Jądro i obraz, izomorfizmy

Przy opisie przekształcenia liniowego ważną rolę odgrywają dwie związane z nim podprzestrzenie liniowe: jądro i obraz.

Uwaga (#) Dla przekształcenia liniowego $ \vp:V\to W $ i podprzestrzeni $ V_0\subset V $ oraz $ W_0\subset W $.

  • [$ (a) $] Obraz $ \vp(V_0)=\set{\vp(\al):\al\in V_0} $ podprzestrzeni $ V_0\subset V $ jest podprzestrzenią $ W $.
  • [$ (b) $] Przeciwobraz $ \vp^{-1}(W_0)=\set{\al:\vp(\al)\in W_0} $ podprzestrzeni $ W_0\subset W $ jest podprzestrzenią $ V $.
Definicja Niech $ \vp:V\to W $ będzie przekształceniem liniowym.

  • [$ (a) $] (#) Obrazem $ \vp $ nazywamy podprzestrzeń $ \im\vp=\vp(V)=\set{\vp(\al):\al\in V} $ przestrzeni $ W $. Wymiar obrazu $ \dim\im\vp $ nazywamy rzędem $ \vp $ i oznaczamy przez $ \r\vp $.
  • [$ (b) $] (#) Jądrem $ \vp $ nazywamy podprzestrzeń $ \ker\vp=\vp^{-1}(\set{\0})=\set{\al\in V:\vp(\al)=\0} $ przestrzeni $ V $. Wymiar jądra $ \dim\ker\vp $ nazywamy defektem $ \vp $ i oznaczamy przez $ \d\vp $.

Obraz i jądro przekształcenia liniowego wyznaczonego przez macierz mają ścisły związek z pojęciami wprowadzonymi w części [link].

Uwaga (#) Dla przekształcenia $ \vp_A:\K^n\to\K^m $ wyznaczonego przez macierz $ A\in\M{m}{n}{\K} $ (zob.\ Przykład [link]) $ \im\vp_A=K(A) $, $ \r\vp_A=\r A $, $ \ker\vp_A=N(A) $ i, z Twierdzenia [link], $ \d\vp_A=n-\r A $.

Następujące proste twierdzenie opisuje ważną własność przekształceń liniowych: trywialność jądra implikuje różnowartościowość.

Twierdzenie (#) Przekształcenie liniowe $ T $ jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy, gdy $ \ker\vp=\set{\0} $.
Dowód: Niech $ \vp:V\to W $. Dla $ \ga,\al\in V $ równość $ \vp(\ga)=\vp(\al) $ oznacza, że $ \vp(\ga)-\vp(\al)=\0 $, ale $ \vp(\ga)-\vp(\al)=\vp(\ga-\al)=\0 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \ker\vp=\set{\0} $. □

Wyróżnimy teraz trzy ważne klasy przekształceń liniowych.

Definicja Przekształcenie liniowe $ \vp:V\to W $ nazywamy

  • [$ (a) $] (#) epimorfizmem jeśli $ \im\vp=W $,
  • [$ (b) $] (#) monomorfizmem jeśli $ \ker\vp=\set{\0} $,
  • [$ (c) $] (#) izomorfizmem liniowym jeśli $ \vp $ jest epimorfizmem i monomorfizmem.
Twierdzenie (#) Funkcja odwrotna $ T^{-1} $ do izomorfizmu liniowego $ \vp:V\to W $ jest przekształceniem liniowym $ T^{-1}:W\to V $.
Dowód: Istnienie funkcji odwrotnej $ \vp^{-1} $ wynika z Twierdzenia [link]. Dla sprawdzenia, że $ \vp^{-1} $ zachowuje dodawanie wektorów weźmy $ \be_i=\vp(\al_i)\in W $ dla $ i=1,2 $. Wtedy $ \vp(\al_1+\al_2)=\be_1+\be_2 $ i przykładając do obu stron tej równości $ \vp^{-1} $ otrzymujemy $ \al_1+\al_2=\vp^{-1}(\be_1+\be_2) $, czyli $ \vp^{-1}(\be_1)+\vp^{-1}(\be_2)=\vp^{-1}(\be_1+\be_2) $. Analogicznie sprawdza się, że $ \vp^{-1} $ zachowuje mnożenie wektora przez skalar. □

Z twierdzenia o określaniu przekształceń liniowych na bazie wynika, że własności przekształcenia liniowego $ \vp:V\to W $ są wyznaczone przez układ $ (\vp(\al_1),\ldots,\vp(\al_n)) $ obrazów wektorów ustalonej bazy $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ przestrzeni $ V $.

Twierdzenie (#) Niech $ \vp:V\to W $ będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni $ V $ z bazą $ (\al_1,\ldots,\al_n) $. Wtedy

  • [$ (a) $] (#) $ \vp $ jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy układ $ (\vp(\al_1),\ldots,\vp(\al_n)) $ rozpina $ W $.
  • [$ (b) $] (#) $ \vp $ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy układ $ (\vp(\al_1),\ldots,\vp(\al_n)) $ jest liniowo niezależny.
  • [$ (c) $] (#) $ \vp $ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy układ $ (\vp(\al_1),\ldots,\vp(\al_n)) $ jest bazą $ W $.
Dowód: Część (a) wynika z równości $ \im\vp=\vp(\lin(\al_1,\ldots,\al_n))= \lin(\vp(\al_1),\ldots,\vp(\al_n)) $, część (b) z równoważności $ \sum_{j=1}^n x_j\vp(\al_j)=\0\iff\sum_{j=1}^n x_j\al_j\in\ker\vp $, a część (c) jest konsekwencją (a) i (b). □

Mówimy, że przestrzenie liniowe $ V,W $ nad $ \K $izomorficzne jeśli istnieje izomorfizm liniowy $ V $ na $ W $. Z części (c) i z twierdzenia o określaniu przekształceń liniowych na bazie wynika

Stwierdzenie (#) Przestrzenie liniowe $ V $ i $ W $ są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy $ \dim V=\dim W $.

Szczególnie ważną rolę pełnią izomorfizmy przestrzeni $ V $ na przestrzeń współrzędnych wymiaru $ \dim V $ - układy współrzędnych. Właściwy dobór układu współrzędnych znacznie upraszcza analizę wielu zagadnień algebry liniowej.

Ostatnie twierdzenie tej części można, przechodząc do przestrzeni współrzędnych, wyprowadzić z Twierdzenia [link] (por.\ Uwaga [link]). Podamy jednak bezpośredni dowód, a systematyczne wykorzystanie układów współrzędnych poprzedzimy analizą przekształceń liniowych na przestrzeniach współrzędnych.

Twierdzenie (#) Jeżeli $ T:V\to W $ jest przekształceniem liniowym, to $ \dim V=\d\vp+\r\vp $.
Dowód: Niech $ U $ będzie podprzestrzenią $ V $ taką, że $ V=\ker\vp\oplus U $ (zob.\ Wniosek [link]) i niech $ \ps=\vp|U:U\to W $ będzie obcięciem $ \vp $ do $ U $ ($ \ps(\ga)=\vp(\ga) $ dla $ \ga\in U $). Wtedy $ \im S=\im \vp $, bo dla $ \al=\be+\ga\in \ker\vp\oplus U $ mamy $ \vp(\al)=\vp(\be)+\vp(\ga)=\ps(\ga) $. Z Twierdzenia [link] $ \ker\vp \cap U=\set{\0} $, więc $ \ps $ jest izomorfizmem $ U $ na $ \im \vp $ i z Wniosku [link] mamy $ \dim V= \d \vp+\dim U= \d \vp+\r \vp $. □