Izomorfizmy przestrzeni współrzędnych

Macierz mającą $ m $ wierszy i $ m $ kolumn nazywamy macierzą kwadratową. Macierze kwadratowe z $ \M{m}{m}{\K} $ odpowiadają przekształceniom $ T:\K^m\to\K^m $, przy czym macierze odpowiadające izomorfizmom są elementami odwracalnymi w $ \M{m}{m}{\K} $, ze względu na operację mnożenia.

Definicja Macierz kwadratową $ A\in\M{m}{m}{\K} $ nazywamy macierzą odwracalną jeśli istnieje macierz kwadratowa $ M\in\M{m}{m}{\K} $ taka, że $ MA=I_{m} $
Uwaga Dla macierzy kwadratowych $ A,M\in\M{m}{m}{\K} $ warunek $ MA=I_{m} $ oznacza, że $ T_M:\K^m\to\K^m $ jest epimorfizmem, a $ T_A:\K^m\to\K^m $ jest monomorfizmem. Z Twierdzenia [link] wynika, że $ \r M=\r A=m $, czyli $ T_A $ i $ T_M $ są wzajemnie odwrotnymi izomorfizmami $ \K^m $ oraz $ AM=MA=I_{m} $.
Definicja Jeśli macierz kwadratowa $ A\in\M{m}{m}{\K} $ jest odwracalna, to macierz $ M(T_A^{-1}) $ izomorfizmu odwrotnego do $ T_A $ nazywamy macierzą odwrotną do $ A $ i oznaczamy przez $ A^{-1} $.

Podamy teraz metodę znajdowania macierzy odwrotnej korzystającą z interpretacji operacji elementarnych na wierszach macierzy jako pewnych izomorfizmów przestrzeni współrzędnych.

\mNiech $ \E $ będzie operacją elementarną na wierszach macierzy z $ \M{m}{n}{\K} $. Wynik operacji $ \E $ na macierzy $ A $ będziemy oznaczać przez $ \E(A) $, niezależnie od liczby kolumn macierzy $ A $ (także dla macierzy jednokolumnowych). W szczególności, dla macierzy $ A=[A_1,\ldots,A_n] $ mamy $ \E(A)=[\E(A_1),\ldots,\E(A_n)] $.

\mOperacja $ \E $ na macierzach jednokolumnowych jest odwracalną funkcją $ \E:\K^m\to\K^m $ zachowującą kombinacje liniowe (jeśli $ x_1A_1+\ldots+x_nA_n=B $, to $ x_1\E(A_1)+\ldots+x_n\E(A_n)=\E(B) $, zob.\ Twierdzenie [link])

Definicja (#) Izomorfizm $ \E:\K^m\to\K^m $ wyznaczony przez operację elementarną na wierszach $ \E $ nazywamy izomorfizmem elementarnym, a jego macierz $ M(\E)=[\E(\ep_1),\ldots,\E(\ep_m)]=\E(I_m) $ nazywamy macierzą elementarną.
Uwaga (#) Wykonanie operacji elementarnej $ \E $ na wierszach macierzy $ A=[A_1,\ldots,A_n]\in\M{m}{n}{\K} $ daje macierz $ \E(A)=[\E(A_1),\ldots,\E(A_n)]=[\E(T_A(E_1)),\ldots,\E(T_A(E_n))]=M(\E\circ T_A)=M(\E)A $, czyli odpowiada pomnożeniu macierzy $ A $ z lewej strony przez macierz elementarną $ M(\E) $ izomorfizmu $ \E $.
Twierdzenie (#) Macierz odwracalną $ A\in\M{m}{m}{\K} $ można zredukować do macierzy jednostkowej $ I_m $ operacjami elementarnymi na wierszach. Jeśli $ \E_p,\ldots,\E_1 $ są operacjami redukującymi $ A $ do $ I_m $, to iloczyn macierzy elementarnych $ M(\E_p)\cdot\ldots\cdot M(\E_1) $ jest macierzą odwrotną do $ A $.
Dowód: Macierz $ A $ ma rząd $ m $, więc redukując $ A $ do postaci schodkowej otrzymamy macierz $ A' $ mającą na przekątnej wyrazy niezerowe i zera pod przekątną. Wykonując operacje typu (I) z użyciem ostatniego wiersza macierzy $ A' $ można wyzerować wszystkie, prócz ostatniego wyrazy ostatniej kolumny tej macierzy, wykorzystując przedostatni wiersz w podobny sposób można wyzerować wszystkie wyrazy przedostatniej kolumny leżące w poprzednich wierszach i po kolejnych, analogicznych krokach otrzymać macierz diagonalną $ B $ (czyli macierz mającą zera poza przekątną). Operacjami typu (III) można następnie zamienić wszystkie wyrazy przekątnej $ B $ na jedynki.

Jeśli $ \E_p,\ldots,\E_1 $ są operacjami redukującymi macierz $ A $ do $ I_m $, to złożenie $ \vp=\E_p\circ\ldots\circ\E_1 $ izomorfizmów elementarnych przeprowadza $ j $-tą kolumnę macierzy $ A $ na $ j $-tą kolumnę macierzy $ I_m $, jest więc izomorfizmem odwrotnym do izomorfizmu $ T_A $, a jego macierz $ M(T)=M(\E_p)\cdot\ldots\cdot M(\E_1) $ jest macierzą odwrotną do $ A $. □

Jeśli macierz $ A\in\M{m}{m}{\K} $ jest odwracalna, to macierz $ A^{-1} $ też jest odwracalna i $ (A^{-1})^{-1}=A $, więc z drugiej części tezy dla macierzy odwracalnej $ A^{-1} $ dostajemy

Stwierdzenie (#) Macierz odwracalna $ A\in\M{m}{m}{\K} $ jest iloczynem skończenie wielu macierzy elementarnych.
Uwaga (#) Niech $ [A|I_m]\in\M{m}{m+m}{\K} $ będzie macierzą powstałą przez dopisanie do macierzy odwracalnej $ A\in\M{m}{m}{\K} $ macierzy jednostkowej $ I_m $. Redukując macierz $ [A|I_m] $ do macierzy $ [I_m|M] $ operacjami elementarnymi $ \E_p,\ldots,\E_1 $ otrzymujemy w dopisanej części macierz złożenia $ \E_p\circ\ldots\circ\E_1 $ redukujących izomorfizmów elementarnych, czyli $ M=M(\E_p\circ\ldots\circ\E_1)=A^{-1} $.

Przy odwracaniu iloczynu macierzy musimy zmienić kolejność czynników.

Twierdzenie Jeśli macierze $ A,B\in\M{m}{m}{\K} $ są odwracalne i $ c\in\K $ jest niezerowym skalarem, to iloczyny $ AB $ i $ cA $ są macierzami odwracalnymi i $ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} $ oraz $ (cA)^{-1}=c^{-1}A^{-1} $.
Dowód: Mnożenie macierzy jest łączne, więc $ (B^{-1}A^{-1})AB=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}B=I_m $. Analogicznie, $ c^{-1}A^{-1}(cA)=c^{-1}cA^{-1}A=I_m $. □