Macierz przekształcenia

Opiszemy teraz przejście od dowolnych przestrzeni liniowych do przestrzeń współrzędnych odwołując się do istnienia izomorfizmu przestrzeni liniowej na przestrzeń współrzędnych odpowiedniego wymiaru.

Dla wyróżnienia takich izomorfizmów, będziemy je oznaczali greckimi literami $ \si,\ta $.

Definicja (#) Izomorfizmy $ n $-wymiarowej przestrzeni $ V $ nad $ \K $ na przestrzeń $ \K^n $ nazywamy układami współrzędnych w $ V $. Układem współrzędnych związanym z bazą $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ w $ V $ nazywamy izomorfizm $ \si: V\to \K^n $ przeprowadzający $ \al_j $ na $ \ep_j $, $ j=1,\ldots,n $.
Uwaga

  • [(a)] Układ współrzędnych $ \si $ związany z bazą $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ przestrzeni $ V $ przeprowadza wektor $ \al=\sum_{j=1}^n x_j\al_j\in V $ na wektor $ X=\sum_{j=1}^n x_j\ep_j\in\K^n $ współrzędnych $ \al $ w tej bazie.
  • [(b)] Dowolny układ współrzędnych $ \si:V\to \K^n $ jest związany z bazą $ (\si^{-1}(\ep_1),\ldots,\si^{-1}(\ep_n)) $,
  • [(c)] Jeśli $ \si,\si':V\to \K^n $ są układami współrzędnych w $ V $, to złożenie $ \si'\circ\si^{-1}:\K^n\to\K^n $ zmienia współrzędne $ \si(\al) $ wektora $ \al $ w $ \si $ na współrzędne $ \al $ w $ \si' $ (bo $ \si'\circ\si^{-1}(\si(\al))=\si'(\al) $).

Pokażemy teraz jak wybór układów współrzędnych w $ V $ i $ W $ pozwala przyporządkować każdemu przekształceniu liniowemu $ \vp:V\to W $ jego macierz w tych układach współrzędnych.

Definicja Niech $ \si:V\to\K^n $ będzie układem współrzędnych w $ V $, a $ \ta:W\to\K^m $ układem współrzędnych w $ W $. Macierzą przekształcenia liniowego $ \vp:V\to W $ w układach $ \si $, $ \ta $ nazywamy macierz $ \MP{\si}{\ta}{\vp}=M(\ta\circ\vp\circ\si^{-1}) $, gdzie $ \ta\circ\vp\circ\si^{-1}:\K^n\to\K^m $.
Uwaga (#) Niech $ \vp: V\to W $ będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni $ V $ z bazą $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ związaną z układem współrzędnych $ \si:V\to \K^n $ i niech $ \ta:W\to \K^m $ będzie układem współrzędnych w $ W $. Wtedy

  • [(a)] $ \MP{\si}{\ta}{\vp}=[\ta(\vp(\al_1)),\ldots,\ta(\vp(\al_n))] $ (bo $ \ta\circ\vp\circ\si^{-1}(\ep_j)=\ta(\vp(\al_j)) $ dla $ j=1,\ldots,n) $,

  • [(b)] $ \MP{\si}{\ta}{\vp}\cdot\si(\al)=\ta(\vp(\al)) $ dla $ \al\in V $ (bo $ \ta\circ\vp\circ\si^{-1}(\si(\al))=\ta(\vp(\al)) $).

Dla ustalonych układów współrzędnych $ \si: V\to \K^n $ i $ \ta:W\to \K^m $ przyporządkowanie przekształceniu liniowemu $ \vp\in\ho{V}{W} $ złożenia $ \ta\circ T\circ\si^{-1}:\K^n\to\K^m $ jest izomorfizmem liniowym $ \ho{V}{W} $ na $ \ho{\K^n}{\K^m} $. Z Twierdzenia [link] wynika więc

Twierdzenie Dla ustalonych układów współrzędnych $ \si: V\to \K^n $ i $ \ta:W\to \K^m $ przyporządkowanie przekształceniu liniowemu $ \vp\in\ho{V}{W} $ jego macierzy $ \MP{\si}{\ta}{\vp} $ jest izomorfizmem liniowym przestrzeni przekształceń $ \ho{V}{W} $ na przestrzeń macierzy $ \M{m}{n}{\K} $.