Kombinacje afiniczne

Przeniesiemy teraz do przestrzeni afinicznych operację środka ciężkości układu punktów z wagami, odgrywającą ważną rolę w geometrii.

Uwaga Niech $ (p_0,\ldots,p_n) $ będzie układem punktów w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \K $ i niech $ a_0,\ldots,a_n\in\K $ będą skalarami o sumie $ \sum_{j=0}^na_j=1 $. Wówczas, dla dowolnego punktu początkowego $ p\in E $, punkt

$ (\ast) $ $ q=p+\sum_{j=0}^n a_j\ve{pp_j} $

spełnia warunek

$ (\ast\ast)<table class="displaymath"><tr><td class="dspleft"><img class="teximage" src="/sites/default/files/tex/1408974249228fb882a5f373b10cb6d7342efa0b.png" alt="7ce0137c7ca6e265c85c7f55143141b7:0:" /></td><td class="dspright"></td></tr></table>\af(p_0,\ldots,p_n)=p_0+\lin(\ve{p_0p_1},\ldots,\ve{p_0p_n}). $$ Co więcej, $ \af(p_0,\ldots,p_n) $ jest najmniejszą podprzestrzenią afiniczną $ E $ zawierającą wszystkie punkty $ p_j $.

Dowód: Ponieważ $ \ve{p_0p_0}=\0 $, z wzoru $ (\ast) $ dla $ p=p_0 $ dostajemy

$ \af(p_0,\ldots,p_n)=\set{p_0+\sum_{j=0}^n a_j\ve{p_0p_j}:\sum_{j=0}^n a_j=1}= \set{p_0+(a_0\ve{p_0p_0}+\sum_{j=1}^n a_j\ve{p_0p_j}):\sum_{j=0}^n a_j=1}=\set{p_0+\sum_{j=1}^n a_j\ve{p_0p_j}: a_1,\ldots,a_n\in\K}= p_0+\lin(\ve{p_0p_1},\ldots,\ve{p_0p_n}) $.

W szczególności, $ p_0\in\af(p_0,\ldots,p_n) $, a ponieważ powłoka afiniczna układu punktów nie zależy od ich kolejności, mamy stąd $ p_j\in\af(p_0,\ldots,p_n) $ dla $ j\leq n $. Podprzestrzenie afiniczne w $ E $ są zamknięte ze \nolinebreak względu na kombinacje afiniczne, więc $ \af(p_0,\ldots,p_n) $ jest najmniejszą podprzestrzenią afiniczną $ E $ zawierającą wszystkie $ p_j $. □

Definicja Mówimy, że układ punktów $ (p_0,\ldots,p_n) $ w przestrzeni afinicznej $ E $ jest afinicznie niezależny jeśli podprzestrzeń $ \af(p_0,\ldots,p_n) $ ma wymiar $ n $.
Uwaga Z Twierdzenia [link] wynika, że afiniczna niezależność układu punktów $ (p_0,\ldots,p_n) $ jest równoważna liniowej niezależności układu wektorów $ (\ve{p_0p_1},\ldots,\ve{p_0p_n}) $, przy czym $ p_0 $ można zastąpić dowolnym innym punktem układu, bo powłoka afiniczna nie zależy od kolejności punktów układu.