Klasyfikacja hiperpowierzchni właściwych

Jeśli hiperpowierzchnia $ H $ stopnia $ 2 $ w $ E $ jest podprzestrzenią afiniczną $ E $ wymiaru $ n-r $ opisaną w pewnym afinicznym układzie współrzędnych równaniem kanonicznym $ z_1^2+\ldots+z_r^2=0 $, to $ r>1 $ (bo $ H $ nie jest hiperpłaszczyzną) i $ H $ jest też opisana równaniem $ 2z_1^2+\ldots+z_r^2=0 $, które nie jest krotnością równania kanonicznego. Natomiast hiperpowierzchnia właściwa wyznacza swoje równanie z dokładnością do stałej.

Twierdzenie (#) Niech $ H $ będzie hiperpowierzchnią właściwą w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \R $. Jeśli $ f,f_\ast:\R^n\to\R $ są funkcjami kwadratowymi takimi, że równania $ f(X)=0 $ i $ f_\ast(X)=0 $ opisują $ H $ w tym samym afinicznym układzie współrzędnych w $ E $, to $ f_\ast=\la f $ dla pewnego $ \la\in\R $.

Dowód tego twierdzenia podamy w części [link] uzupełnień.

Stwierdzenie Hiperpowierzchnia właściwa w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \R $ wyznacza swoje równanie kanoniczne.
Dowód: Niech $ \si_p,\ta_q:E\to\R^n $ będą afinicznymi układami współrzędnych w $ E $, $ f,f_\ast:\R^n\to\R $ funkcjami kwadratowymi i załóżmy, że równanie $ f(X)=0 $ opisuje $ H $ w układzie $ \si_p $, a równanie $ f_\ast(Z)=0 $ jest kanoniczne i opisuje $ H $ w układzie $ \ta_q $. Pokażemy, że redukcja równania $ f(X)=0 $ prowadzi do równania kanonicznego takiego samego typu i z takimi samymi indeksami $ r,s $ jak równanie $ f_\ast(Z)=0 $.

Mamy $ \xx\in H \iff f\circ\si_p(\xx)=0 \iff f\circ\si_p\circ((\ta_q)^{-1}\circ\ta_q)(\xx)=0 $. Zatem równanie $ f\circ(\si_p\circ(\ta_q)^{-1})(Z)=0 $ opisuje hiperpowierzchnię $ H $ w układzie $ \ta_q $ i z Twierdzenia [link] istnieje $ \la\in\R $ takie, że $ f_\ast=\la f\circ(\si_p\circ(\ta_q)^{-1}) $. Zgodnie z Twierdzeniem [link], złożenie $ \si_p\circ(\ta_q)^{-1}:\R^n\to\R^n $

jest izomorfizmem afinicznym $ \R^n $, więc funkcje $ f_\ast $ oraz $ \la f $ są afinicznie równoważne i teza wynika z Uwagi [link]. □

Definicja Mówimy, że hiperpowierzchnie właściwe $ H,H' $ w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \R $ mają ten sam typ afiniczny, jeśli istnieje izomorfizm afiniczny $ g:E\to E $ taki, że $ g(H)=H' $.
Twierdzenie (#) Hiperpowierzchnie właściwe $ H,H' $ w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \R $ mają ten sam typ afiniczny wtedy i tylko wtedy, gdy wyznaczają to samo równanie kanoniczne.
Dowód: Niech $ g:E\to E $ będzie izomorfizmem afinicznym. Jeśli $ g(H) $ jest hiperpowierzchnią stopnia $ 2 $ opisaną w układzie $ \ta_q $ równaniem $ f(Z)=0 $, to $ \xx\in H \iff g(\xx)\in g(H)\iff f\circ\ta_q(g(\xx))=0 $, więc hiperpowierzchnia $ H $ jest opisana równaniem $ f(X)=0 $ w układzie $ \si_p=\ta_q\circ g $, zob.\ Twierdzenie [link].

Jeśli $ \si_p,\ta_q:E\to\R^n $ są afinicznymi układami współrzędnych w $ E $ takimi, że dla funkcji kwadratowej $ f:\R^n\to\R $ równanie $ f(X)=0 $ opisuje $ H $ w układzie $ \si_p $, a równanie $ f(Z)=0 $ opisuje $ H' $ w układzie $ \ta_q $, to $ \xx\in H \iff f\circ\si_p(\xx)=0 \iff f\circ(\ta_q\circ(\ta_q)^{-1})\circ\si_p(\xx)=0\iff f\circ\ta_q\circ((\ta_q)^{-1}\circ\si_p)(\xx)=0\iff (\ta_q)^{-1}\circ\si_p(\xx)\in H' $. Izomorfizm afiniczny $ (\ta_q)^{-1}\circ\si_p:E\to E $ przeprowadza więc $ H $ na $ H' $, zob.\ Twierdzenie [link]. □

Geometryczną własnością odróżniającą hiperpowierzchnie opisane równaniami typu (AI)$ _0 $, (AI)$ _1 $ od hiperpowierzchni opisanych równaniami typu (AII) jest istnienie środka symetrii hiperpowierzchni.

Definicja (#) Niech $ H $ będzie niepustym podzbiorem przestrzeni afinicznej $ E $. Punkt $ p\in E $ nazywamy środkiem symetrii zbioru $ H $ jeśli dla $ \al\in\p{E} $ warunki $ p+\al\in E $ i $ p+(-\al)\in E $ są równoważne.
Twierdzenie Niech $ H $ będzie hiperpowierzchnią właściwą w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \R $. Jeśli $ f:\R^n\to\R $ jest funkcją kwadratową taką, że równanie $ f(Y)=0 $ opisuje $ H $ w układzie współrzędnych $ \si_p:E\to \R^n $, to punkt $ q\in E $ jest środkiem symetrii $ H $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \si_p(q) $ jest środkiem symetrii funkcji $ f $.
Dowód: Ustalmy $ q\in E $, $ X_0=\si_p(q) $ i niech $ X=\si(\al) $ dla $ \al\in\p{E} $. Wtedy

$ \si_p(q+\al)=X_0+X $ \ \ oraz \ \ $ \si_p(q+(-\al))=X_0-X $.

Zatem $ q $ jest środkiem symetrii hiperpowierzchni $ H $, jeśli $ X_0 $ jest środkiem symetrii funkcji $ f $.

Załóżmy, że $ q $ jest środkiem symetrii $ H $ i niech $ g:\R^n\to\R^n $ będzie symetrią afiniczną $ \R^n $ względem $ X_0 $, tzn.\ $ g(X_0+X)=X_0-X $. Złożenie $ f_\ast=f\circ g:\R^n\to\R $ jest funkcją kwadratową taką, że równanie $ f_\ast(Y)=0 $ opisuje $ H $ w układzie $ \si_p $, bo $ q+\al\in H \iff q-\al\in H\iff f(X_0-X)=0\iff f_\ast(X_0+X)=0 $.

Z Twierdzenia [link] istnieje $ \la\in\R $ takie, że $ f=\la f_\ast $, czyli $ f(X_0+X)=\la f(X_0-X) $ dla $ X\in\R^n $ i pozostaje wykazać, że $ \la=1 $. Jeśli funkcja $ f $ jest dana wzorem $ (\ast) $ z Definicji [link], to rachując jak w Uwadze [link], dostajemy $ X^TAX+(2X_0^TA+B^T)X+c'= (-X)^T\la A(-X)+\la(2X_0^TA+B^T)(-X)+\la c' $, a ponieważ $ f $ wyznacza swoją część kwadratową, $ A=\la A $ i z $ A\neq\0 $ wnioskujemy, że $ \la=1 $. □

Stwierdzenie Niech $ H $ będzie hiperpowierzchnią właściwą w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \R $.

  • [(I)$ _0 $] Jeśli $ H $ jest opisana równaniem kanonicznym typu $ (AI)_0 $, to $ H $ ma środek symetrii i zawiera wszystkie swoje środki symetrii.

  • [(I)$ _1 $] Jeśli $ H $ jest opisana równaniem kanonicznym typu $ (AI)_1 $, to $ H $ ma środek symetrii i nie zawiera żadnego swojego środka symetrii.
  • [(II)] Jeśli $ H $ jest opisana równaniem kanonicznym typu $ (AII) $, to $ H $ nie ma środków symetrii.

Na zakończenie tej części podamy kilka uwag dotyczących hiperpowierzchni właściwych w przestrzeni euklidesowej $ E $.

Podobnie jak w Twierdzeniu [link], dowodzi się, że każda taka hiperpowierzchnia jest opisana w pewnym prostokątnym układzie współrzędnych $ \ta_q $ równaniem $ f(Z)=0 $, gdzie $ f $ jest jedną z funkcji występujących w Twierdzeniu [link]. Z Twierdzenia [link] wynika, że takie równanie jest wyznaczone z dokładnością do stałej $ \la\in\R $.

Uznając dwa takie proporcjonalne równania za równoważne, dowodzi się, podobnie jak w Twierdzeniu [link], następujące twierdzenie.

Twierdzenie (#) Hiperpowierzchnie właściwe $ H,H' $ w przestrzeni euklidesowej $ E $ są izometryczne wtedy i tylko wtedy, gdy w pewnych prostokątnych układach współrzędnych są opisane równoważnymi równaniami.