




,
,
,
, dla
.
Normę (długość) wektora
określamy wzorem
.
Przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywamy liniową przestrzenią euklidesową.
- [(a)] Kartezjańska przestrzeń euklidesowa
, gdzie
jest sumą iloczynów odpowiednich współrzędnych
i
.
- [(b)] Przestrzeń rzeczywistych wielomianów stopnia
z iloczynem skalarnym
.
W oznaczeniach z Przykładu [link] (a), znaną z Analizy nierówność Cauchy'ego można zapisać w postaci . Jest to szczególny przypadek nierówności Schwarza, którą wykażemy w \nolinebreak następującym twierdzeniu.

,
przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są liniowo zależne.

w Definicji [link], . Z własności (4) mamy
, więc
, co daje
. Ponadto, równość w
oznacza, że dla pewnego
,
, a więc
. □


\qquad
i
tylko dla
,
\qquad
,
,
\qquad
.
Tylko ostatnia własność - nierówność trójkąta wymaga wyjaśnienia.
Z nierówności Schwarza, , a więc
.