Macierz stowarzyszona i wzory Cramera

Ważną rolę (choć nie przy obliczeniach) odgrywa macierz $ \adj A $ stowarzyszona z macierzą kwadratową $ A $, zdefiniowana przy pomocy wyznaczników, która po pomnożeniu przez $ A $ daje macierz $ \det A\cdot I $. Przy pomocy macierzy stowarzyszonej otrzymuje się wzory Cramera opisujące w terminach wyznaczników rozwiązania układów równań $ AX=B $ z macierzą odwracalną $ A $ (układy Cramera).

Ustalmy macierz $ A=[A_1,\ldots,A_n]=[a_{ij}]\in \M{n}{n}{\K} $ i przypomnijmy, że w części [link] zdefiniowaliśmy $ \MI{A}{ij} $ jako macierz otrzymaną z $ A $ przez skreślenie $ i $-tego wiersza i $ j $-tej kolumny.

Definicja (#) Macierzą stowarzyszoną z $ A $ nazywamy macierz $ \adj A= [\hat{a}_{ij}]^T $, gdzie $ \hat{a}_{ij}=(-1)^{i+j}\det \MI{A}{ij} $.

Dla $ B\in\K^n $ mamy

$ (\ast\ast) $ $ \adj A\cdot B= \mk{c}{\det [B,A_2,\ldots,A_n]\\ \det [A_1,B,\ldots,A_n]\\ \vdots\\ \det [A_1,A_2,\ldots,B]} $.

Wzór $ (\ast\ast) $ wynika z Twierdzenia [link], bo dla $ B=[b_1,b_2,\ldots,b_n]^T $

$ \mk{ccccc}{ (-1)^{1+1}\det \MI{A}{11}&\ldots&(-1)^{n+1}\det \MI{A}{n1}\\ (-1)^{1+2}\det \MI{A}{12}&\ldots&(-1)^{n+2}\det \MI{A}{n2}\\ \vdots &   & \vdots \\ (-1)^{1+n}\det \MI{A}{1n}&\ldots&(-1)^{n+n}\det \MI{A}{nn}} \mk{c}{b_1\\b_2\\\vdots\\b_n}= \mk{c}{\sum_{i=1}^n  (-1)^{i+1} b_i\det \MI{A}{i1}\\ \sum_{i=1}^n  (-1)^{i+2} b_i\det \MI{A}{i2}\\ \vdots\\ \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} b_i\det \MI{A}{in}}= \mk{c}{\det [B,A_2,\ldots,A_n]\\ \det [A_1,B,\ldots,A_n]\\ \vdots\\ \det [A_1,A_2,\ldots,B]} $.

W szczególności $ \adj A\cdot A=[\adj A\,A_1,\ldots,\adj A\,A_n]=(\det A)I_n $, więc dostajemy

Twierdzenie Jeśli $ A $ jest macierzą odwracalną, to $ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\adj A $.

Rozwiązanie $ X=[x_1,\ldots,x_n]^T $ układu Cramera $ AX = B $ ma postać $ X = A^{-1}B=\frac{1}{\det A} (\adj A\,B) $. Zatem z $ (\ast\ast) $ dostajemy wzory Cramera:

$$x_1 = \frac{\det [B,A_2,\ldots,A_n]}{\det A}\, , \ \ x_2 = \frac{\det [A_1,B,\ldots,A_n]}{\det A}\, ,\ldots\, ,\ \ x_n = \frac{ \det [A_1,A_2,\ldots,B]}{\det A}\ .$$