Orientacja liniowej przestrzeni euklidesowej

Powiemy, że macierz $ A\in\M{n}{n}{\R} $ jest nieosobliwa jeśli $ \det A\neq 0 $ (równoważnie, macierz $ A $ jest odwracalna, zob.\ Uwaga [link]).

Drogą nieosobliwą w $ \M{n}{n}{\R} $ łączącą macierze nieosobliwe $ A,B\in\M{n}{n}{\R} $ będziemy nazywali przyporządkowanie każdemu $ t $ z przedziału $ [0,1]\subset\R $ macierzy nieosobliwej $ A(t)=[a_{ij}(t)]_{ij=1}^n $ takie, że $ A(0)=A $, $ A(1)=B $ i każda z funkcji $ a_{ij} $ jest ciągła.

Funkcja $ \det A(t) $ jest wtedy ciągła i nie zeruje się na $ [0,1] $, więc $ \det A $, $ \det B $ mają ten sam znak.

Pokażemy, że z równości znaków wyznaczników wynika istnienie takiej drogi: jeśli $ \det A>0 $, to istnieje nieosobliwa droga łącząca macierz $ A $ z macierzą jednostkową $ I_n $; jeśli dodatkowo macierz $ A $ jest ortogonalna, to istnieje taka droga złożona z macierzy ortogonalnych.

Załóżmy najpierw, że $ A $ jest macierzą ortogonalną. Z Wniosku [link] istnieje macierz ortogonalna $ C $ taka, że $ J=C^TA\,C $ ma na przekątnej macierze obrotów i jedynki ($ 2 $ wyrazy $ -1 $ na przekątnej $ J $ określają obrót o kąt $ \pi $ w odpowiedniej płaszczyźnie). Ponieważ macierz obrotu $ \R^2 $ o kąt $ \theta $ można połączyć (mnożąc kąt obrotu przez 1-t) z macierzą $ I_2 $, istnieją macierze ortogonalne $ J(t) $ tworzące drogę łączącą $ J $ z $ I_n $. Macierze $ CJ(t)\,C^T $ są wtedy ortogonalne i określają drogę łączącą $ A $ z $ I_n $.

Dla odwracalnej macierzy $ A $ nietrudno zauważyć, interpretując geometrycznie kolejne kroki procesu ortonormalizacji Grama-Schmidta układu kolumn $ A $, że powstającą w tym procesie macierz ortogonalną można połączyć drogą nieosobliwą z macierzą $ A $. Wraz z wcześniejszą obserwacją daje to nieosobliwą drogę łączącą macierz $ A $ z $ I_n $.

Istnienie takich dróg pozwala na następującą interpretację orientacji w liniowej przestrzeni euklidesowej $ \R^n $: baza $ (A_1,\ldots,A_n) $ jest zorientowana zgodnie z bazą standardową $ (\ep_1,\ldots,\ep_n) $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ t $ z przedziału $ [0,1] $ istnieje baza $ (A_1(t),\ldots,A_n(t)) $ taka, że $ A_j(0)=A_j $, $ A_j(1)=\ep_j $ oraz współrzędne wektorów $ A_j(t) $ zależą od $ t $ w sposób ciągły. Co więcej, dla ortonormalnej bazy $ (A_1,\ldots,A_n) $ istnieją takie bazy $ (A_1(t),\ldots,A_n(t)) $, które są dodatkowo ortonormalne.