Przestrzenie liniowe

Dla dowolnego ciała $ \K $, analogicznie jak to robiliśmy dla $ \R $, wprowadza się operację dodawania wektorów - kolumn z $ \K^n $ i mnożenia tych wektorów przez elementy ciała - skalary.

Jeśli $ A $ jest $ (m\times n) $-macierzą o wyrazach z ciała $ \K $, to zbiór $ V $ rozwiązań układu jednorodnego $ AX=\0 $ jest zamknięty ze względu na dodawanie wektorów i mnożenie wektorów przez skalary.

Podobnie, w zbiorze $ W $ wielomianów stopnia nie większego niż $ n $ o współczynnikach rzeczywistych, podzielnych przez wielomian $ x^2+1 $, określone jest naturalne działanie dodawania i mnożenia przez liczby.

Są to przykłady przestrzeni liniowych - obiektów algebraicznych złożonych ze skalarów i wektorów oraz działań na nich, które określa się następująco

Definicja (#) Zbiór $ V $ z ustalonym elementem $ \0 $ (wektor zerowy) i działaniem dodawania ``$ + $'' nazywamy przestrzenią linową nad ciałem $ \K $ jeśli jest ustalone działanie mnożenia ``$ \cdot $'' elementów ciała $ ( $zwanych skalarami$ ) $ przez elementy $ V $ $ ( $zwane wektorami$ ) $ dające w wyniku elementy $ V $, przy czym dla dowolnych $ a,b\in \K $ i $ \al,\be,\ga\in V $ spełnione są warunki $ ( $osiem aksjomatów przestrzeni liniowej$ ) $

\[ \begin{tabular}{l[1cm]ll} $(1)$\quad &$\al+\be=\be+\al$& przemienność dodawania wektorów,\\ $(2)$ &$\al+(\be+\ga)=(\al+\be)+\ga$& łączność dodawania wektorów,\\ $(3)$ &$\al+\0=\al$& wektor zerowy jest elementem neutralnym dodawania wektorów,\\ $(4)$&istnieje $\al'$ takie, że $\al+\al'=\0$& element przeciwny dodawania wektorów,\\ $(5)$&$a\cdot(\be+\ga)=a\cdot \be+a\cdot \ga$ & rozdzielność mnożenia przez skalar względem dodawania wektorów,\\ $(6)$& $(a+b)\cdot\ga=a\cdot\ga + b\cdot\ga$ &rozdzielność mnożenia przez skalar względem dodawania skalarów,\\ $(7)$& $(b\cdot \al)=(ab)\cdot \al$& łączność mnożenia przez skalary,\\ $(8)$& $1\cdot \al=\al$& skalar $1$ jest elementem neutralnym mnożenia. \end{tabular} \]

Jak zobaczymy później, przyjęte aksjomaty pozwalają utożsamiać, ze względu na strukturę algebraiczną, przestrzenie liniowe nad ciałem $ \K $ skończonego wymiaru (innych nie będziemy tu w zasadzie rozpatrywać) z przestrzeniami $ \K^n $, a jednocześnie pozwalają operować na wektorach z $ V $, bez konieczności przypisania im konkretnych współrzędnych.

Równanie $ x+\al=\be $ ma w przestrzeni liniowej $ V $ dokładnie jedno rozwiązanie, bo dodając do obu stron $ \al' $ - ustalony element przeciwny do $ \al $ otrzymujemy, po uporządkowaniu równoważne równanie $ x=\be+\al' $.

W szczególności $ \0 $ i wektor przeciwny do $ \al $ (oznaczany przez $ -\al $) są wyznaczone jednoznacznie.

Iloczyn $ a\al $ (opuszczamy znak mnożenia) znaczy to samo co $ \al a $ (używa się jednak zazwyczaj zapisu $ a\al $).

Uwaga (#) Dla dowolnych $ a\in\K $, $ \al\in V $:

  • [a)] $ a\al=\0 $ jeśli $ a=0 $ lub $ \al=\0 $ \begin{tabular}{l}\\ ($ \al=\0 $, to do obu stron $ a\0+a\0=a(\0+\0)=a\0 $ dodajemy $ -(a\0) $\\ $ a=0 $, to do obu stron $ 0\al+0\al=(0+0)\al=0\al $ dodajemy $ -(0\al) $).\end{tabular}
  • [b)] $ a\al=\0 $, to $ a=0 $ lub $ \al=\0 $      (bo $ a\neq 0 $, to obie strony mnożymy z lewej przez $ a^{-1} $).
  • [c)] $ (-1)\al=-\al $ (bo $ \al+(-1)\al=(1+(-1))\al=0\al=\0 $).

Podamy teraz kilka podstawowych przykładów przestrzeni liniowych nad $ \K $ użytecznych, przy ilustrowaniu wprowadzanych przez nas kolejnych pojęć.

Przykład (#)

  • [(a)] Przestrzeń współrzędnych $ \K^m $.

    Elementami $ \K^m $ (wektorami z $ \K^m $) są kolumny $ m $ skalarów (współrzędnych tego wektora). Wektor zerowy ma wszystkie współrzędne zerowe. Definiujemy działania ``po współrzędnych''

    (+)      $ \mk{c}{a_1\\\vdots\\a_m}+\mk{c}{b_1\\\vdots\\b_m}= \mk{c}{a_1+b_1\\\vdots\\a_m+b_m} $; ($ \cdot $)     $ c\mk{c}{a_1\\\vdots\\a_m}=\mk{c}{ca_1\\\vdots\\ca_m} $.

    Aksjomaty przestrzeni liniowej wynikają z odpowiednich aksjomatów ciała.

  • [(b)] Przestrzeń macierzy $ \M{m}{n}{\K} $.

    Wektorami w $ \M{m}{n}{\K} $ są macierze o wyrazach z $ \K $ mające $ m $ wierszy i $ n $ kolumn, zob.\ [link]. Macierz zerowa ma wszystkie wyrazy zerowe. Wektory - macierze dodajemy sumując ich odpowiednie wyrazy i mnożymy przez skalary - elementy ciała $ \K $, mnożąc przez skalar wszystkie wyrazy macierzy.

    Często wygodnie jest myśleć o $ (m\times n) $-macierzy jako o układzie $ n $ kolumn - wektorów z $ \K^m $. Jeśli $ A=[A_1,\ldots,A_n] $, $ B=[B_1,\ldots B_n] $, $ A_j,B_j\in\K^m $ oraz $ c\in \K $, to $ A+B=[A_1+B_1,\ldots A_n+B_n] $ i $ cA=[cA_1,\ldots cA_n] $.

  • [(c)] Przestrzeń wielomianów $ \K[x] $.

    Wielomianem stopnia $ n $ o współczynnikach w $ \K $ będziemy nazywali wyrażenie $ a_0+a_1 x^1+\ldots+a_n x^n $, gdzie $ a_0,\ldots,a_n\in\K $ oraz $ a_n\neq\0 $, a każdy ze składników $ a_jx^j $ będziemy nazywali jednomianem. Będziemy pomijali w takim wyrażeniu te jednomiany $ a_jx^j $, dla których $ a_j=0 $, a wielomian zerowy (bez niezerowych jednomianów, mający stopień $ -\infty $) będziemy oznaczali przez $ \0 $.

    W zbiorze wielomianów $ \K[x] $ określone są działania dodawania i mnożenia spełniające wszystkie aksjomaty ciała, poza aksjomatem o istnieniu elementu odwrotnego. W szczególności $ \K[x] $ jest przestrzenią liniową nad $ \K $, bo $ c\in\K $ można uważać za jednomian.

Definicja (#) Niech $ V $ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $ \K $. Podzbiór $ W $ zbioru wektorów zawierający wektor zerowy nazywamy podprzestrzenią $ V $ jeśli $ W $ jest zamknięty za względu na działanie dodawania i mnożenia przez skalary, to znaczy spełnione są dwa warunki

$ (+) $ \ $ \al+\be\in W $ dla $ \al,\be\in W $; $ (\cdot) $\ $ c\al\in W $ dla $ c\in\K $, $ \al\in W $.
Uwaga (#) Jeśli $ W $ jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej $ V $ nad ciałem $ \K $, to $ W $ z działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektora przez skalar ograniczonymi do $ W $ jest przestrzenią liniową nad $ \K $, bo dla $ \al\in W $ wektor przeciwny $ -\al=(-1)\al $ też jest w $ W $.

Każda przestrzeń $ V $ liniowa zawiera podprzestrzeń maksymalną i minimalną w sensie inkluzji (zwane niewłaściwymi): samą siebie i podprzestrzeń zerową $ \set{\0} $. W następnej części podamy ogólną metodę generowania podprzestrzeni przestrzeni liniowych $ V $.