Przestrzenie przekształceń liniowych

Niech $ V $ i $ W $ będą przestrzeniami liniowymi nad $ \K $. Zbiór $ \ho{V}{W} $ przekształceń liniowych z $ V $ do $ W $ będziemy rozpatrywać jako przestrzeń liniową nad $ \K $ z przekształceniem zerowym $ \0 $ jako wektorem zerowym oraz naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia przez skalary określonymi następująco: dla $ \vp_1,\vp_2,\vp\in \ho{V}{W} $, $ c\in\K $ i $ \al\in V $

(+)      $ (\vp_1+\vp_2)(\al)=\vp_1(\al)+\vp_2(\al) $; ($ \cdot $)     $ (c\vp)(\al)=c(\vp(\al)) $.

Następujące twierdzenie pozwala utożsamić, z zachowaniem operacji algebraicznych, przestrzenie przekształceń $ \ho{\K^n}{\K^m} $ z przestrzeniami macierzy $ \M{m}{n}{\K} $ opisanymi w Przykładzie [link] (b).

Twierdzenie (#) Przyporządkowanie przekształceniu liniowemu $ \vp:\K^n\to\K^m $ jego macierzy $ M(\vp) $ jest izomorfizmem liniowym przestrzeni $ \ho{\K^n}{\K^m} $ na przestrzeń macierzy $ \M{m}{n}{\K} $.
Dowód: Widzieliśmy, że przyporządkowanie macierzy $ A\in\M{m}{n}{\K} $ przekształcenia $ \vp_A\in\ho{\K^n}{\K^m} $ jest odwróceniem funkcji $ \vp\to M(\vp) $. Sprawdzimy, że ta funkcja zachowuje dodawanie i mnożenie przez skalar, czyli dla $ \vp_1,\vp_2,\vp\in \ho{V}{W} $, $ c\in\K $ spełnione są warunki

(+)      $ M(\vp_1+\vp_2)=M(\vp_1)+M(\vp_2) $; ($ \cdot $)     $ M(c\vp)=cM(\vp) $.

Istotnie, $ M(\vp_1+\vp_2)= [(\vp_1+\vp_2)(\ep_1)\,,\,\ldots\,,\,(\vp_1+\vp_2)(\ep_n)]= [\vp_1(\ep_1)+\vp_2(\ep_1)\,,\,\ldots\,,\,\vp_1(\ep_n)+\vp_2(\ep_n)]= $

$ =[\vp_1(\ep_1),\ldots,\vp_1(\ep_n)]+[\vp_2(\ep_1),\ldots,\vp_2(\ep_n)]= M(\vp_1)+M(\vp_2) $

oraz $ M(c\vp)=[(c\vp)(\ep_1),\ldots,(c\vp)(\ep_n)]=[c\vp(\ep_1),\ldots,c\vp(\ep_n)]= c[\vp(\ep_1),\ldots,\vp(\ep_n)]=cM(\vp) $. □

Uwaga Przyporządkowanie przekształceniu liniowemu przestrzeni współrzędnych jego macierzy przeprowadza operację złożenia przekształceń na mnożenie macierzy, więc z łatwych do sprawdzenia własności przekształceń natychmiast wynikają następujące algebraiczne własności mnożenia macierzy (zakładamy zgodność wymiarów macierzy w odpowiednich działaniach)

  • [(a)] $ (A_1+A_2)B=A_1B+A_2B $,
  • [(b)] $ A(B_1+B_2)=AB_1+AB_2 $,
  • [(c)] $ A(cB)=c(AB)=(cA)B $.