Pierwiastki z jedności

Ustalmy liczbę naturalną $ n>1 $. Pierwiastkiem stopnia $ n $ z jedności będziemy nazywać każdą liczbę zespoloną $ z $ taką, że $ z^n=1 $.

Niech $ \om=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n} $. Z formuły de Moivre'a wynika natychmiast, że liczby $ \om^k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n} $, $ k=0,1,\ldots,n-1 $, są wszystkimi pierwiastkami stopnia $ n $ z jedności.

Punkty płaszczyzny kartezjańskiej odpowiadające pierwiastkom stopnia $ n $ z jedności są wierzchołkami $ n $-kąta foremnego wpisanego w okrąg jednostkowy, mającego wierzchołek w $ \om^0=1 $.

Pierwiastek stopnia $ n $ z jedności nazywamy pierwotnym jeśli nie jest nie jest pierwiastkiem z jedności stopnia $ <n $. Do scharakteryzowania pierwiastków pierwotnych skorzystamy z następującego faktu związanego z dzieleniem z resztą liczb naturalnych.

Lemat (#) Dla względnie pierwszych liczb naturalnych $ 0<k<n $ istnieją liczby całkowite $ l,t $ takie, że $ lk+tn=1 $. Co więcej, można zakładać, że $ 0<l<n $.
Dowód: Niech $ d $ będzie najmniejszą liczbą dodatnią postaci $ d=sk+tn $, gdzie $ s,t $ są całkowite. Wystarczy pokazać, że $ d $ jest dzielnikiem $ k $ i $ n $. Dla reszty $ r=k-qd $ z dzielenia $ k $ przez $ d $ mamy $ r=k-q(sk+tn)= (1-qs)k+(-t)n $, więc $ r=0 $ z minimalności $ d $. Analogicznie pokazuje się, że $ d $ dzieli $ n $.

Drugą część tezy otrzymujemy przyjmując za $ l $ resztę z dzielenia $ s $ przez $ n $. Wtedy $ s=qn+l $, więc $ 1=sk+tn=(qn+l)k+tn=lk+(qk+t)n $ i w szczególności $ l>0 $. □

Twierdzenie Pierwiastek $ \om^k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n} $, $ 1<k<n $ stopnia $ n $ z jedności jest pierwotny wtedy i tylko wtedy, gdy $ k $ i $ n $ są względnie pierwsze.
Dowód: Niech $ k $ i $ n $ będą względnie pierwsze. Z lematu istnieją $ l,t $ takie, że $ 1=lk+tn $, a stąd $ \om=\om^{lk+tn}=\om^{lk}(\om^{n})^t=\om^{lk} $.

Załóżmy teraz, że $ d>1 $ jest wspólnym dzielnikiem $ k $ i $ n $, a $ q $ oraz $ m $ są takie, że $ k=qd $ oraz $ n=md $. Wtedy $ (\om^k)^m=(\om^{qd})^m=(\om^{md})^q=1 $, więc pierwiastek $ \om^k $ nie jest pierwotny □