Klasyfikacja funkcji kwadratowych na $\mathbb{R}^n$

Dla $ \K=\R $ tezę Twierdzenia [link] można wzmocnić, korzystając z Uwagi [link].

Twierdzenie (#) Dla każdej funkcji kwadratowej $ f:\R^n\to\R $ istnieje izomorfizm afiniczny $ g:\R^n\to\R^n $ taki, że złożenie $ f\circ g(Z) $ jest opisane jednym ze wzorów:

(AI)$ _{s,r} $ $ f\circ g(Z)=z_1^2+\ldots+z_s^2-z_{s+1}^2-\ldots-z_r^2+c' $, \ \qquad $ s\leq r\leq n $,

(AII)$ _{s,r} $ $ f\circ g(Z)=z_1^2+\ldots+z_s^2-z_{s+1}^2-\ldots-z_r^2+z_n $, \qquad $ s\leq r<n $,

gdzie $ Z=[z_1,\ldots,z_n]^T $, a $ r=\r(Q) $ i $ s=s_+(Q) $ dla formy $ Q $ będącej częścią kwadratową $ f $.

Definicja Powiemy, że funkcje $ f,f':\R^n\to\R $ są afinicznie równoważne jeśli istnieje izomorfizm afiniczny $ g:\R^n\to\R^n $ taki, że $ f'=f\circ g $.

Z Uwag [link] i [link] wynika następująca obserwacja.

Uwaga (#) Każda funkcja kwadratowa na $ \R^n $ jest afinicznie równoważna dokładnie jednej z funkcji typu (AI)$ _{s,r} $ lub (AII)$ _{s,r} $ z Twierdzenia [link].

W kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $ redukcję opisaną w Twierdzeniu [link], z pewnymi niewielkimi zmianami, można zrealizować przy pomocy izometrii (czyli izomorfizmów afinicznych $ \R^n $, których część liniowa jest opisana macierzą ortogonalną, zob.\ Twierdzenie [link]).

Twierdzenie {\bf (o redukcji euklidesowej).}(#) Dla każdej funkcji kwadratowej $ f:\R^n\to\R $ na kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $ istnieje izometria $ g:\R^n\to\R^n $ taka, że złożenie $ f\circ g(Z) $ jest opisane jednym ze wzorów:

(EI)$ _{\la_1,\ldots,\la_r} $ $ f\circ g(Z)=\la_1z_1^2+\ldots+\la_rz_r^2+c' $, \qquad $ \la_1\geq\ldots\geq\la_r $ i $ \la_j\neq 0 $ dla $ j\leq r $,

(EII)$ _{\la_1,\ldots,\la_r} $ $ f\circ g(Z)=\la_1z_1^2+\ldots+\la_rz_r^2+b z_n $, $ \la_1\geq\ldots\geq\la_r $ i $ \la_j\neq 0 $ dla $ j\leq r<n $,

gdzie $ Z=[z_1,\ldots,z_n]^T $, a $ \la_1,\ldots,\la_r $ są niezerowymi wartościami własnymi symetrycznej macierzy $ A\in\M{n}{n}{\R} $ takiej, że forma $ Q(X)=X^TAX $ jest częścią kwadratową $ f $.

Dowód: W dowodzie [link] trzeba jedynie dokonać następujących modyfikacji.

Izomorfizm $ g_1 $ należy zastąpić izometrią liniową $ g_1(X)=MX $, gdzie $ M $ jest macierzą ortogonalną otrzymaną z występującej we Wniosku [link] macierzy ortogonalnej $ C $, której kolumny zostały uporządkowane tak, aby odpowiadający im ciąg wartości własnych miał na początkowych $ r=\r A $ miejscach nierosnący ciąg wyrazów niezerowych i $ n-r $ zer na końcu.

Izomorfizm $ g_3\circ g_4 $ w kroku (II) należy zastąpić izometrią liniową $ g_3=\ta^{-1} $, gdzie $ \ta:\R^n\to\R^n $ jest prostokątnym układem współrzędnych nie zmieniającym pierwszych $ r $ współrzędnych wektora $ Z=[z_1,\ldots,z_n]^T $ i zastępującego ostatnią współrzędną sumą $ \frac{1}{b}(a_{r+1}z_{r+1}+\ldots+a_nz_n+c') $, gdzie $ b=\sqrt{\sum_{j=r+1}^na_j^2} $. Macierz ortogonalna $ M(g_3)=M({\ta})^{-1}=M({\ta})^T $ ma kolumny $ g_3(\ep_j)=\ep_j $ dla $ j\leq r $, a jej ostatnią kolumną jest $ g_3(\ep_n)=\frac{1}{b}\sum_{j=r+1}^n a_j\ep_j $.

Definicja Powiemy, że funkcje kwadratowe $ f,f':\R^n\to\R $ na kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $ są euklidesowo równoważne, jeśli istnieje izometria $ g:\R^n\to\R^n $ taka, że $ f'=f\circ g $.

Z Twierdzenia [link], podobnie jak w Uwadze [link], wynika następująca obserwacja.

Uwaga (#) Każda funkcja kwadratowa na kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $ jest euklidesowo równoważna dokładnie jednej z funkcji typu (EI)$ _{\la_1,\ldots,\la_r} $ lub (EII)$ _{\la_1,\ldots,\la_r} $ z Twierdzenia [link].