Iloczyn skalarny i norma

Definicja (#) Niech $ V $ będzie przestrzenią liniową nad $ \R $. Przekształcenie $ \is{\ }{\,}:V\times V \to \R $ przyporządkowujące parze wektorów $ \al,\be\in V $ skalar $ \is{\al}{\be} $ nazywamy iloczynem skalarnym jeśli

$ (1) $ $ \is{\al}{\be}=\is{\be}{\al} $,

$ (2) $ $ \is{\al_1+\al_2}{\be}=\is{\al_1}{\be}+\is{\al_2}{\be} $,

$ (3) $ $ \is{a\al}{\be}=a\is{\al}{\be} $,

$ (4) $ $ \is{\al}{\al}>0 $, dla $ \al\neq 0 $.

Normę $ ||\al|| $ (długość) wektora $ \al\in V $ określamy wzorem $ ||\al||=\sqrt{\is{\al}{\al}} $.

Przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym $ (V,\is{\ }{\,}) $ nazywamy liniową przestrzenią euklidesową.

Przykład (#)

  • [(a)] Kartezjańska przestrzeń euklidesowa $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $, gdzie $ \is{X}{Y}=X^TY=\sum_i x_iy_i $ jest sumą iloczynów odpowiednich współrzędnych $ X $ i $ Y $.
  • [(b)] Przestrzeń rzeczywistych wielomianów stopnia $ \leq n $ z iloczynem skalarnym $ \is{w}{u}=\int_0^1 w(t)u(t)dt $.

W oznaczeniach z Przykładu [link] (a), znaną z Analizy nierówność Cauchy'ego można zapisać w postaci $ (\is{X}{Y})^2\leq \is{X}{X}\is{Y}{Y} $. Jest to szczególny przypadek nierówności Schwarza, którą wykażemy w \nolinebreak następującym twierdzeniu.

Twierdzenie (#){\bf (nierówność Schwarza).} W liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ prawdziwa jest nierówność

$ (\ast) $ $ (\is{\al}{\be})^2\leq \is{\al}{\al}\is{\be}{\be} $,

przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy wektory $ \al,\be $ są liniowo zależne.

Dowód: Dla każdego $ x\in\R $, zgodnie z własnościami (1)-(3)

w Definicji [link], $ w(x)=\is{x\al+\be}{x\al+\be}= x^2\is{\al}{\al}+2x\is{\al}{\be}+ \is{\be}{\be} $. Z własności (4) mamy $ w(x)\geq 0 $, więc $ \Delta= 4(\is{\al}{\be})^2-4\is{\al}{\al}\is{\be}{\be}\leq 0 $, co daje $ (\ast) $. Ponadto, równość w $ (\ast) $ oznacza, że dla pewnego $ \la\in\R $, $ w(\la)=0 $, a więc $ \la\al+\be=\0 $. □

Uwaga (#) Odnotujmy, że w liniowych przestrzeniach euklidesowych $ (V,\is{\ }{\,}) $ norma $ ||\al||=\sqrt{\is{\al}{\al}} $ ma następujące własności

$ (1) $\qquad $ ||\al||\geq 0 $ i $ ||\al||= 0 $ tylko dla $ \al=\0 $,

$ (2) $\qquad $ ||a \al||=|a|\, ||\al|| $, $ a\in\R $,

$ (3) $\qquad $ ||\al+\be||\leq||\al||+||\be|| $.

Tylko ostatnia własność - nierówność trójkąta wymaga wyjaśnienia.

Z nierówności Schwarza, $ |\is{\al}{\be}|\leq ||{\al}||\, ||{\be}|| $, a więc $ ||\al+\be||^2=\is{\al+\be}{\al+\be}=\is{\al}{\al}+2\is{\al}{\be}+ \is{\be}{\be}\leq ||\al||^2+2||\al||\,||\be||+||\be||^2= (||\al||+||\be||)^2 $.