Równania opisujące hiperpowierzchnię właściwą

W tej części podamy dowód Twierdzenia [link] mówiącego, że hiperpowierzchnia właściwa $ H $ stopnia $ 2 $ w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \R $ wyznacza swoje równanie z dokładnością do stałej.

Załóżmy więc, że $ f,f_\ast:\R^n\to\R $ są funkcjami kwadratowymi takimi, że równania $ f(X)=0 $ i $ f_\ast(X)=0 $ opisują $ H $ w afinicznym układzie współrzędnych $ \si_p:E\to\R^n $. Dla uproszczenia oznaczeń połóżmy $ \phi=f\circ\si_p $ i $ \phi_\ast=f_\ast\circ\si_p $. Pokażemy, że $ \phi_\ast=\la \phi $ dla pewnego $ \la\in\R $.

Niech funkcja $ f $ będzie dana wzorem

$$f(X)=X^TAX+B^TX+c, \mbox{ gdzie } A=A^T\in\M{n}{n}{\R}, B\in\R^n, c\in\R$$

i oznaczmy przez $ Q $ część kwadratową $ f $, $ Q(X)=X^TAX $.

Jeśli $ L=q+\lin(\be) $ jest prostą w $ E $, $ X=\si_p(q) $ i $ Z=\si(\be) $, to $ \si_p(q+t\be)=\si_p(q)+\si(t\be)=X+tZ $, więc wartości funkcji $ \phi $ na prostej $ L $ są dane wzorem $ \phi(q+t\be)= f(X+tZ)=t^2Z^TAZ+t(2X^TA+B^T)Z+f(X) $ (zob.\ Uwaga [link] dla $ g(Z)=tZ+X $). Zatem

$ (\smile)\qquad\qquad\qquad \phi(q+t\be)=at^2+bt+c\  $, \ gdzie $ a=Q\circ\si(\be) $ i $ c=\phi(q) $.

Zgodnie z Uwagą [link], istnieje prosta $ L_0=q_0+\lin(\be_0) $ przecinająca $ H $ w dokładnie dwóch punktach. Z $ (\smile) $ wynika, że $ a=Q(\si(\be_0))\neq 0 $. Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że $ a>0 $ (zastępując w razie potrzeby $ \phi $ przez $ -\phi $) oraz $ \phi(q_0)<0 $ (przesuwając w razie potrzeby punkt początkowy $ q_0 $ na $ L_0 $).

Połóżmy $ \lambda=\frac{\phi_\ast(q_0)}{\phi(q_0)} $ i niech $ E_\ast=\set{q\in E:\phi_\ast(q)=\lambda \phi(q)} $. Oczywiście $ H\cup\set{q_0}\subset E_\ast $.

Z $ (\smile) $ dla funkcji $ \phi_\ast $ i funkcji $ \lambda \phi $ wynika, że każda prosta w $ E $ zawierająca trzy punkty zbioru $ E_\ast $ zawiera się w $ E_\ast $.

Niech $ L=q_0+\lin(\be) $ będzie prostą taką, że $ Q(\si(\be))>0 $. Z $ (\smile) $ dla $ \phi $ na $ L $ wnioskujemy, że zbiór $ L\cap H $ jest dwupunktowy, a $ q_0\in L\setminus H $ daje wtedy $ L\subset E_\ast $. Pokazaliśmy więc, że $ \set{q_0+\be: Q(\si(\be))>0}\subset E_\ast $.

Weźmy teraz dowolne $ q=q_0+\ga\in E $. Punkty prostej $ L_q=q+\lin(\be_0) $ możemy przedstawić w postaci $ q_0+(\ga+t\be_0) $. Powtarzając uzasadnienie $ (\smile) $ widzimy, że $ Q(\si(\ga+t\be_0))=t^2Q(\si(\be_0))+tb+Q(\si(\ga))>0 $ dla dostatecznie dużych $ t $ (bo $ Q(\si(\be_0))>0 $). Dla takich $ t $ punkty $ q_0+(\ga+t\be_0) $ prostej $ L_q $ są w $ E_\ast $, więc cała prosta $ L_q $ jest w $ E_\ast $ i stąd $ q\in L_q\subset E_\ast $. Mamy więc $ E_\ast=E $, co daje tezę.