Iloczyn skalarny i norma | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Definicja (#) Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad $\R$ . Przekształcenie $\is{\ }{\,}:V\times V \to \R$ przyporządkowujące parze wektorów $\al,\be\in V$ skalar $\is{\al}{\be}$ nazywamy iloczynem skalarnym jeśli

$(1)$ $\is{\al}{\be}=\is{\be}{\al}$ ,

$(2)$ $\is{\al_1+\al_2}{\be}=\is{\al_1}{\be}+\is{\al_2}{\be}$ ,

$(3)$ $\is{a\al}{\be}=a\is{\al}{\be}$ ,

$(4)$ $\is{\al}{\al}>0$ , dla $\al\neq 0$ .

Normę $||\al||$ (długość) wektora $\al\in V$ określamy wzorem $||\al||=\sqrt{\is{\al}{\al}}$ .

Przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym $(V,\is{\ }{\,})$ nazywamy liniową przestrzenią euklidesową.

Przykład (#)

[(a)] Kartezjańska przestrzeń euklidesowa $(\R^n,\is{\ }{\,})$ , gdzie $\is{X}{Y}=X^TY=\sum_i x_iy_i$ jest sumą iloczynów odpowiednich współrzędnych $X$ i $Y$ .
[(b)] Przestrzeń rzeczywistych wielomianów stopnia $\leq n$ z iloczynem skalarnym $\is{w}{u}=\int_0^1 w(t)u(t)dt$ .

W oznaczeniach z Przykładu [link] (a), znaną z Analizy nierówność Cauchy'ego można zapisać w postaci $(\is{X}{Y})^2\leq \is{X}{X}\is{Y}{Y}$ . Jest to szczególny przypadek nierówności Schwarza, którą wykażemy w \nolinebreak następującym twierdzeniu.

Twierdzenie (#){\bf (nierówność Schwarza).} W liniowej przestrzeni euklidesowej $(V,\is{\ }{\,})$ prawdziwa jest nierówność

$(\ast)$ $(\is{\al}{\be})^2\leq \is{\al}{\al}\is{\be}{\be}$ ,

przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy wektory $\al,\be$ są liniowo zależne.

Dowód: Dla każdego $x\in\R$ , zgodnie z własnościami (1)-(3)

w Definicji [link], $w(x)=\is{x\al+\be}{x\al+\be}= x^2\is{\al}{\al}+2x\is{\al}{\be}+ \is{\be}{\be}$ . Z własności (4) mamy $w(x)\geq 0$ , więc $\Delta= 4(\is{\al}{\be})^2-4\is{\al}{\al}\is{\be}{\be}\leq 0$ , co daje $(\ast)$ . Ponadto, równość w $(\ast)$ oznacza, że dla pewnego $\la\in\R$ , $w(\la)=0$ , a więc $\la\al+\be=\0$ . □

Uwaga (#) Odnotujmy, że w liniowych przestrzeniach euklidesowych $(V,\is{\ }{\,})$ norma $||\al||=\sqrt{\is{\al}{\al}}$ ma następujące własności

$(1)$ \qquad $||\al||\geq 0$ i $||\al||= 0$ tylko dla $\al=\0$ ,

$(2)$ \qquad $||a \al||=|a|\, ||\al||$ , $a\in\R$ ,

$(3)$ \qquad $||\al+\be||\leq||\al||+||\be||$ .

Tylko ostatnia własność - nierówność trójkąta wymaga wyjaśnienia.

Z nierówności Schwarza, $|\is{\al}{\be}|\leq ||{\al}||\, ||{\be}||$ , a więc $||\al+\be||^2=\is{\al+\be}{\al+\be}=\is{\al}{\al}+2\is{\al}{\be}+ \is{\be}{\be}\leq ||\al||^2+2||\al||\,||\be||+||\be||^2= (||\al||+||\be||)^2$ .