Przekształcenia afiniczne

Rozpatrując przekształcenia między przestrzeniami punktów przestrzeni afinicznych będziemy zawsze zakładać, że dziedzina i przeciwdziedzina są przestrzeniami nad tym samym ciałem $ \K $.

Przekształcenia afiniczne przestrzeni afinicznych, to przekształcenia, które w ustalonych układach bazowych są opisane przez przekształcenia afiniczne z $ \K^n $ w $ \K^m $, postaci $ Y=AX+B $, określone na początku tego rozdziału. Wygodniej jednak będzie przyjąć jako definicję warunek niezależny od wyboru układów bazowych.

Definicja (#) Niech $ E,F $ będą przestrzeniami afinicznymi nad $ \K $. Funkcję $ f:E\to F $ nazywamy przekształceniem afinicznym, jeśli dla pewnego $ p\in E $ istnieje przekształcenie liniowe $ \p{f}:\s{E}\to \s{F} $, zwane częścią liniową $ f $, spełniające warunek

$ (\ast) $ $ f(p+\al)=f(p)+\p{f}(\al) $ dla $ \al\in \s{E} $.

Uwaga (#)

  • [(a)] W warunku $ (\ast) $ można, bez zmiany $ \p{f} $, zastąpić punkt $ p $ dowolnym punktem $ q\in E $, bo dla $ q=p+\ga $ mamy $ f(q+\al)=f(p+\ga+\al)=f(p)+\p{f}(\ga+\al)= f(p)+\p{f}(\ga)+\p{f}(\al)=f(q)+\p{f}(\al) $.
  • [(b)] $ f $ jest wyznaczone przez podanie obrazu $ f(p) $ jakiegokolwiek punktu $ p\in E $ i części liniowej $ \p{f} $.
  • [(c)] Złożenie przekształceń afinicznych $ g\circ f $ jest przekształceniem afinicznym i $ \ve{g\circ f}=\p{g}\circ\p{f} $.\\ Istotnie, $ g(f(p+\al))=g(f(p)+\p{f}(\al))=g(f(p))+\p{g}(\p{f}(\al)) $.

Niech $ f:E\to E $ będzie przekształceniem afinicznym. Jeśli $ \p{f}=\0 $, to $ f $ jest przekształceniem stałym.

Jeśli $ \p{f}=\id $, to $ f $ jest przesunięciem $ f(p+\al)=f(p)+\al=(p+\ve{pf(p)})+\al=(p+\al)+\ve{pf(p)} $.

Jeśli $ \p{f}=c\cdot\id $, $ c\neq 1 $, to $ f $ nazywamy jednokładnością o skali $ c $ (środkiem tej jednokładności jest punkt $ q=p+(1-c)^{-1}\ve{pf(p)} $ spełniający warunek $ f(q)=q $).

Przekształcenie afiniczne $ f:E\to E $ nazywamy rzutem na podprzestrzeń $ p+W $ równoległym do \nolinebreak $ U $ (symetrią względem $ p+W $ równoległą do $ U $), jeśli $ f(p)=p $ i część liniowa $ f $ jest rzutem $ \s E $ na $ W $ równoległym do $ U $ (symetrią względem $ W $ równoległą do $ U $).

Definicja Przekształcenie afiniczne $ f:E\to F $ nazywamy izomorfizmem afinicznym jeśli część liniowa $ \p{f}:\s{E}\to\s{F} $ jest izomorfizmem liniowym.
Uwaga Izomorfizm afiniczny $ f:E\to F $ ma funkcję odwrotną $ f^{-1}:F\to E $, która jest izomorfizmem afinicznym zadanym warunkami $ f^{-1}(f(p))=p $ \ i \ $ \ve{(f^{-1})}=(\p{f}\,)^{-1}:\s{F}\to\s{E} $.

Mówimy, że przestrzenie afiniczne $ E,F $izomorficzne jeśli istnieje izomorfizm afiniczny $ E $ na $ F $, co zgodnie z Wnioskiem [link] jest równoważne równości wymiarów $ \dim E=\dim F $.

\mNa koniec tej części odnotujemy ważną własność przekształceń afinicznych (w istocie, charakteryzującą tę klasę przekształceń).

Uwaga (#) Przekształcenia afiniczne zachowują kombinacje afiniczne.

Istotnie, dla przekształcenia afinicznego $ f:E\to F $ warunek $ (\ast) $ oznacza, że $ \p{f}(\ve{pq})=\ve{f(p)f(q)} $, $ p,q\in E $. Stąd dla kombinacji afinicznej $ \sum_{j=0}^n a_jp_j $ w $ E $, gdzie $ \sum_{j=0}^n a_j=1 $,

$ f(\sum_{j=0}^n a_jp_j)=f(p+\sum_{j=0}^n a_j\ve{pp_j})=f(p)+\p{f}(\sum_{j=0}^n a_j\ve{pp_j})=f(p)+\sum_{j=0}^n a_j\p{f}(\ve{pp_j})=f(p)+\sum_{j=0}^n a_j\ve{f(p)f(p_j)}=\sum_{j=0}^n a_jf(p_j) $.