Kombinacje liniowe

Kombinacje liniowe pojawiły się już przy okazji omawiania układów równań liniowych.

Definicja (#) Kombinacją liniową wektorów układu $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ z przestrzeni liniowej $ V $ nad ciałem $ \K $ o współczynnikach $ x_1,\ldots,x_n $ $ ( $z $ \K) $ nazywamy wektor $ \sum_{j=1}^n x_j\al_j= x_1\al_1+\ldots+x_n\al_n\in V $. Powłoką liniową układu $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ nazywamy zbiór $ \lin(\al_1,\ldots,\al_n) $ wszystkich kombinacji liniowych tego układu.
Uwaga (#) Wygodnie jest założyć, że jedyną kombinacją układu pustego (nie zawierającego żadnego wektora) jest wektor zerowy. W szczególności $ \lin(\emptyset)=\set{\0} $.
Uwaga (#) W definicji podprzestrzeni przestrzeni liniowej $ V $ warunki $ (+) $ i $ (\cdot) $ dla $ W\subset V $ można zastąpić mocniejszym warunkiem

$ x_1\al_1+\ldots+x_n\al_n\in W $      dla      $ x_1,\ldots,x_n\in\K $, $ \al_1,\ldots,\al_n\in W $,

który wynika z $ (+) $ i $ (\cdot) $ przez indukcję ze względu na $ n\geq 1 $.

Twierdzenie (#) Powłoka liniowa $ \lin(\al_1,\ldots,\al_n) $ układu wektorów w przestrzeni $ V $ jest najmniejszą podprzestrzenią przestrzeni $ V $ zawierającą wektory $ \al_j $, $ j=1,\ldots,n $.
Dowód: Suma dwóch kombinacji liniowych wektorów $ \al_1,\ldots,\al_n $ oraz wynik pomnożenia takiej kombinacji przez skalar jest kombinacją liniową wektorów $ \al_1,\ldots,\al_n $:

$ (+) $      $ \sum_{j=1}^n x_j\al_j+\sum_{j=1}^n y_j\al_j=\sum_{j=1}^n (x_j+y_j)\al_j $\,; $ (\cdot) $     $ c\sum_{j=1}^n x_j\al_j=\sum_{j=1}^n (cx_j)\al_j $.

Wynika stąd, że $ \lin(\al_1,\ldots,\al_n) $ jest podprzestrzenią liniową $ V $ zawierającą wszystkie wektory $ \al_j $.

Z drugiej strony, jeśli podprzestrzeń liniowa $ W $ przestrzeni $ V $ zawiera $ \al_1,\ldots,\al_n $, to zawiera też wszystkie kombinacje liniowe tych wektorów, zob.\ [link], a więc $ \lin(\al_1,\ldots,\al_n)\subset W $. □

Iloczyn $ AX $ macierzy $ A $ i wektora $ X $ odpowiednich wymiarów wprowadziliśmy w [link], jednak ze względu na wagę tej operacji powtórzymy to w sposób bardziej formalny.

Definicja (#) Iloczynem macierzy $ A=[A_1,\ldots,A_n]\in\M{m}{n}{\K} $ $ ( $gdzie $ A_j $ jest $ j $-tą kolumną $ A) $ i wektora $ X\in\K^n $ o współrzędnych $ x_1,\ldots,x_n $ nazywamy wektor $ AX=\sum_{j=1}^n x_j A_j\in \K^m $.
Uwaga (#) Operacja mnożenia macierzy i wektorów ma następujące własności (zob.\ dowód [link])

$ (+) $      $ AX+AY=A(X+Y) $; $ (\cdot) $     $ c(AX)=A(cX) $,

tzn.\ w terminologii, którą uściślimy poniżej, operacja $ X\to AX $ jest liniowa.

Definicja (#) Mówimy, że układ wektorów $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ z $ V $ rozpina $ V $ jeśli $ V=\lin(\al_1,\ldots,\al_n) $.
Uwaga (#) Układ wektorów $ (A_1,\ldots,A_n) $ z przestrzeni $ \K^m $ rozpina $ \K^m $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ B\in\K^m $ równanie \mbox{$ x_1A_1+\ldots+x_nA_n=B $} jest niesprzeczne, a więc wtedy i tylko wtedy, gdy macierz otrzymana w wyniku redukcji $ A=[A_1,\ldots,A_n] $ do postaci schodkowej ma schodek w każdym wierszu.