Liczby zespolone

Liczby rzeczywiste $ \R $ rozszerzymy dołączając ``liczbę urojoną'' $ \sqrt{-1} $ oznaczaną symbolem $ i $, tak aby na otrzymanych ``liczbach zespolonych'' można było wykonywać algebraiczne operacje dodawania i mnożenia zgodnie ze standardowymi regułami arytmetyki liczb rzeczywistych.

W części [link] pokażemy, że dołączenie $ \sqrt{-1} $ prowadzi do systemu liczbowego, w którym każdy wielomian stopnia dodatniego $ a_0+a_1 x^1+\ldots+a_n x^n $ ma pierwiastek (zasadnicze twierdzenie algebry).

Definicja Liczbami zespolonymi będziemy nazywać wyrażenia postaci $ a+ib $ $ ( $gdzie $ i=\sqrt{-1} $ oraz $ a+ib=c+id \iff a=c $, $ b=d) $ z następującymi operacjami dodawania $ \oplus $ i mnożenia $ \odot\, $:

$$(a+ib)\oplus(c+id)=(a+c)+i(b+d)\ ;\qquad (a+ib)\odot(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$$

Zbiór liczb zespolonych z tak określonymi działaniami oznaczamy symbolem $ \c $.

Uwaga

  • [(a)] Wyrażenie $ a+i0 $ zapisujemy jako $ a $ i utożsamiamy je z liczbą rzeczywistą $ a $. W ten sposób $ \R\subset \c $, przy czym działania $ \oplus $ i $ \odot $ pokrywają się na $ \R $ ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem.

  • [(b)] %Wyrażenie $ 0+ib $, $ b\neq 0 $ zapisujemy jako $ ib $ $ (i $ jeśli $ b=1) $; w szczególności $ i\odot i = -1 $, tzn.\ $ i^2=-1 $ w $ \c $. Zamiast $ 0+ib $, $ b\neq 0 $ piszemy $ ib $ (lub $ i $ jeśli $ b=1) $; w szczególności $ i\odot i = -1 $, tzn.\ $ i^2=-1 $ w $ \c $.
  • [(c )] Liczbę zespoloną $ z=a+ib $ można interpretować jako punkt $ (a,b) $ płaszczyzny kartezjańskiej. Współrzędne $ a,b $ tego punktu będziemy nazywać odpowiednio {\em częścią rzeczywistą} $ \Re z $ i {\em częścią urojoną} $ \Im z $ liczby $ z $
Uwaga (#)Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych spełniają standardowe reguły arytmetyki liczb rzeczywistych, mają elementy neutralne ze względu na dodawanie i mnożenie (zero i jedynkę); w $ \c $ wykonlne są operacje odejmowania i dzielenia przez liczby różne od zera:

\[ \begin{tabular}{l[1cm]lll} (1)& przemienność  &$\ z_1\oplus z_2=z_2\oplus z_1$,&$\ z_1\odot z_2= z_2\odot z_1$;\\ (2)& łączność &$(z_1\oplus z_2)\oplus z_3=z_1\oplus(z_2\oplus z_3)$, & $(z_1\odot z_2)\odot z_3=z_1\odot (z_2\odot z_3)$;\\ (3)& elementy neutralne &$0$ dla dodawania: $z\oplus 0=z$,& $1$ dla mnożenia: $1\odot z=z$;\\ (4)&istnienie elementu &przeciwnego $-z$: $z\oplus -z=0$& odwrotnego $z^{-1}$, dla $z\neq 0$: $z\odot z^{-1}=1$\\ && $-(a+ib)=(-a)+i(-b)$,& $a+ib\neq0$, to $(a+ib)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2})+i(\frac{-b}{a^2+b^2})$;\\ \vspace{15pt} (5)&rozdzielność&  mnożenia względem dodawania& $z_1\odot (z_2\oplus z_3)=z_1\odot z_2\oplus z_1\odot z_3$. \end{tabular}\vspace{-25pt} \]

W dalszym ciągu zamiast $ \oplus $ i $ \odot $ będziemy używali zwykłych symboli dodawania i mnożenia w $ \R $. Odejmowanie definiujemy jako dodanie liczby przeciwnej $ z_1-z_2=z_1+(-z_2) $, dzielenie jako mnożenie przez liczbę odwrotną $ {z_1}:{z_2}=\frac{z_1}{z_2}=z_1(z_2^{-1}) $, $ n $-tą potęgę $ z^n $ jako iloczyn $ n $ egzemplarzy liczby $ z $, dla $ n>0 $, $ z^0=1 $ i $ z^{-n}=(z^{-1})^n $, tzn.\ rozszerzamy na $ \c $ konwencje związane z działaniami w $ \R $.