Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe to funkcje między przestrzeniami liniowymi zgodne z ich strukturą algebraiczną. Dokładniej, przyjmujemy następującą definicję.

Definicja (#) funkcję $ \vp:V\to W $ nazywamy przekształceniem liniowym jeśli $ f $ jest addytywna i jednorodna (zachowuje dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez skalar), to znaczy spełnione są dwa warunki

$ (+) $ \ $ \vp(\al_1+\al_2)=\vp(\al_1)+\vp(\al_2) $ dla $ \al_1,\al_2\in V $; $ (\cdot) $\ $ \vp(c\al)=c\vp(\al) $ dla $ c\in\K $, $ \al\in V $.
Uwaga (#) Jeśli $ \vp:V\to W $ jest przekształceniem liniowym, to $ \vp(\0_V)=\vp(0\cdot\0_V)=0\vp(\0_V)=\0_W $.

Identyczność $ \id_V:V\to V $, funkcja stale równa zero $ \0:V\to W $ (funkcja zerowa) i mnożenie przez niezerowy skalar $ c\cdot\id_V:V\to  V $ (jednokładność o współczynniku $ c $) są przekształceniami liniowymi.

\mJak wyjaśnimy później, po ustaleniu baz w przestrzeniach liniowych, przekształcenia liniowe między tymi przestrzeniami można utożsamiać w naturalny sposób z macierzami. Na razie zauważmy, że macierze wyznaczają przekształcenia liniowe między przestrzeniami współrzędnych odpowiednich wymiarów.

Przykład (#) Macierz $ A\in\M{m}{n}{\K} $ wyznacza przekształcenie liniowe $ \vp_A:\K^n\to\K^m $ wzorem $ \vp_A(X)=AX $ (zob.\ Uwaga [link]).
Uwaga (#) Warunek zachowania dodawania wektorów i mnożenia wektora przez skalar można zastąpić warunkiem zachowywania kombinacji liniowych

$ \vp(x_1\al_1+\ldots+x_n\al_n)=x_1\vp(\al_1)+\ldots+x_n\vp(\al_n) $      dla      $ x_1,\ldots,x_n\in\K $, $ \al_1,\ldots,\al_n\in V $,

który łatwo wyprowadza się z $ (+) $ i $ (\cdot) $ przez indukcję ze względu na $ n\geq 1 $.

Dowolna funkcja określona na bazie przestrzeni liniowej $ V $ o wartościach w przestrzeni liniowej $ W $ przedłuża się jednoznacznie do przekształcenia liniowego z $ V $ w $ W $.

Twierdzenie (#) {\em\bf (o określaniu przekształceń liniowych na bazie).} Niech $ V,W $ będą przestrzeniami liniowymi nad $ \K $. Jeśli $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ jest bazą $ V $, a $ (\be_1,\ldots,\be_n) $ układem wektorów z $ W $, to $ \vp:V\to W $ określone formułą

$ \vp(x_1\al_1+\ldots+x_n\al_n)=x_1\be_1+\ldots+x_n\be_n $

jest jedynym przekształceniem liniowym $ V $ w $ W $ takim, że $ \vp(\al_j)=\be_j $ dla $ j=1,\ldots,n $.

Dowód: Funkcja $ T $ jest dobrze określona, bo każdy wektor $ \al\in V $ jest kombinacją liniową wektorów bazy i współczynniki tej kombinacji są wyznaczone jednoznacznie. Z warunków (+), ($ \cdot $) w dowodzie Twierdzenia [link] zastosowanych do obu stron formuły definiującej $ \vp $ wynika, że tak określone $ \vp $ jest przekształceniem liniowym.

Jednoznaczność wynika z Uwagi [link]. □

W szczególności odnotujmy spostrzeżenie dotyczące przekształceń liniowych na sumach prostych (zob.\ Twierdzenie [link]).

Uwaga (#) Jeśli $ V=V_1\oplus V_2 $, $ T_i:V_i\to W $ jest liniowe dla $ i=1,2 $, to istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe $ T:V\to W $ takie, że $ T(\al)=T_i(\al) $ dla $ \al\in V_i $, $ i=1,2 $. Istotnie, dla wektora $ \al $ mającego jednoznaczny rozkład na składowe $ \al=\al_1+\al_2 $ wystarczy zdefiniować $ T(\al)=T_1(\al_1)+T_2(\al_2) $.

Kończąc tę część, wskażemy dwa ważne typy przekształceń liniowych przestrzeni $ V $ w siebie.

Definicja Niech $ V=V_1\oplus V_2 $ i niech $ \al=\al_1+\al_1 $ będzie rozkładem $ \al\in V $ na składowe.

  • [$ (a) $](#) Przekształcenie liniowe $ \vp:V\to V $ takie, że $ \vp(\al_1+\al_2)=\al_1 $ $ (\vp $ jest identycznością na $ V_1 $ i zerowe na $ V_2) $ nazywamy rzutem $ V $ na $ V_1 $ równoległym do $ V_2 $.
  • [$ (b) $](#) Przekształcenie liniowe $ \ps:V\to V $ takie, że $ \ps(\al_1+\al_2)=\al_1-\al_2 $ $ (\ps $ jest identycznością na $ V_1 $ i mnożeniem przez $ -1 $ na $ V_2) $ nazywamy symetrią $ V $ względem $ V_1 $ równoległą do $ V_2 $ (zakładamy tu, że $ -1\neq 1 $ w $ \K $, czyli $ \K $ ma charakterystykę $ \neq 2 $).