Przestrzenie z formą kwadratową

Wyróżnienie w przestrzeni liniowej $ V $ formy kwadratowej $ Q $ pozwala mówić o ortogonalności wektorów w $ (V,Q) $.

Definicja Niech $ (V,Q) $ będzie przestrzenią liniową nad $ \K $ z wyróżnioną formą kwadratową $ Q:V\to \K $ i niech $ h:V\times V\to \K $ będzie formą biegunową dla $ Q $, $ Q(\al)=h(\al,\al) $. Wektory $ \al,\be\in V $ są ortogonalne, $ \al\perp\be $, jeśli $ Q(\al+\be)=Q(\al)+Q(\be) $ lub równoważnie, jeśli $ h(\al,\be)=0 $, zob.\ Uwaga [link]. Baza $ (\be_1,\ldots,\be_n) $ w przestrzeni $ (V,Q) $ jest ortogonalna jeśli $ \be_i\perp\be_j $ dla $ i\neq j $.

Zgodnie z Twierdzeniem [link], w każdej przestrzeni $ (V,Q) $ istnieje baza ortogonalna.

Definicja Niech $ Q:V\to\K $ będzie formą kwadratową. Mówimy, że wektor $ \al\in V $ jest izotropowy dla $ Q $, jeśli $ Q(\al)=0 $. Anihilatorem formy $ Q $ nazywamy podprzestrzeń liniową $ An(Q)=\set{\al\in V:\al\perp\be \mbox{ dla każdego } \be\in V} $ przestrzeni $ V $.

Zilustrujemy te pojęcia na ważnym przykładzie płaszczyzny Minkowskiego.

Przykład Płaszczyzną Minkowskiego $ (\R^2,x_1^2-x_2^2) $ nazywamy przestrzeń liniową $ \R^2 $ z formą kwadratową $ Q(X)=x_1^2-x_2^2 $ dla $ X=[x_1,x_2]^T $.

Jeśli wektor $ Y=[a,b]^T $ jest taki, że $ Q(Y)=a^2-b^2=1 $, to wektor $ Z=[b,a]^T $ jest ortogonalny do $ Y $ na płaszczyźnie Minkowskiego (bo $ Q(Z)=-1 $, więc $ Q(Y+Z)=(a+b)^2-(a+b)^2=0= Q(Y)+Q(Z) $). Każda taka para $ (Y,Z) $ jest bazą ortogonalną w $ (\R^2,x_1^2-x_2^2) $.

Wektory $ [1,1]^T $, $ [1,-1]^T $ są izotropowe na płaszczyźnie Minkowskiego i rozpinają $ \R^2 $, ale $ An(Q)=\set{\0} $.

Uwaga (#) Jeśli $ (\be_1,\ldots,\be_n) $ jest bazą ortogonalną w przestrzeni $ (V,Q) $, to anihilator $ An(Q) $ jest rozpięty na wektorach izotropowych z tej bazy i $ \dim An(Q)=n-\r(Q) $, bo macierz Grama $ G_h(\be_1,\ldots,\be_n) $ formy biegunowej $ h $ dla $ Q $, jako diagonalna macierz rzędu $ \r(Q) $, ma $ n-\r(Q) $ zerowych wierszy (i kolumn) odpowiadających wektorom izotropowym bazy $ (\be_1,\ldots,\be_n) $ rozpinającym $ An(Q) $.