Prostokątne układy współrzędnych

Wśród układów współrzędnych na liniowej przestrzeni euklidesowej wyróżnioną rolę pełnią układy zachowujące iloczyn skalarny - prostokątne układy współrzędnych.

Definicja (#) Układ współrzędnych $ \si:V\to\R^n $ w liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ związany z bazą ortonormalną $ V $, będziemy nazywać prostokątnym układem współrzędnych.
Uwaga (#) Jeśli układ współrzędnych $ \si:V\to\R^n $ w przestrzeni $ (V,\is{\ }{\,}) $ jest związany z bazą ortonormalną $ (\al_1,\ldots,\al_n) $, to

  • [(a)]

    $ \si(\ga)= \mk{c}{\is{\ga}{\al_1}\\\vdots\\\is{\ga}{\al_n}} $ \ \ dla $ \ga\in V $,

    bo mnożąc $ \ga=\sum_ix_i\al_i $ obustronnie przez $ \al_j $ dostajemy $ \is{\ga}{\al_j}=x_j $;

  • [(b)]

    $ \is{\ga}{\al}=\is{\si(\ga)}{\si(\al)} $ \ dla $ \ga,\al\in V $,

    gdzie po prawej stronie równości jest iloczyn skalarny w kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej $ (\R^n,\is{\ }{\,}) $ opisanej w Przykładzie [link] (a).

    Aby uzasadnić (b) rozpatrzmy $ \ga=\sum_ix_i\al_i $, $ \al=\sum_j y_j\al_j $ i zauważmy, że z warunku $ {\al_i}\perp{\al_j} $ dla \nolinebreak $ i\neq j $ oraz $ \is{\al_i}{\al_i}=1 $ wynika $ \is{\ga}{\al}=\is{\sum_i x_i\al_i}{\sum_j y_j\al_j}=\sum_i x_i y_i=\is{\si(\ga)}{\si(\al)} $.

Zauważmy też, że warunek zachowania iloczynu skalarnego odnotowany w (b) charakteryzuje prostokątne układy współrzędnych.

Uwaga (#) Z istnienia prostokątnych układów współrzędnych wynika także, że dla każdych dwóch \mbox{$ n $-wymiarowych} liniowych przestrzeni euklidesowych $ (V,\is{\ }{\,}) $ i $ (W,\is{\ }{\,}) $ istnieje izomorfizm $ \vp:V\to W $ zachowujący iloczyn skalarny, tzn.\ $ \is{\ga}{\al}=\is{\vp(\ga)}{\vp(\al)} $.

Istotnie, dla prostokątnych układów współrzędnych \mbox{$ \si:V\to\R^n $} i $ \ta:W\to\R^n $, z Uwagi [link] (b) wynika, że $ \vp=\ta^{-1}\circ\si $ zachowuje iloczyn skalarny.