Izometrie liniowe

Definicja (#) Izomorfizm $ \vp:V\to W $ liniowych przestrzeni euklidesowych $ (V,\is{\ }{\,})_V $ i $ (W,\is{\ }{\,})_W $ nazywamy izometrią liniową, jeśli $ \vp $ zachowuje iloczyn skalarny, tzn.\ spełnia warunek

$$\is{\ga}{\al}_V=\is{\vp(\ga)}{\vp(\al)}_W \ \mbox{ dla } \ \ga,\al\in V.$$

W szczególności, każdy prostokątny układ współrzędnych $ \si: V\to\R^n $ jest izometrią liniową, a w [link] zauważyliśmy, że dla dowolnych dwóch $ n $-wymiarowych liniowych przestrzeni euklidesowych $ (V,\is{\ }{\,}_V) $ i $ (W,\is{\ }{\,}_W) $ istnieje izometria liniowa $ V $ na $ W $.

Uwaga Endomorfizm $ \vp:\R^n\to\R^n $ kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $ jest izometrią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy macierz $ M(\vp) $ jest ortogonalna.

Istotnie, jeśli $ \vp $ jest izometrią liniową, to kolumny macierzy $ M(\vp)=[\vp(\ep_1),\ldots,\vp(\ep_n)] $ tworzą bazę ortonormalną $ \R^n $ jako obrazy wektorów ortonormalnej bazy standardowej, więc $ M(\vp)^TM(\vp)=I_n $, czyli $ M(\vp) $ jest macierzą ortogonalną.

Uwaga (#) Dla każdej izometrii liniowej $ \vp:\R^2\to \R^2 $ dwuwymiarowej kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej $ (\R^2,\is{\ }{\,}) $ istnieje prostokątny układ współrzędnych $ \si:\R^2\to\R^2 $ taki, że

$ \MP{\si}{\si}{\vp}=\mk{rr}{ \cos \theta&-\sin \theta\\ \sin \theta&\cos \theta} $ (i wówczas $ \vp $ jest obrotem $ \R^2 $ o kąt $ \theta $, $ \si=\id_{\R^2} $)

lub też

$ \MP{\si}{\si}{\vp}=\mk{rr}{1&0\\0&-1} $ (i wówczas $ \vp $ jest symetrią ortogonalną $ V $ względem pewnej prostej).

Istotnie, macierz $ M(\vp)=[\vp(\ep_1),\vp(\ep_2)] $ jest ortogonalna. Jeśli $ \vp(\ep_1)=[a,b]^T $

dla $ a,b\in \R^2 $, to $ M(\vp) $ ma postać

$$\mk{rr}{a&-b\\b&a}\ \mbox{ lub } \ \mk{rr}{a&b\\b&-a}, \mbox{ gdzie } a^2+b^2=1.$$

W pierwszym przypadku $ \det\vp=1 $ i wówczas $ \vp $ jest obrotem $ \R^2 $ o kąt $ \theta $ taki, że $ a=\cos\theta $, $ b=\sin\theta $.

W drugim przypadku $ \det\vp=-1 $, wielomian charakterystyczny $ w_\vp(x)=x^2-1=(1-x)(-1-x) $, więc $ \R^2 $ ma ortonormalną bazę $ (C_1,C_2) $ taką, że $ \vp(C_1)=C_1 $ i $ \vp(C_2)=-C_2 $. W prostokątnym układzie współrzędnych $ \si:\R^2\to\R^2 $ związanym z tą bazą $ \MP{\si}{\si}{\vp} $ jest macierzą diagonalną z $ 1,-1 $ na przekątnej.

Z tej uwagi wynika, że każda izometria liniowa $ \ps:W\to W $ płaszczyzny euklidesowej $ (W,\is{\ }{\,}) $ jest obrotem tej płaszczyzny (jeśli $ \det \ps=1 $) lub symetrią ortogonalną względem pewnej prostej $ U\subset \nolinebreak W $ (jeśli $ \det \ps=-1 $). Pokażemy, że izometrie liniowe przestrzeni euklidesowej wymiaru \nolinebreak $ \geq 2 $ są złożeniem obrotów we wzajemnie ortogonalnych płaszczyznach i symetrii ortogonalnej względem podprzestrzeni zawierającej te płaszczyzny.

Twierdzenie (#) Dla każdej izometrii liniowej $ \vp:V\to V $ liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ wymiaru $ n $ istnieje prostokątny układ współrzędnych $ \si:V\to\R^n $ taki, że $ \MP{\si}{\si}{\vp} $ ma na przekątnej macierze obrotów $ \mk{rr}{ \cos \theta&-\sin \theta\\ \sin \theta&\cos \theta} $ lub skalary $ \pm 1 $.

W języku macierzowym Twierdzenie [link] formułuje się następująco.

Stwierdzenie (#) Dla każdej macierzy ortogonalnej $ A\in\M{n}{n}{\R} $ istnieje macierz ortogonalna $ C $ taka, że $ C^TAC\ (=C^{-1}AC) $ ma na przekątnej macierze obrotów

lub skalary $ \pm 1 $.

Do dowodu twierdzenia potrzebna będzie następująca obserwacja wynikająca z Twierdzenia [link].

Lemat (#) Dla każdej izometrii liniowej $ \vp:V\to V $ liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ wymiaru $ \geq 2 $ istnieje podprzestrzeń $ W\subset V $ taka, że $ \vp(W)\subset W $ oraz $ \dim W\leq 2 $.
Dowód: Zauważmy najpierw, że podstawiając $ \be=\vp(\al) $ w równości $ \is{\ga}{\al}=\is{\vp(\ga)}{\vp(\al)} $, warunek zachowania iloczynów skalarnych można przepisać w postaci $ \is{\ga}{\vp^{-1}(\be)}=\is{\vp(\ga)}{\be} $. Zastępując w \nolinebreak tym warunku izometrię liniową $ \vp $ przez $ \vp^{-1}:V\to V $, dostajemy również $ \is{\ga}{\vp(\be)}=\is{\vp^{-1}(\ga)}{\be} $, a stąd

$$\is{\ga}{(\vp+\vp^{-1})(\be)}=\is{\ga}{\vp(\be)}+\is{\ga}{\vp^{-1}(\be)}= \is{\vp^{-1}(\ga)}{\be}+\is{\vp(\ga)}{\be}= \is{(\vp^{-1}+\vp)(\ga)}{\be},$$

co oznacza, że endomorfizm $ \vp+\vp^{-1}:V\to V $ jest samosprzężony.

Z Twierdzenia [link] istnieje więc niezerowy wektor $ \al\in V $ i $ \la\in\R $ takie, że $ (\vp+\vp^{-1})(\al)=\la\al $. Zatem $ \vp(\vp+\vp^{-1})(\al)=\la\vp(\al) $ i stąd $ \vp^2(\al)=\la\vp(\al)-\al $.

Niech $ W=\lin(\al,\vp(\al)) $. Ponieważ, jak zauważyliśmy $ \vp^2(\al)\in W $, mamy $ \vp(W)\subset W $. □

{\bf Dowód Twierdzenia [link].} Załóżmy, że teza jest prawdziwa dla izometrii liniowych przestrzeni euklidesowych wymiaru mniejszego niż $ \dim V=n $ i niech $ W\subset V $ będzie podprzestrzenią wymiaru $ k\leq 2 $ spełniającą warunki Lematu [link].

Jeśli $ k=1 $, to $ \vp|W $ jest identycznością lub operacją mnożenia przez $ -1 $. Jeśli $ k=2 $, to $ \vp|W $ jest obrotem $ W $ lub symetrią ortogonalną $ W $ względem pewnej prostej, zob. Uwaga [link]. Zatem w $ W $ istnieje prostokątny układ współrzędnych $ \ta:W\to\R^k $ taki, że macierz $ \MP{\ta}{\ta}{\vp|W} $ jest macierzą obrotu lub macierzą diagonalną mającą na przekątnej $ 1,-1 $.

Ponieważ $ \vp $ jest izometrią liniową i $ \vp(W)=W $, mamy również $ \vp(W^\perp)=W^\perp $. Ustalmy prostokątny układ współrzędnych $ \ta_\perp:W^\perp\to\R^{n-k} $ w $ W^\perp $ dany przez założenie indukcyjne.

Dla prostokątnego układu współrzędnych $ \si: V\to\R^n $ związanego z bazą ortonormalną powstałą przez dołączenie do bazy $ W^\perp $ związanej z $ \ta_\perp $, bazy $ W $ związanej z $ \ta $, macierz $ \MP{\si}{\si}{\vp} $ jest postaci opisanej w \nolinebreak twierdzeniu.\null
\null$ \blacksquare $    

Na zakończenie tej części podamy Twierdzenie [link] charakteryzujące izometrie liniowe przy pomocy warunku słabszego niż warunek przyjęty w definicji, wyjaśniającego przy tym lepiej terminologię.

Uwaga (#) Dla izomorfizmu $ \vp:V\to V $ liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ warunek zachowywania iloczynu skalarnego jest równoważny (formalnie słabszemu) warunkowi zachowywania normy

$$ ||\al||=||\vp(\al)|| \ \mbox{ dla } \ \al\in V, $$

Istotnie, z $ \is{\ga-\al}{\ga-\al}= \is{\ga}{\ga}-2\is{\ga}{\al}+\is{\al}{\al} $ dla $ \ga,\al\in V $ mamy

$ (\ast)<table class="displaymath"><tr><td class="dspleft"><img class="teximage" src="/sites/default/files/tex/2f3c9c5b8b502478e61bae67a7d3b7ffee51766f.png" alt="f14f22300540f6fabe33fddd9bee2239:4:" /></td><td class="dspright"></td></tr></table>\is{\ga}{\al}=\is{\bar{f}(\ga)}{\bar{f}(\al)} \ \mbox{ dla } \ {\ga},{\al}\in A.<table class="displaymath"><tr><td class="dspleft"><img class="teximage" src="/sites/default/files/tex/830bbd9d2a8ebf24d8e34557c4449c6597659250.png" alt="f14f22300540f6fabe33fddd9bee2239:5:" /></td><td class="dspright"></td></tr></table>\is{\ps(\ga)}{\ps(\al_j)}=\is{\ga}{\al_j}= \is{\bar{f}(\ga)}{\bar{f}(\al_j)}= \is{\bar{f}(\ga)}{\ps(\al_j)} \ \mbox{ dla }\ j\leq m, $$ więc $ \is{\ps(\ga)-\bar{f}(\ga)}{\be}=0 $ dla $ \be\in W $, a stąd $ ||\ps(\ga)-\bar{f}(\ga)||=\0 $, czyli $ \ps|A=\bar{f} $.

Dla zakończenia dowodu wystarczy teraz przedłużyć $ \ps $ do izometrii liniowej $ \vp:V\to V $ przy pomocy dowolnej izometrii liniowej przeprowadzającej $ U^\perp $ na $ W^\perp $. □