Liniowe przestrzenie euklidesowe

W tym rozdziale rozpatrujemy wyłącznie skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe nad ciałem liczb rzeczywistych.

Wzorując się na własnościach algebraicznych iloczynu skalarnego wektorów rozpatrywanego w geometrii, wyróżnimy pewne przekształcenia $ \is{\ }{\,}:V\times V \to \R $, które pozwalają na określenie prostopadłości wektorów i długości wektorów, przy czym spełnione jest twierdzenie Pitagorasa o długości boków trójkątów prostokątnych. Wprowadzone w ten sposób liniowe przestrzenie euklidesowe $ (V,\is{\ }{\,}) $, dla wymiarów $ 2 $ i $ 3 $ można utożsamiać, ze względu na własności algebraiczne i geometryczne, z przestrzenią wektorów płaszczyzny euklidesowej lub trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, odpowiednio.