Orientacja liniowej przestrzeni euklidesowej | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Powiemy, że macierz $A\in\M{n}{n}{\R}$ jest nieosobliwa jeśli $\det A\neq 0$ (równoważnie, macierz $A$ jest odwracalna, zob.\ Uwaga [link]).

Drogą nieosobliwą w $\M{n}{n}{\R}$ łączącą macierze nieosobliwe $A,B\in\M{n}{n}{\R}$ będziemy nazywali przyporządkowanie każdemu $t$ z przedziału $[0,1]\subset\R$ macierzy nieosobliwej $A(t)=[a_{ij}(t)]_{ij=1}^n$ takie, że $A(0)=A$ , $A(1)=B$ i każda z funkcji $a_{ij}$ jest ciągła.

Funkcja $\det A(t)$ jest wtedy ciągła i nie zeruje się na $[0,1]$ , więc $\det A$ , $\det B$ mają ten sam znak.

Pokażemy, że z równości znaków wyznaczników wynika istnienie takiej drogi: jeśli $\det A>0$ , to istnieje nieosobliwa droga łącząca macierz $A$ z macierzą jednostkową $I_n$ ; jeśli dodatkowo macierz $A$ jest ortogonalna, to istnieje taka droga złożona z macierzy ortogonalnych.

Załóżmy najpierw, że $A$ jest macierzą ortogonalną. Z Wniosku [link] istnieje macierz ortogonalna $C$ taka, że $J=C^TA\,C$ ma na przekątnej macierze obrotów i jedynki ( $2$ wyrazy $-1$ na przekątnej $J$ określają obrót o kąt $\pi$ w odpowiedniej płaszczyźnie). Ponieważ macierz obrotu $\R^2$ o kąt $\theta$ można połączyć (mnożąc kąt obrotu przez 1-t) z macierzą $I_2$ , istnieją macierze ortogonalne $J(t)$ tworzące drogę łączącą $J$ z $I_n$ . Macierze $CJ(t)\,C^T$ są wtedy ortogonalne i określają drogę łączącą $A$ z $I_n$ .

Dla odwracalnej macierzy $A$ nietrudno zauważyć, interpretując geometrycznie kolejne kroki procesu ortonormalizacji Grama-Schmidta układu kolumn $A$ , że powstającą w tym procesie macierz ortogonalną można połączyć drogą nieosobliwą z macierzą $A$ . Wraz z wcześniejszą obserwacją daje to nieosobliwą drogę łączącą macierz $A$ z $I_n$ .

Istnienie takich dróg pozwala na następującą interpretację orientacji w liniowej przestrzeni euklidesowej $\R^n$ : baza $(A_1,\ldots,A_n)$ jest zorientowana zgodnie z bazą standardową $(\ep_1,\ldots,\ep_n)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $t$ z przedziału $[0,1]$ istnieje baza $(A_1(t),\ldots,A_n(t))$ taka, że $A_j(0)=A_j$ , $A_j(1)=\ep_j$ oraz współrzędne wektorów $A_j(t)$ zależą od $t$ w sposób ciągły. Co więcej, dla ortonormalnej bazy $(A_1,\ldots,A_n)$ istnieją takie bazy $(A_1(t),\ldots,A_n(t))$ , które są dodatkowo ortonormalne.