Przestrzeń funkcjonałów

Niech $ V $ będzie $ n $-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem $ \K $. Przestrzeń $ \ho{V}{\K} $ nazywamy przestrzenią sprzężoną do przestrzeni $ V $, a jej elementy - przekształcenia liniowe $ f: V\to \K $, nazywamy funkcjonałami liniowymi.

Uwaga (#) Niech $ \A=(\al_1,\ldots,\al_n) $ będzie bazą przestrzeni $ V $ i niech $ f_i:V\to \K $ będzie jedynym funkcjonałem liniowym takim, że

$ (\ast) $ $ f_i(\al_j)=\left\{\md{lll}{1&\mbox{jeśli}&i=j\ ,\\ 0&\mbox{jeśli}&i\neq j\ .} \right. $

Wtedy

  • [(a)] $ \al=\sum_j f_j(\al)\al_j $ dla $ \al\in V $, czyli $ f_i $ przyporządkowuje wektorowi jego $ i $-tą współrzędną w bazie $ \A $.\\ Istotnie, dla $ \al=\sum_j x_j\al_j $, $ f_i(\al)=f_i(\sum_j x_j\al_j)= \sum_j x_jf_i(\al_j)=x_i $.

  • [(b)] $ f=\sum_i f(\al_i)f_i $ dla $ f\in V^\ast $, przy czym przedstawienie jest jednoznaczne.\\ Istotnie, obie strony równości przyjmują na wektorze $ \al_j $ bazy $ \A $ wartość $ f(\al_j) $, więc są równe. Analogiczny argument pokazuje jednoznaczność przedstawienia $ f $ jako sumy $ f=\sum_i a_if_i $.
  • [(c)] Układ funkcjonałów $ \A^\ast=(f_1,\ldots,f_n) $ jest bazą $ V^\ast $ i wartość funkcjonału $ f\in V^\ast $ na wektorze $ \al_j $ jest $ j $-tą współrzędną tego funkcjonału w bazie $ \A^\ast $.
Definicja Bazy $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ w $ V $ i $ (f_1,\ldots,f_n) $ w $ V^\ast $ nazywamy dualnymi, jeśli spełniony jest warunek $ (\ast) $ w Uwadze [link].
Twierdzenie Dla każdej bazy $ (f_1,\ldots,f_n) $ w przestrzeni $ V^\ast $ istnieje dualna do niej baza $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ w przestrzeni $ V $.
Dowód: Niech $ V^{\ast\ast}=(V^\ast)^\ast $ i niech $ J:V\to V^{\ast\ast} $ będzie przekształceniem liniowym określonym wzorem

$$J(\al)(f)=f(\al) \ ,\ \mbox{ dla } \al\in V \mbox{ i } f\in V^\ast.$$

Jeśli $ \al\neq\0 $, to istnieje $ f\in V^\ast $ takie, że $ f(\al)\neq\0 $, a więc $ J(\al)\neq\0 $ (w $ V^{\ast\ast} $). Zatem $ J $ jest monomorfizmem i ponieważ (zob.\ Uwaga [link]) $ \dim V=\dim V^\ast=\dim V^{\ast\ast} $, $ J $ jest izomorfizmem.

Zgodnie z [link], dla bazy $ (f_1,\ldots,f_n) $ przestrzeni $ V^\ast $ istnieje baza $ (\ga_1,\ldots,\ga_n) $ w $ V^{\ast\ast} $ spełniająca warunek

$ (\ast\ast) $ $ \ga_i(f_j)=\left\{\md{lll}{1&\mbox{jeśli}&i=j\ ,\\ 0&\mbox{jeśli}&i\neq j\ .} \right. $

Jeśli $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ jest bazą $ V $ taką, że $ J(\al_i)=\ga_i $, to $ \ga_i(f_j)=J(\al_i)(f_j)=f_j(\al_i) $, więc z ($ \ast\ast $) wynika, że bazy $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ oraz $ (f_1,\ldots,f_n) $ są dualne. □

Definicja (#) Niech $ \vp: V\to W $ będzie przekształceniem liniowym. Przekształceniem sprzężonym do $ \vp $ nazywamy przekształcenie liniowe $ \vp^\ast:W^\ast\to V^\ast $ określone formułą

$$\vp^\ast (g)=g\circ \vp \ ,\ \mbox{ dla } g\in W^\ast.$$

Pokażemy, że przy wyborze baz dualnych $ V,V^\ast $ oraz $ W,W^\ast $, macierze przekształceń $ \vp $ i $ \vp^\ast $ w związanych z tymi bazami układach współrzędnych powstają, jedna z drugiej, przez zamianę kolumn na wiersze, tzn.\ przez transponowanie.

Zacznijmy od wprowadzenia operacji transpozycji macierzy.

Definicja Macierzą transponowaną macierzy $ A\in\M{m}{n}{\K} $ nazywamy macierz $ A^T\in\M{n}{m}{\K} $, której kolejne kolumny są kolejnymi wierszami macierzy $ A $.
Uwaga (#) Dla macierzy $ A\in\M{m}{n}{\K} $

  • [(a)] $ (A^T)^T=A $ (bo zamiana kolumn na wiersze zmienia wiersze na kolumny),
  • [(b)] $ \r A^T=\r A $ (zob.\ Twierdzenie [link]).
  • [(c)] $ (AB)^T=B^TA^T $ (jeśli iloczyn $ AB $ ma sens, to iloczyn $ B^TA^T $ również ma sens, a równość można sprawdzić porównując odpowiednie wyrazy tych iloczynów).
  • [(d)] $ (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T $ jeśli $ A $ jest macierzą odwracalną (bo $ (A^{-1})^T A^T=(AA^{-1})^T=I^T=I $).
Twierdzenie Niech $ \vp: V\to W $ będzie przekształceniem liniowym i niech $ \si: V\to \K^n $, $ \ta: W\to \K^m $ będą układami współrzędnych związanymi z pewnymi bazami $ V $ i $ W $, a $ \hat{\si}: V^\ast\to \K^n $, $ \hat{\ta}: W^\ast\to \K^m $ będą układami współrzędnych związanymi z bazami dualnymi do nich. Wówczas

$$\MP{\hat{\ta}}{\hat{\si}}{\vp^\ast}=\MP{\si}{\ta}{\vp}^T.$$
Dowód: Niech $ \si $ i $ \ta $ będą związane z bazami $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ w $ V $, $ (\be_1,\ldots,\be_m) $ w $ W $, a układy $ \hat{\si} $ i $ \hat{\ta} $, z bazami dualnymi $ (f_1,\ldots,f_n) $ w $ V^\ast $ i $ (g_1,\ldots,g_m) $ w $ W^\ast $, odpowiednio.

Na mocy Uwagi [link] (a), $ i $-ty wyraz $ j $-tej kolumny macierzy $ \MP{\si}{\ta}{\vp} $ jest $ i $-tą współrzędną współrzędną wektora $ \ta(\vp(\al_j)) $, która zgodnie z Uwagą [link] (a) ma postać $ a_{ij}=g_i(\vp(\al_j)) $.

Po transpozycji, $ a_{ij} $ staje się $ i $-tym wyrazem $ j $-tego wiersza macierzy transponowanej, a odpowiedni wyraz $ b_{ji} $ macierzy $ \MP{\hat{\ta}}{\hat{\si}}{\vp^\ast} $ jest $ j $-tą współrzędną $ i $-tej kolumny tej macierzy, która zgodnie z Uwagą [link] (c) ma postać $ b_{ji}=\vp^\ast(g_i)(\al_j) $. Z definicji $ \vp^\ast $ mamy $ b_{ji}=g_i\circ\vp(\al_j)=a_{ij} $, co kończy dowód. □

Z twierdzenia wyprowadzimy następujący wniosek

Stwierdzenie Niech $ \vp:V\to W $ będzie przekształceniem liniowym. Wówczas

  • [$ (a) $] $ \vp $ jest monomorfizmem $ \iff $ $ \vp^\ast $ jest epimorfizmem.
  • [$ (b) $] $ \vp $ jest epimorfizmem $ \iff $ $ \vp^\ast $ jest monomorfizmem.
Dowód: Z Uwagi [link] (b) $ \r\vp=\r\vp^\ast $, a stąd i z Twierdzenia [link] otrzymujemy równoważności

$ \vp $ jest monomorfizmem $ \iff $ $ \r\vp=\dim V $ $ \iff $ $ \r\vp^\ast=\dim V^\ast $ $ \iff $ $ \vp^\ast $ jest epimorfizmem

oraz

$ \vp $ jest epimorfizmem $ \iff $ $ \r\vp=\dim W $ $ \iff $ $ \r\vp^\ast=\dim W^\ast $ $ \iff $ $ \vp^\ast $ jest monomorfizmem. □