Liniowa niezależność

Liniowa niezależność jest centralnym pojęciem związanym z przestrzeniami liniowymi.

Definicja (#) Układ wektorów $ (\al_1,\ldots,\al_k) $ w przestrzeni liniowej $ V $ nad ciałem $ \K $ nazywamy liniowo niezależnym jeśli z $ a_1\al_1+\ldots+a_k\al_k=\0 $ wynika, że $ a_1=\ldots =a_k=0 $. Układ, który nie jest liniowo niezależny nazywamy zależnym.
Uwaga (#) Liniowa niezależność układu $ (\al_1,\ldots,\al_k) $ oznacza, że każdy wektor $ \al\in\lin(\al_1,\ldots,\al_k) $ można zapisać w postaci kombinacji liniowej $ \al=a_1\al_1+\ldots+a_k\al_k $ tylko w jeden sposób (później będziemy interpretowali współczynniki $ a_j $ jako współrzędne wektora $ \al $ względem układu $ (\al_1,\ldots,\al_k) $). Istotnie, jeśli mamy także $ \al={b}_1\al_1+\ldots+{b}_k\al_k $, to $ \0=(a_1-{b}_1)\al_1+\ldots+(a_k-{b}_k)\al_k=\0 $, a liniowa niezależność oznacza, że $ \0 $ może być zapisane tylko jako kombinacja liniowa $ \al_j $ o zerowych współczynnikach.
Twierdzenie (#) Dla układu wektorów $ (\al_1,\ldots,\al_k) $ w przestrzeni liniowej $ V $ nad ciałem $ \K $ następujące warunki są równoważne.

  • [$ (i) $] Układ $ (\al_1,\ldots,\al_k)  $ jest liniowo niezależny.

  • [$ (ii) $] Żaden z wektorów $ \al_j $ nie jest kombinacją liniową pozostałych $ ( $to znaczy $ \al_j\not\in\lin(\al_i)_{i\neq j} $ dla $ j=1,\ldots,k) $.
  • [$ (iii) $] Żaden z wektorów $ \al_j $ nie jest kombinacją liniową poprzednich wektorów\\ $ ( $to znaczy $ \al_1\neq\0 $ i $ \al_j\not\in\lin(\al_1,\ldots,\al_{j-1}) $ dla $ j=2,\ldots,k) $.
Dowód: Dla dowodu $ (i)\Rightarrow(ii) $ załóżmy negację $ (ii) $, czyli istnienie $ j\geq 1 $ takiego, że $ \al_j=\sum_{i\neq j}a_i\al_i $ dla pewnego układu skalarów $ (a_i)_{i\neq j} $. Wtedy $ -\al_j+\sum_{i\neq j}a_i\al_i=\0 $ jest nietrywialnym przedstawieniem wektora zerowego, co przeczy $ (i) $.

Implikacja $ (ii)\Rightarrow(iii) $ jest oczywista.

Dla dowodu $ (iii)\Rightarrow(i) $ rozważmy kombinację $ \sum_{i\leq k} a_i\al_i=\0 $. Gdyby nie wszystkie współczynniki $ a_i $ były zerowe, to dla $ j=\max\{i:a_i\neq\0\} $ mielibyśmy $ \al_j=\sum_{i<j}\frac{-a_i}{a_j}\al_i $, co przeczyłoby $ (iii) $. □

Uwaga (#) Liniowa niezależność układu $ (A_1,\ldots,A_k) $ w $ \K^m $ oznacza, że równanie $ \sum_{i=1}^kx_iA_i= \0 $ ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli w wyniku redukcji macierzy $ A=[A_1,\ldots,A_k] $ do postaci schodkowej otrzymamy macierz $ A' $, mającą schodek w każdej kolumnie (w szczególności $ k\leq m $).

Równoważność warunków $ (i) $ i $ (iii) $ jest dla takiego układu oczywista, bo macierz $ A' $ ma schodek w $ j $-tej kolumnie wtedy i tylko wtedy, gdy równanie $ \sum_{i<j}x_iA_i=A_j $ jest sprzeczne, czyli $ A_j\not\in\lin(A_i)_{i<j} $.