Powiemy, że macierz jest nieosobliwa jeśli
(równoważnie, macierz
jest odwracalna, zob.\ Uwaga [link]).
Drogą nieosobliwą w łączącą macierze nieosobliwe
będziemy nazywali przyporządkowanie każdemu
z przedziału
macierzy nieosobliwej
takie, że
,
i każda z funkcji
jest ciągła.
Funkcja jest wtedy ciągła i nie zeruje się na
, więc
,
mają ten sam znak.
Pokażemy, że z równości znaków wyznaczników wynika istnienie takiej drogi: jeśli , to istnieje nieosobliwa droga łącząca macierz
z macierzą jednostkową
; jeśli dodatkowo macierz
jest ortogonalna, to istnieje taka droga złożona z macierzy ortogonalnych.
Załóżmy najpierw, że jest macierzą ortogonalną. Z Wniosku [link] istnieje macierz ortogonalna
taka, że
ma na przekątnej macierze obrotów i jedynki (
wyrazy
na przekątnej
określają obrót o kąt
w odpowiedniej płaszczyźnie). Ponieważ macierz obrotu
o kąt
można połączyć (mnożąc kąt obrotu przez 1-t) z macierzą
, istnieją macierze ortogonalne
tworzące drogę łączącą
z
. Macierze
są wtedy ortogonalne i określają drogę łączącą
z
.
Dla odwracalnej macierzy nietrudno zauważyć, interpretując geometrycznie kolejne kroki procesu ortonormalizacji Grama-Schmidta układu kolumn
, że powstającą w tym procesie macierz ortogonalną można połączyć drogą nieosobliwą z macierzą
. Wraz z wcześniejszą obserwacją daje to nieosobliwą drogę łączącą macierz
z
.
Istnienie takich dróg pozwala na następującą interpretację orientacji w liniowej przestrzeni euklidesowej : baza
jest zorientowana zgodnie z bazą standardową
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
z przedziału
istnieje baza
taka, że
,
oraz współrzędne wektorów
zależą od
w sposób ciągły. Co więcej, dla ortonormalnej bazy
istnieją takie bazy
, które są dodatkowo ortonormalne.