Obliczanie wyznaczników

Z jednoznaczności w Twierdzeniu [link] wynika, że $ d_j(A)=\det A $ dla funkcji $ d_j $ zdefiniowanych w dowodzie istnienia. Otrzymujemy więc

Twierdzenie (Rozwinięcie Laplace'a względem $ j $-tej kolumny).(#) Dla $ A=[a_{ij}]\in\M{n}{n}{\K} $

$ \det A=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det \MI{A}{ij}. $

Przykład Rozwijając względem pierwszej kolumny dostajemy dla $ n=2 $ wzór

$$det \left[\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\  \end{array}\right]=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},$$

a dla $ n=3 $ wzór Sarrusa

\m$ det\left[\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\  \end{array}\right]= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31} -a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}. $

Uwaga Wyznacznik $ (n\times n) $-macierzy dla $ n>3 $ można obliczyć zmniejszając wymiar macierzy przy pomocy rozwinięcia Laplace'a, lub redukując tę macierz do postaci schodkowej (macierz kwadratową w postaci schodkowej nazywamy górnie trójkątną). Wzory $ (\ast) $ w części [link] pozwalają powiązać wyznacznik macierzy wyjściowej z wyznacznikiem macierzy trójkątnej, który łatwo obliczyć korzystając z punktu $ (a) $ poniżej.

  • [(a)] Wyznacznik macierzy górnie trójkątnej jest iloczynem wyrazów na przekątnej (czyli dla $ A=[a_{ij}] $ takiej, że $ a_{ij}=0 $ dla $ i>j $, $ \det A=a_{11}\cdot\ldots\cdot a_{nn} $). Istotnie, rozwijając $ \det A $ względem pierwszej kolumny dostajemy wzór dający krok indukcyjny dowodu.

  • [(b)] Dla macierzy blokowo trójkątnej $ A=\mk{c|c}{A_1&\ast\\\hline\0&A_2} $, gdzie $ A_i\in\M{n_i}{n_i}{\K} $, mamy $ \det A=\det A_1\det A_2 $ (bo zgodnie z Uwagą [link] macierze $ [A_1|\ \ast\ ]\in\M{n_1}{n}{\K} $ i $ [\ \0\ |A_2]\in\M{n_2}{n}{\K} $ można doprowadzić do postaci schodkowej operacjami pierwszego rodzaju na wierszach, które nie zmieniają wyznaczników).

\mPokażemy teraz, że przy obliczaniu wyznaczników wiersze odgrywają taką samą rolę jak kolumny, a zera pod przekątna taką samą rolę jak zera nad przekątną.

Twierdzenie Dla $ A\in\M{n}{n}{\K} $ \ $ \det A=\det A^T $.
Dowód: Jeśli $ \r A<n $, to $ \r A^T<n $ i oba wyznaczniki są zerami.

Jeśli $ \r A=n $, to z Wniosku [link], $ A $ rozkłada się na iloczyn $ A=M_p\ldots M_1 $ macierzy elementarnych. Zgodnie z Uwagą [link] (c), $ A^T=M_1^T\ldots M_p^T $, więc korzystając z Uwagi [link] (b), wystarczy zauważyć, że $ \det M=\det M^T $ dla macierzy elementarnych $ M $. □

Rozwinięcia Laplace'a $ \det A^T $ względem $ i $-tej kolumny macierzy $ A^T $ daje wzór na rozwinięcie $ \det A $ względem $ i $-tego wiersza macierzy $ A $.

Twierdzenie (Rozwinięcie Laplace'a względem $ i $-tego wiersza). Dla $ A=[a_{ij}]\in\M{n}{n}{\K} $

$ \det A=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det \MI{A}{ij} $.

Wyznacznik pozwala określić znak permutacji, co prowadzi do formuły uogólniającej wzór Sarrusa.

Niech $ S_n $ będzie zbiorem wszystkich bijekcji zbioru $ \set{1,2,\ldots,n} $ na siebie - permutacji. Każdej permutacji $ \pi\in S_n $ odpowiada macierz $ E_\pi=[\ep_{\pi(1)},\ep_{\pi(2)},\ldots,\ep_{\pi(n)}] $, której wyznacznik $ \det E_\pi\in\{1,-1\} $ nazywamy znakiem permutacji $ \pi $ i oznaczamy symbolem $ {\rm sgn}(\pi) $ (łatwo upewnić się, że znak $ \pi $ określa parzystość liczby transpozycji przeprowadzających $ \pi $ na identyczność - dla $ {\rm sgn}(\pi)=1 $ ta liczba jest parzysta, a dla $ {\rm sgn}(\pi)=-1 $, nieparzysta).

Twierdzenie (#) Dla macierzy $ A=[a_{ij}] \in \M{n}{n}{\K} $

$$\det A=\sum_{\pi\in S_n}{\rm sgn}(\pi)a_{\pi(1) 1}a_{\pi(2) 2}\ldots a_{\pi(n) n}.$$
Dowód: Niech $ A=[A_1,\ldots,A_n]=[a_{ij}] \in \M{n}{n}{\K} $. Wtedy $ A_j=\sum_{i=1}^n a_{ij}\ep_i $ i z liniowości wyznacznika względem kolejnych kolumn mamy

$ \det A= \det [\sum_{i=1}^n a_{i1}\ep_i,\sum_{i=1}^n a_{i2}\ep_i,\ldots,\sum_{i=1}^n a_{in}\ep_i]=\\ \hspace*{60pt}\sum_{i_1=1}^n a_{i_11}\det[\ep_{i_1},\sum_{i=1}^n a_{i2}\ep_i,\ldots,\sum_{i=1}^n a_{in}\ep_i]=\\ \hspace*{60pt}\sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n a_{i_1 1}a_{i_2 2}\det[\ep_{i_1},\ep_{i_2},\ldots,\sum_{i=1}^n a_{in}\ep_i]=\\ \hspace*{300pt}\ldots=\\ \hspace*{60pt}\sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n\ldots \sum_{i_n=1}^n a_{i_1 1}a_{i_2 2}\ldots a_{i_n n} \det[\ep_{i_1},\ep_{i_2},\ldots,\ep_{i_n}] $.

Teza wynika z faktu, że występujące we wzorze wyznaczniki $ \det[\ep_{i_1},\ep_{i_2},\ldots,\ep_{i_n}] $ są zerowe jeśli $ i_j=i_k $ dla pewnych $ j\neq k $, więc sumowanie można ograniczyć do ciągów różnowartościowych $ (i_1,\ldots,i_n) $, czyli permutacji zbioru $ \{1,\ldots,n\} $. □