Ortogonalność w przestrzeniach euklidesowych | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Dwa wektory w geometrii są prostopadłe jeśli ich iloczyn skalarny jest zerem. Tę własność przyjmiemy jako określenie prostopadłości wektorów w liniowych przestrzeniach euklidesowych, przy czym zgodnie z \nolinebreak powszechnie przyjętą terminologią, będziemy raczej mówili o ortogonalności.

Definicja (#) Wektory $\al, \be$ w liniowej przestrzeni euklidesowej są ortogonalne (lub prostopadłe) jeśli $\is{\al}{\be}=0$ , co zapisujemy $\al\perp\be$ .

Ortogonalność podprzestrzeni $U,W$ przestrzeni $V$ , $U\perp W$ , oznacza, że $\ga\perp\be$ dla dowolnych $\ga\in U$ i \nolinebreak $\be\in W$ . W szczególności, ortogonalność wektora $\ga$ do podprzestrzeni $W$ , $\ga\perp W$ oznacza, że $\lin(\ga)\perp W$ .

Uwaga Jeśli $U\perp W$ , to $U\cap W=\set{\0}$ , bo zgodnie z [link] (4), $\al\perp\al$ oznacza, że $\al=\0$ . Jeśli ponadto $V=U\oplus W$ , to będziemy

mówić, że $V$ jest sumą ortogonalną podprzestrzeni $U$ i $W$ .

Z własności iloczynu skalarnego i określenia długości wektorów wynika natychmiast formuła Pitagorasa

$\al\perp \be\quad \iff \quad ||\al-\be||^2=||\al||^2+||\be||^2$ .

Bez założenia ortogonalności mamy $||\al-\be||^2= ||\al||^2+||\be||^2-2\is{\al}{\be}$ . Definiując kąt między niezerowymi wektorami $\al,\be$ jako liczbę $\theta\in[0,\pi]$ taką, że $\cos\theta=\frac{\is{\al}{\be}}{||\al||\,||\be||}$ (z \nolinebreak nierówności \nolinebreak Schwarza wynika, że ułamek po prawej stronie jest w przedziale $[-1,1]$ ) otrzymujemy stąd twierdzenie cosinusów:

$||\al-\be||^2= ||\al||^2+||\be||^2-2\cos\theta\,||\al||\, ||\be||.$

Definicja Układ wektorów $(\al_1,\ldots,\al_n)$ w liniowej przestrzeni euklidesowej $(V,\is{\ }{\,})$ jest ortogonalny jeśli $\al_i\perp\al_j$ dla $i\neq j$ .

Uwaga Ortogonalny układ niezerowych wektorów $(\al_1,\ldots,\al_n)$ jest liniowo niezależny, bo jeśli $\sum_i a_i\al_i=\0$ , to dla każdego $j$ , $\0=\is{\sum_i a_i\al_i}{\al_j}=\sum_i a_i\is{\al_i}{\al_j}=a_j||\al_j||^2$ , a więc $a_j=0$ .

Definicja Ortogonalny układ wektorów niezerowych $(\al_1,\ldots,\al_n)$ w przestrzeni $(V,\is{\ }{\,})$ rozpinający $V$ nazywamy bazą ortogonalną w $V$ ; jeśli dodatkowo $||\al_j||=1$ , $j=1,\ldots,n$ , mówimy, że układ $(\al_1,\ldots,\al_n)$ jest bazą ortonormalną $V$ .

Pokażemy teraz, że każda liniowa przestrzeń euklidesowa ma bazę ortogonalną. Co więcej, opiszemy procedurę - ortogonalizację Grama-Schmidta pozwalającą przyporządkować każdemu układowi liniowo niezależnemu układ ortogonalny, bez zmiany powłoki liniowej.

Twierdzenie (#){(ortogonalizacja Grama-Schmidta).} Niech $(\al_1,\ldots,\al_n)$ będzie liniowo niezależnym układem wektorów w liniowej przestrzeni euklidesowej $(V,\is{\ }{\,})$ . Określmy indukcyjnie wektory $\be_1,\ldots,\be_n$ formułą

$\be_1=\al_1 , \quad \be_{k}= \al_{k}-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{\is{\al_{k}}{\be_i}}{\is{\be_i }{\be_i}}\be_i.$

Wówczas

$w_i\perp w_j \mbox{ dla } i\neq j, \end{equation} \begin{equation} \lin(\be_1,\ldots,\be_j)=\lin(\al_1,\ldots,\al_j),\ j=1,\ldots,n.$

Dowód: Załóżmy, że układ $(\be_1,\ldots,\be_{k-1})$ został już określony tak, że (3) jest spełnione dla $j<k$ . Mamy pokazać, że dla $\be_{k}$ określonego formułą (1) układ $(\be_1,\ldots,\be_{k})$ jest ortogonalny i spełnia (3) dla $j=k$ . Ta ostatnia własność wynika z faktu, że $\be_{k}-\al_{k}\in \lin(\be_1,\ldots,\be_{k-1})=\lin(\al_1,\ldots,\al_{k-1})$ , zob.\ (1).

Niech $j<k$ . Sprawdzimy, że $\be_j\perp\be_{k}$ . Istotnie, z (1) i (2),

$\is{\be_j}{\be_{k}}= \is{\be_j} {\al_{k}-\sum_{i<k} \frac{\is{\al_{k}}{\be_i}}{\is{\be_i}{\be_i}}\be_i}= \is{\be_j}{\al_{k}}-\sum_{i<k} \frac{\is{\al_{k}}{\be_i}}{\is{\be_i}{\be_i}}\is{\be_j}{\be_i}= \is{\be_j}{\al_{k}}- \frac{\is{\al_{k}}{\be_j}}{\is{\be_j}{\be_j}}\is{\be_j}{\be_j}=0$ □

Wyjaśnimy teraz, że w opisanej wyżej procedurze ortogonalizacji, na każdym kroku znajdujemy wektor $\be_k$ odejmując od wektora $\al_k$ rzut ortogonalny $\al_k$ na podprzestrzeń rozpiętą przez poprzednie wektory.

Twierdzenie (#) Niech $W$ będzie podprzestrzenią liniowej przestrzeni euklidesowej $(V,\is{\ }{\,})$ . Istnieje wówczas przekształcenie liniowe $P:V\to V$ - rzut ortogonalny $V$ na $W$ , takie, że

$(1)$ \qquad $P(\be)=\be$ dla $\be\in W$

$(2)$ \qquad $\al-P(\al)\perp W$ dla $\al\in V$ .

Dowód: Zgodnie z Twierdzeniem [link] możemy wybrać układ ortogonalny $\be_1,\ldots,\be_m$ rozpinający $W$ i \nolinebreak niech

$P(\al)=\sum_{i=1}^{m}\frac{\is{\al}{\be_i}}{\is{\be_i}{\be_i}}\be_i.$

Podobnie jak w dowodzie [link], dla $j\leq m$ ,

$\is{\be_j}{\al-P(\al)}= \is{\be_j} {\al-\sum_{i\leq m} \frac{\is{\al}{\be_i}}{\is{\be_i}{\be_i}}\be_i}= \is{\be_j}{\al}-\sum_{i\leq m} \frac{\is{\al}{\be_i}}{\is{\be_i}{\be_i}}\is{\be_j}{\be_i}= \is{\be_j}{\al}- \frac{\is{\al}{\be_j}}{\is{\be_j}{\be_j}}\is{\be_j}{\be_j}=0$ ,

a stąd $\is{\be}{\al-P(\al)}=0$ dla $\be=\sum_{j\leq m} a_j\be_j\in W$ , czyli (2).

Jeśli $\be\in W$ , to $\be-P(\be)\in W$ i z (2), $\is{\be-P(\be)}{\be-P(\be)}=0$ , co daje $\be-P(\be)=\0$ , czyli (1). □

Uwaga (#) Zauważmy, że w sytuacji opisanej w Twierdzeniu [link], dla $\al\in V$ , warunki $\be\in W$ oraz $\al-\be\perp W$ charakteryzują wektor $\be$ jednoznacznie, co więcej jest to jedyny wektor z $W$ taki, że $||\al-\be||=\inf\set{||\al-\ga||:\ga\in W}$ . Istotnie, dla $\ga\in W$ , $\ga-\be\in W$ , więc $(\al-\be)\perp (\be-\ga)$ i z formuły Piagorasa, $||\al-\ga||^2=||(\al-\be)+(\be-\ga)||^2= ||\al-\be||^2+||\be-\ga||^2\geq ||\al-\be||^2$ , przy czym dla $\ga\neq \be$ nierówność jest ostra.

Tak więc rzut ortogonalny $P:V\to W$ można opisać jako przekształcenie, które dla każdego wektora $\al\in V$ wybiera z $W$ (jedyny) wektor $P(\al)$ minimalizujący długości $||\al-\ga||$ , $\ga\in W$ .

Jak zobaczymy za chwilę, istnienie rzutu ortogonalnych pozwala uzupełnić każdą podprzestrzeń liniowej przestrzeni euklidesowej składnikiem prostym, ortogonalnym do tej przestrzeni.

Twierdzenie (#) Niech $W$ będzie podprzestrzenią liniowej przestrzeni euklidesowej $(V,\is{\ }{\,})$ i niech $W^\perp=\set{\al\in V:\al\perp W}$ . Wówczas $V=W\oplus W^\perp$ jest sumą ortogonalną.

Dowód: Niech $P:V\to W$ będzie rzutem ortogonalnym na $W$ . Zauważmy, że $\im P=W$ oraz $\ker P=W^\perp$ . Ponieważ $W\cap W^\perp=\set{\0}$ i $\dim V=\d P+\r P$ , więc $V=W\oplus W^\perp$ i oczywiście $W\perp W^\perp$ . □

Podprzestrzeń $W^\perp$ nazywamy dopełnieniem ortogonalnym przestrzeni $W$ w $V$ . Zauważmy, że rzut ortogonalny $V$ na $W$ jest rzutem na $W$ równoległym do $W^\perp$ zdefiniowanym w [link]. Symetrię względem $W$ równoległą do $W^\perp$ nazywamy symetrią ortogonalną względem $W$ .