Postać trygonometryczna

Modułem liczby zespolonej $ z=a+ib $ nazywamy liczbę $ |z|=\sqrt{a^2+b^2}\in\R $. Interpretując liczbę $ z\neq 0 $ jako punkt $ (a,b) $ płaszczyzny kartezjańskiej widzimy, że $ |z| $ jest odległością $ z $ od $ 0 $, a liczba $ \frac{z}{|z|} $ odpowiadająca punktowi okręgu jednostkowego na płaszczyźnie ma postać $ \frac{z}{|z|}=\cos\theta+i\sin\theta $, gdzie kąt $ \theta $ zwany argumentem $ z $ i oznaczany przez $ \arg z $ jest wyznaczony z dokładnością do całkowitych wielokrotności $ 2\pi $.

Otrzymujemy stąd zapis liczby zespolonej $ z\neq 0 $ w postaci trygonometrycznej

\fbox{$ z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta) $,}

gdzie $ |z| $ jest modułem $ z $, a $ \theta $ argumentem $ z $.

Twierdzenie (#) Niech $ z_1=|z_1|(\cos\theta_1+i\sin\theta_1) $, $ z_2=|z_2|(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) $. Wtedy

$$z_1z_2=|z_1||z_2|(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)),$$

tzn.\ moduł iloczynu jest iloczynem modułów, a argument iloczynu jest sumą argumentów czynników.

Dowód: $ z_1z_2=|z_1|(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)|z_2|(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)= |z_1||z_2|(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)= |z_1||z_2|(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2+ i(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2))= |z_1||z_2|(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)) $.\ \ □
Stwierdzenie (Formuła de Moivre'a) $ (\cos\theta+i\sin\theta)^n= \cos(n\theta)+i\sin(n\theta) $.

Sprzężeniem liczby $ z=a+ib $ nazywamy liczbę $ \overline{z}=a-ib $. Dla $ z\neq0 $ mamy $ z\overline{z}=|z|^2 $ i $ \frac{1}{z}=\frac{\overline{z}\ }{|z|^2} $. %(różnica $ \overline{z}=a-ib=a+i(-b) $).