \phi:J\to \R $ wzorem

$$\phi(t)=\is{\al(t)}{\vp(\al(t))}= \frac{\is{\be}{\vp(\be)}+2t\is{\vp(\be)}{\vp(\be)}+t^2\is{\vp(\be)}{\vp^2(\be)}} {\is{\be}{\be}+2t\is{\be}{\vp(\be)}+ t^2\is{\vp(\be)}{\vp(\be)}}$$

(w liczniku skorzystaliśmy z równości $ \is{\be}{\vp^2(\be)}=\is{\vp(\be)}{\vp(\be)} $ wynikającej z samosprzężoności $ \vp $).

Ponieważ $ ||\al(t)||=1 $ i $ \al(0)=\be $, z $ (\ast) $ wynika, że funkcja $ \phi $ osiąga maksimum w punkcie $ t=0 $, a więc $ \phi'(0)=0 $. Z drugiej strony,

$$\phi'(0)=\frac{ 2\is{\vp(\be)}{\vp(\be)}\is{\be}{\be}- 2\is{\be}{\vp(\be)}\is{\be}{\vp(\be)} }{\is{\be}{\be}^2}\ ,$$

więc $ \is{\be}{\vp(\be)}^2=\is{\be}{\be}\is{\vp(\be)}{\vp(\be)} $ i z warunku równości w nierówności Schwarza, zob. [link], dostajemy $ \vp(\be)\in\nolinebreak\lin(\be) $. □

Łącząc Twierdzenie [link] i Uwagę [link] otrzymujemy główne twierdzenie tej części

Twierdzenie (#) Dla każdego endomorfizmu samosprzężonego $ \vp:V\to V $ liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ istnieje baza ortonormalna $ V $ złożona z wektorów własnych $ \vp $. W prostokątnym układzie współrzędnych związanym z tą bazą endomorfizm $ \vp $ ma macierz diagonalną.
Dowód: Załóżmy, że pierwsza część tezy jest prawdziwa dla endomorfizmów samosprzężonych na przestrzeniach euklidesowych wymiaru mniejszego niż $ \dim V $.

Niech $ \be $ będzie wektorem własnym dla $ \vp $, $ ||\be||=1 $ i niech $ U=\lin(\be)^\perp $. Z Uwagi [link], obcięcie $ \vp|U $ jest endomorfizmem smosprzężonym $ U $ i założenie indukcyjne zapewnia istnienie bazy ortonormalnej \nolinebreak $ U $ złożonej z wektorów własnych $ \vp $. Dołączając do tej bazy wektor $ \be $ dostajemy ortonormalną bazę $ V $ złożoną z \nolinebreak wektorów własnych $ \vp $. Druga część tezy wynika z części pierwszej, zob. Uwaga [link]. □

Przed przeformułowaniem tego twierdzenia w języku macierzowym, wprowadzimy klasę macierzy ortogonalnych, ściśle związanych z izometriami liniowymi.

Definicja (#) Macierz $ C\in\M{n}{n}{\R} $ jest ortogonalna, jeśli $ C^T=C^{-1} $.

Zauważmy, że warunek ortogonalności, $ C^TC=I_n $ oznacza, że kolumny macierzy $ C $ tworzą bazę ortonormalną w kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $. Ponadto, ortogonalność $ C $ jest równoważna ortogonalności macierzy $ C^T $, bo warunki $ C^TC=I_n $ i $ CC^T=I_n $ są równoważne.

Stwierdzenie (#) Dla każdej macierzy symetrycznej $ A\in\M{n}{n}{\R} $ istnieje macierz ortogonalna $ C\in\M{n}{n}{\R} $ taka, że macierz $ C^TAC $ jest diagonalna.
Dowód: Rozpatrzmy kartezjańską przestrzeń euklidesową $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $ i endomorfizm $ \vp(X)=AX $ tej przestrzeni. Jak zauważyliśmy w Uwadze [link], endomorfizm $ \vp $ jest samosprzężony i niech $ \si:\R^n\to\R^n $ będzie prostokątnym układem współrzędnych związanym z ortonormalną bazą $ (C_1,\ldots,C_n) $ w $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $, złożoną z wektorów własnych $ \vp $. Macierz $ \MP{\si}{\si}{\vp}=M(\si\circ\vp\circ\si^{-1})=M(\si)AM(\si^{-1}) $ jest diagonalna, a \nolinebreak $ C=M(\si^{-1})=[C_1,\ldots,C_n] $ jest macierzą ortogonalną, więc $ C^{T}AC=C^{-1}AC=\MP{\si}{\si}{\vp} $. □