Przekształcenia liniowe przestrzeni współrzędnych

Przekształcenie liniowe $ \vp:\K^n\to \K^m $ jest jednoznacznie wyznaczone przez układ $ (\vp(\ep_1),\ldots,\vp(\ep_n)) $ wartości $ \vp $ na wektorach bazy standardowej przestrzeni $ \K^n $ (zob. Twierdzenie [link]).

Definicja (#) Macierzą przekształcenia liniowego $ \vp:\K^n\to\K^m $ nazywamy macierz $ M(\vp)\in\M{m}{n}{\K} $ postaci $ M(\vp)=[\vp(\ep_1),\ldots,\vp(\ep_n)] $, gdzie $ (\ep_1,\ldots,\ep_n) $ jest bazą standardową $ \K^n $.

Następne twierdzenie ustala podstawowe związki między przekształceniem liniowym przestrzeni współrzędnych i jego macierzą.

Twierdzenie (#) Jeśli $ \vp:\K^n\to\K^m $ jest przekształceniem liniowym, to $ \vp(X)=M(\vp)X $ dla $ X\in\K^n $. Co więcej

  • [$ (a) $] (#) $ \vp $ jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $ \r M(\vp)=m $.
  • [$ (b) $] (#) $ \vp $ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $ \r M(\vp)=n $.
  • [$ (c) $] (#) $ \vp $ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $ \r M(\vp)=m=n $.
Dowód: Jeśli $ X=\sum_{j=1}^n x_j\ep_j\in\K^n $, to $ \vp(X)=\vp(\sum_{j=1}^n x_j\ep_j)=\sum_{j=1}^n x_j\vp(\ep_j)=[\vp(\ep_1),\ldots,\vp(\ep_n)]X $. Druga część tezy wynika z Twierdzenia [link]

Z pierwszej części tezy wynika, że przyporządkowanie przekształceniu $ \vp:\K^n\to\K^m $ jego macierzy $ M(\vp)=[\vp(\ep_1),\ldots,\vp(\ep_n)]\in\M{m}{n}{\K} $ jest operacją odwrotną do opisanego w Przykładzie [link] przyporządkowania macierzy $ A\in\M{m}{n}{\K} $ przekształcenia $ \vp_A:\K^n\to\K^m $.

Zdefiniujemy teraz operację mnożenia macierzy odpowiadającą składaniu przekształceń. Jeśli macierz $ B=[B_1,\ldots,B_k]\in\M{n}{k}{\K} $ wyznacza $ \vp_B:\K^k\to\K^n $ (czyli $ \vp_B(E_l)=B_l $ dla $ l=1,\ldots,k $), a macierz $ A\in\M{m}{n}{\K} $ wyznacza $ \vp_A:\K^n\to\K^m $, to złożenie $ \vp_A\circ\vp_B:\K^k\to\K^m $ jest przekształceniem liniowym i

$ M(\vp_A\circ\vp_B) =[\vp_A\circ\vp_B(\ep_1),\ldots,\vp_A\circ\vp_B(\ep_k)]= [\vp_A(B_1),\ldots,\vp_A(B_k)]=[AB_1,\ldots,AB_k] $.
Definicja (#) Wynikiem pomnożenia macierzy $ A\in\M{m}{n}{\K} $ przez macierz $ B=[B_1,\ldots,B_k]\in\M{n}{k}{\K} $ nazywamy macierz $ AB=[AB_1,\ldots,AB_k]\in\M{m}{k}{\K} $.
Definicja Macierzą jednostkową nazywamy macierz $ I_n=M(\id_{_{\K^n}})= [\ep_1,\ldots,\ep_n] $.
Uwaga

  • [(a)] Podobnie, jak złożenie funkcji $ f\circ g $ jest określone tylko wtedy, gdy dziedzina $ f $ jest przeciwdziedziną $ g $, iloczyn macierzy $ AB $ ma sens tylko wtedy, gdy liczba kolumn $ A $ jest taka jak liczba wierszy $ B $. Mówiąc o iloczynie macierzy zawsze zakładamy zgodność odpowiednich wymiarów.

  • [(b)] Jeśli $ A\in\M{m}{n}{\K} $, to $ AI_n=A=I_m A $ (bo $ \vp_A\circ\id_{_{\K^n}}=\vp_A=\id_{_{\K^m}}\circ\vp_A $).
  • [(c )] Mnożenie macierzy jest łączne, czyli $ A(BC)=(AB)C $, co wynika z łączności składania funkcji.
  • [(d)] Mnożenie macierzy nie zawsze jest przemienne (nawet wtedy, gdy zmiana kolejności czynników ma sens).

    $ \mk{rr}{0&-1\\1&0}\mk{rr}{1&0\\0&-1}=\mk{rr}{0&1\\1&0} $, \ $ \mk{rr}{1&0\\0&-1}\mk{rr}{0&-1\\1&0}=\mk{rr}{0&-1\\-1&0} $.

  • [(e)] Iloczyn macierzy niezerowych może być macierzą zerową $ \mk{rr}{0&1\\0&0}\mk{rr}{0&1\\0&0}=\mk{rr}{0&0\\0&0} $.