Przestrzenie afiniczne

Przed wprowadzeniem ogólnej definicji przestrzeni afinicznej, wyjaśnimy to pojęcie na podstawowym przykładzie kartezjańskiej przestrzeni afinicznej $ \ek{n} $.

Przykład (#) Pisząc $ \ek{n} $ wskazujemy, że elementy $ n $-tej potęgi kartezjańskiej $ \K $ traktujemy jako punkty, odróżniając $ \ek{n} $ od przestrzeni liniowej $ \K^n $, której elementami są wektory-kolumny.

Punkty będziemy oznaczać literami $ p,q,\ldots $, a współrzędne punktu będziemy zapisywać w nawiasach okrągłych, $ p=(x_1,\ldots,x_n) $. Każda para punktów $ p=(x_1,\ldots,x_n) $, $ q=(y_1,\ldots,y_n) $ w $ \ek{n} $ wyznacza wektor $ \ve{pq}=[y_1-x_1,\ldots,y_n-x_n]^T\in\K^n $.

Wektor $ Z=[z_1,\ldots,z_n]^T\in\K^n $ można zaczepić w dowolnym punkcie $ p=(x_1,\ldots,x_n)\in\K^n $, w wyniku czego otrzymuje się punkt $ p+Z=(x_1+z_1,\ldots,x_n+z_n) $ (w szczególności, $ p+\ve{pq}=q $). Tak więc, każdy wektor $ Z\in\K^n $ wyznacza bijekcję $ p\to p+Z $ przestrzeni punktów $ \ek{n} $ na siebie - przesunięcie o wektor $ Z $, przy czym $ p+(X+Y)=(p+X)+Y $, a więc operacji dodawania wektorów w $ \K^n $ odpowiada składanie przesunięć o te wektory w $ \ek{n} $.

Pojęcie przestrzeni afinicznej pozwala uwolnić się od współrzędnych przypisanych punktom, jak to ma miejsce w Przykładzie [link].

Definicja (#) Przestrzenią afiniczną nad ciałem $ \K $ nazywamy trójkę $ (E,\s E,\ka) $, gdzie $ E $ jest niepustym zbiorem punktów, $ \s E $ jest przestrzenią liniową nad $ \K $, której elementy nazywamy wektorami swobodnymi nad $ E $, a \ $ \ka:E\times\s E\to E $ jest operacją zaczepiania wektorów swobodnych w punktach taką, że przyjmując oznaczenie $ \ka(p,\ga)=p+\ga $, mamy

$ (0) $      $ p+\0=p $ dla $ p\in E $,

$ (1) $      $ (p+\ga)+\al=p+(\ga+\al) $ dla $ \ga,\al\in\s E $,

$ (2) $      Dla każdej pary punktów $ p,q\in E $ istnieje dokładnie jeden wektor $ \ga\in \s E $ taki, że $ p+\ga=q $ $ ( $będziemy go oznaczać symbolem $ \ve{pq}) $.

Dla uproszczenia oznaczeń, zamiast $ (E,\s E,\ka) $ będziemy często pisać $ E $, a elementy $ \s{E} $ będziemy nazywać po prostu wektorami nad $ E $.

Wymiarem $ \dim E $ przestrzeni afinicznej $ E $ będziemy nazywać wymiar przestrzeni $ \s E $.

Uwaga (#)

  • [(a)] Warunek (2) w definicji oznacza, że dla ustalonego $ p\in E $ (punktu początkowego) przyporządkowanie wektorowi $ \ga\in\s E $ punktu $ p+\ga\in E $ (końca wektora $ \ga $ zaczepionego w $ p $) ustala wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między $ E $ i $ \s E $ (operacją odwrotną jest przyporządkowanie punktowi $ q $ wektora $ \ve{pq} $). Punkt początkowy $ p $ odpowiada wtedy wektorowi zerowemu.

  • [(b)] Warunek (1) mówi jak wektor przyporządkowany punktowi zmienia się w wyniku zastąpienia punktu początkowego $ p $ przez inny punkt $ q $: podstawiając $ q=p+\ve{pq} $ do $ r=q+\ve{qr} $ dostajemy $ r=(p+\ve{pq})+\ve{qr}=p+(\ve{pq}+\ve{qr}) $, a stąd
    $$\ve{pr}=\ve{pq}+\ve{qr}.$$

    W szczególności, dla $ r=p $ mamy $ \0=\ve{pp}=\ve{pq}+\ve{qp} $, czyli $ \ve{qp}=-\ve{pq} $.

Przykład (#) Niech $ V $ będzie przestrzenią liniową nad $ \K $. Podobnie jak w Przykładzie [link], pisząc $ \ev $ rozpatrujemy $ V $ jako zbiór punktów i określamy przestrzeń afiniczną $ (\ev,V,\ka) $ definiując operację zaczepienia wektora $ \ga\in V $ w punkcie $ p\in\ev $ wzorem $ \ka(p,\ga)=p+\ga $, gdzie plus po prawej stronie jest operacją dodawania wektorów w $ V $.

W przestrzeni afinicznej $ E $ wyróżnimy niepuste podzbiory odpowiadające warstwom w $ \K^n $ zdefiniowanym w pierwszej części tego rozdziału.

Uwaga Niech $ W\subset \s E $ będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni $ \s E $ wektorów swobodnych nad $ E $ i \nolinebreak niech $ p+W=\set{p+\be:\be\in W}\subset E $ będzie zbiorem końców wektorów z $ W $ zaczepionych w ustalonym punkcie $ p\in E $. Wówczas dla każdego punktu $ q\in p+W $ mamy $ q+W= p+W $.

Istotnie, $ q\in p+W $ oznacza, że $ q=p+\ga $ dla pewnego wektora $ \ga\in W $. Wtedy $ q+W=(p+\ga)+W=\set{(p+\ga)+\be:\be\in W}=\set{p+(\ga+\be):\be\in W}=p+W $.

Z tej uwagi wynika, że zbiór $ p+W $ wyznacza podprzestrzeń $ W $ wzorem $ W=\set{\ve{qr}:q,r\in p+W} $ i \nolinebreak jest zamknięty ze względu na operację zaczepiania wektorów z $ W $ w \nolinebreak punktach $ p+W $. Zatem zbiór $ p+W\subset E $ dziedziczy w naturalny sposób strukturę afiniczną z przestrzeni $ (E,\s E,\ka) $: zbiorem wektorów swobodnych nad $ p+W $ jest $ W $, a operacja zaczepiania wektorów w punktach $ p+W $ jest obcięciem operacji zaczepiania wektorów $ \ka:E\times \s E\to E $ do $ (p+W)\times W $.

Definicja Zbiory postaci $ p+W\subset E $, gdzie $ p\in E $, a $ W\subset\s{E} $ jest podprzestrzenią przestrzeni wektorów swobodnych nad $ E $ nazywamy podprzestrzeniami afinicznymi $ E $. Przestrzenią wektorów swobodnych nad $ p+W $ jest przestrzeń $ W=\set{\ve{qr}:q,r\in p+W} $, a $ \dim{W} $ jest wymiarem $ p+W $. Podprzestrzenie wymiaru \nolinebreak $ 1 $ nazywamy prostymi, a podprzestrzenie wymiaru $ \dim \s E-1 $, hiperpłaszczyznami.

Na zakończenie tej części podamy przykład przestrzeni afinicznej innej niż wcześniej omawiane. Warto jednak podkreślić, że jak się okaże, każdą przestrzeń afiniczną można utożsamić, z \nolinebreak zachowaniem struktury afinicznej, z przestrzenią afiniczną odpowiedniego wymiaru, opisaną w Przykładzie [link].

Przykład {\bf *} Niech $ V $ będzie niezerową przestrzenią liniową nad $ \K $ i niech $ f:V\to\K $ będzie niezerowym funkcjonałem liniowym. Jako $ E $ przyjmijmy zbiór jednowymiarowych podprzestrzeni $ V $, nie leżących w $ \ker f=\s E $. Operację \, $ \ka:E\times \s E\to E $ określamy następująco: jeśli $ p\in E $ jest jednowymiarową podprzestrzenią $ V $ oraz $ \ga\in\s E $, wybieramy niezerowy wektor $ \al\in p $ i definiujemy

$$\ka(p,\ga)=\lin(\al+f(\al)\ga).$$

Bez trudu sprawdza się, że operacja $ \ka $ jest określona poprawnie (prawa strona równości nie zależy od \nolinebreak wyboru $ \al\in p $) i spełnia warunki (0)-(2) Definicji [link]. Zatem $ (E,\s E,\ka) $ jest przestrzenią afiniczną.