Formy kwadratowe

Macierz symetryczna $ A=A^T\in\M{n}{n}{\K} $ wyznacza formę kwadratową $ Q:\K^n\to\K $ wzorem

$ (\ast) $ $ Q(X)=X^TAX,\ \ A=A^T\in\M{n}{n}{\K}. $

Z formą $ Q $ związany jest funkcjonał dwuliniowy $ h:\K^n\times\K^n\to\K $ - forma biegunowa $ Q $,

$ (\ast\ast) $ $ h(X,Y)=X^TAY,\ \</p>
<p>Q(X)=h(X,X). $

Złożenie formy kwadratowej $ Q $ wyznaczonej przez $ A $ z izomorfizmem liniowym $ \ps:\K^n\to\K^n $ jest formą kwadratową wyznaczoną przez macierz symetryczną $ B=C^TAC $, $ C=M(S) $, tzn.\ $ Q\circ\ps(X)=X^TBX $; w szczególności, macierze $ B $ i $ A $ są kongruentne, zob.\ [link].

Główny wynik tego rozdziału mówi, że izomorfizm $ \ps $ można zawsze dobrać tak, aby $ Q\circ\ps(X)=\sum_jd_jx_j^2 $ ($ x_j $ - współrzędne $ X $) lub równoważnie, w języku macierzowym, że każda macierz symetryczna jest kongruentna z macierzą diagonalną.

Nasze rozważania będziemy prowadzić w ogólniejszym ujęciu. Zaczniemy od określenia symetrycznych funkcjonałów dwuliniowych na przestrzeni $ V $ i związanych z nimi form kwadratowych.

Definicja (#) Niech $ V $ będzie przestrzenią liniową nad $ \K $. Funkcjonał $ h:V\times V\to\K $ jest symetrycznym funkcjonałem dwuliniowym jeśli $ h(\al,\be)=h(\be,\al) $ i dla każdego $ \be\in V $ funkcjonał $ \al\to h(\al,\be) $ jest liniowy. Funkcjonał $ Q:V\to\K $ dany wzorem $ Q(\al)=h(\al,\al) $ nazywamy formą kwadratową wyznaczoną przez $ h $ i mówimy, że $ h $ jest formą biegunową dla $ Q $.

W szczególności, iloczyn skalarny $ \is{\ }{\,} $ w liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ nad $ \R $ jest symetrycznym funkcjonałem dwuliniowym - formą biegunową dla formy kwadratowej $ ||\al||^2=\is{\al}{\al} $.

Uwaga (#) Jeśli $ h $ jest formą biegunową dla formy kwadratowej $ Q $, to z dwuliniowości $ h $ mamy

$ h(\al+\be,\al+\be)=h(\al,\al)+2h(\al,\be)+h(\be,\be) $, więc

$$h(\al,\be)=\frac{1}{2}(Q(\al+\be)-Q(\al)-Q(\be)),$$

Podobnie jak dla iloczynu skalarnego w przestrzeniach euklidesowych, symetryczny funkcjonał dwuliniowy $ h:V\times V\to \K $ pozwala związać z każdym układem $ (\al_1,\ldots,\al_m) $ wektorów w $ V $ symetryczną macierz Grama , zob.\ Definicja [link],

$$G_h(\al_1,\ldots,\al_m)=[h(\al_i,\al_j)]_{i,j=1}^m,$$

która wyznacza wartości funkcjonału $ h $ na powłoce liniowej tego układu, zob.\ Uwaga [link].

Twierdzenie (#) Niech $ h:V\times V\to \K $ będzie symetrycznym funkcjonałem dwuliniowym, układ $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ bazą w $ V $ i niech $ \si:V\to \K^n $ będzie układem współrzędnych związanym z tą bazą. Wówczas funkcjonał $ h $ jest opisany wzorem

$$h(\al,\be)=X^TAY \mbox{ dla } X=\si(\al), Y=\si(\be),$$

gdzie $ A=G_h(\al_1,\ldots,\al_n) $ jest macierzą Grama bazy $ (\al_1,\ldots,\al_n) $.

Dowód: Jak w Uwadze [link], dla $ \al=\sum_i x_i\al_i $, $ \be=\sum_j y_j\al_j $, z dwuliniowości $ h $ mamy $ h(\al,\be)=h(\sum_i x_i\al_i,\sum_j y_j\al_j)=\sum_{i,j=1}^n x_iy_jh(\al_i,\al_j)=\si(\al)^T G_h(\al_1,\ldots,\al_n)\,\si(\be) $. □
Uwaga (#)

  • [(a)] Niech $ h:V\times V\to\K $ będzie symetrycznym funkcjonałem dwuliniowym i niech bazy $ (\al_1,\ldots,\al_n) $, $ (\be_1,\ldots,\be_n) $ w $ V $ będą związane z układami współrzędnych $ \si,\ta:V\to\K^n $, odpowiednio. Wówczas $ G_h(\be_1,\ldots,\be_n)=C^TAC $ dla $ A=G_h(\al_1,\ldots,\al_n) $ i odwracalnej macierzy $ C=M(\si\circ\ta^{-1}) $ (bo $ j $-ta kolumna $ C $ ma postać $ \si(\ta^{-1}(\ep_j))=\si(\be_j) $, zob.\ dowód Lematu [link]).

  • [(b)] Niech $ Q(X)=X^TAX $ będzie formą kwadratową na $ \K^n $ wyznaczoną przez macierz symetryczną $ A $ i niech $ \ps:\K^n\to\K^n $ będzie izomorfizmem. Wówczas $ Q\circ\ps(Y)=Y^T(C^TAC)Y $ dla odwracalnej macierzy $ C=M(\ps) $ (wystarczy we wzorze na $ Q(X) $ podstawić $ X=CY $ i skorzystać ze wzoru $ (CY)^T=Y^TC^T $ lub przyjąć w (a) $ \si=\id_{\K^n} $ i $ \ta^{-1}=S $).

Uwaga [link] prowadzi do ważnej relacji równoważności w zbiorze $ (n\times n) $-macierzy.

Definicja (#) Macierze $ A, B\in\M{n}{n}{\K} $ są kongruentne, jeśli istnieje macierz odwracalna $ C\in\M{n}{n}{\K} $ taka, że $ B=C^TAC $.

Tak więc, zgodnie z Uwagą [link],

jeśli $ Q $ jest formą kwadratową opisaną wzorem $ (\ast) $, macierze kongruentne do $ A $, są to dokładnie symetryczne macierze opisujące formy kwadratowe $ Q\circ\ps $, gdzie $ \ps $ jest izomorfizmem $ \K^n $.

Zauważmy też, że macierze kongruentne mają równe rzędy, bo mnożenie przez macierz odwracalną nie zmienia rzędu macierzy.

Definicja (#) Rzędem $ \r(h) $ symetrycznego funkcjonału dwuliniowego $ h:V\times V\to \K $ nazywamy rząd jego macierzy Grama w dowolnej bazie $ V $. Rzędem $ \r(Q) $ formy kwadratowej $ Q:V\to \K $ nazywamy rząd formy biegunowej $ Q $.

Na zakończenie podamy dwa przydatne przykłady macierzy kongruentnych z macierzą $ \mk{rr}{0&c\\c&0}\in\M{2}{2}{\K} $.

Przykład (#) Dla $ c\in\K $:

(a)     $ \mk{rr}{1&-1\\1&1}\mk{rr}{0&c\\c&0}\mk{rr}{1&1\\-1&1}=\mk{rr}{-2c&0\\0&2c}\ ;\quad (b)\quad \mk{rr}{1&1\\0&1}\mk{rr}{0&c\\c&0}\mk{rr}{1&0\\1&1}=\mk{rr}{2c&c\\c&0}. $