Dwa wektory w geometrii są prostopadłe jeśli ich iloczyn skalarny jest zerem. Tę własność przyjmiemy jako określenie prostopadłości wektorów w liniowych przestrzeniach euklidesowych, przy czym zgodnie z \nolinebreak powszechnie przyjętą terminologią, będziemy raczej mówili o ortogonalności.



Ortogonalność podprzestrzeni przestrzeni
,
, oznacza, że
dla dowolnych
i \nolinebreak
. W szczególności, ortogonalność wektora
do podprzestrzeni
,
oznacza, że
.





mówić, że jest sumą ortogonalną podprzestrzeni
i
.
Z własności iloczynu skalarnego i określenia długości wektorów wynika natychmiast formuła Pitagorasa
.
Bez założenia ortogonalności mamy . Definiując kąt między niezerowymi wektorami
jako liczbę
taką, że
(z \nolinebreak nierówności \nolinebreak Schwarza wynika, że ułamek po prawej stronie jest w przedziale
) otrzymujemy stąd twierdzenie cosinusów:

















Pokażemy teraz, że każda liniowa przestrzeń euklidesowa ma bazę ortogonalną. Co więcej, opiszemy procedurę - ortogonalizację Grama-Schmidta pozwalającą przyporządkować każdemu układowi liniowo niezależnemu układ ortogonalny, bez zmiany powłoki liniowej.



![]() |
Wówczas
![]() |






Niech . Sprawdzimy, że
. Istotnie, z (1) i (2),
□
Wyjaśnimy teraz, że w opisanej wyżej procedurze ortogonalizacji, na każdym kroku znajdujemy wektor odejmując od wektora
rzut ortogonalny
na podprzestrzeń rozpiętą przez poprzednie wektory.





\qquad
dla
\qquad
dla
.


![]() |
Podobnie jak w dowodzie [link], dla ,
,
a stąd dla
, czyli (2).
Jeśli , to
i z (2),
, co daje
, czyli (1). □











Tak więc rzut ortogonalny można opisać jako przekształcenie, które dla każdego wektora
wybiera z
(jedyny) wektor
minimalizujący długości
,
.
Jak zobaczymy za chwilę, istnienie rzutu ortogonalnych pozwala uzupełnić każdą podprzestrzeń liniowej przestrzeni euklidesowej składnikiem prostym, ortogonalnym do tej przestrzeni.












Podprzestrzeń nazywamy dopełnieniem ortogonalnym przestrzeni
w
. Zauważmy, że rzut ortogonalny
na
jest rzutem na
równoległym do
zdefiniowanym w [link]. Symetrię względem
równoległą do
nazywamy symetrią ortogonalną względem
.