Rząd macierzy

Z macierzą $ A\in\M{m}{n}{\K} $ są związane trzy przestrzenie: podprzestrzeń rozpięta na kolumnach, podprzestrzeń rozpięta na wierszach i podprzestrzeń rozwiązań jednorodnego układu równań $ AX=\0 $. Dwie pierwsze mają taki sam wymiar - rząd macierzy $ A $, a wymiar trzeciej jest różnicą $ n $ i rzędu $ A $.

Przejdziemy teraz do systematycznego przedstawienia tych zagadnień.

Definicja (#) Przestrzenią kolumn macierzy $ A\in\M{m}{n}{\K} $ nazywamy podprzestrzeń $ K(A) $ przestrzeni $ \K^m $ rozpiętą przez kolumny $ A $.

Z definicji mnożenia macierzy przez wektor ( [link]) wynika, że przestrzeń kolumn $ K(A) $ macierzy $ A $ jest zbiorem wszystkich wektorów $ B $, dla których układ równań $ AX=B $ jest niesprzeczny.

Definicja (#) Rzędem $ \r A $ macierzy $ A $ nazywamy $ \dim K(A) $.

Z Uwagi [link] wynika, że $ \r A $ jest liczbą kolumn ze schodkami w macierzy $ A' $ otrzymanej w wyniku redukcji macierzy $ A $ do postaci schodkowej. Jeśli macierz $ \wt{A} $ powstaje z $ A $ w wyniku operacji elementarnych na wierszach, to $ K(\wt{A}\,) $ różni się na ogół od $ K(A) $, ale $ \r \wt{A} =\r A $, bo $ \wt{A} $ i $ A $ można zredukować do tej samej macierzy w postaci schodkowej.

Definicja (#) Przestrzenią zerową macierzy $ A $ nazywamy podprzestrzeń $ N(A) $ przestrzeni $ \K^n $ złożoną z rozwiązań jednorodnego układu równań $ AX=\0 $.

Następne twierdzenie opisuje rozwiązania układu $ AX=B $ w terminach zdefiniowanych wyżej pojęć.

Twierdzenie (#)(Kroneckera - Capelliego) Niech $ A\in\M{m}{n}{\K} $ i $ B\in\K^m $. Układ równań $ AX=B $ jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy $ \r A=\r [A|B] $. Jeśli $ X_\ast $ jest rozwiązaniem tego układu, to zbiór wszystkich rozwiązań ma postać $ X_\ast+N(A)=\set{X_\ast+Z:Z\in N(A)} $.
Dowód: Pierwsza część tezy wynika z faktu, że niesprzeczność $ AX=B $ jest równoważna warunkowi $ B\in K(A) $. Druga część oznacza, że $ X $ jest rozwiązaniem wtedy i tylko wtedy, gdy $ X-X_\ast\in N(A) $, a to wynika z równości $ A(X-X_\ast)=AX-AX_\ast=AX-B $ (zob.\ wzory w Uwadze [link]). □

Opiszemy teraz wymiar $ N(A) $ korzystając z faktu, że liczba zmiennych zależnych w rozwiązaniu ogólnym układu $ AX=\0 $ jest liczbą schodków macierzy $ A' $ otrzymanej w wyniku redukcji $ A $ do postaci schodkowej.

Twierdzenie (#) Dla macierzy $ A\in\M{m}{n}{\K} $ \ $ \dim N(A)=n-\r A $.
Dowód: Niech $ p=n-\r A $ będzie liczbą zmiennych niezależnych układu $ AX=\0 $. Zgodnie z Uwagą [link] każde rozwiązanie tego układu jest wyznaczone przez wartości zmiennych niezależnych $ t_1,\ldots,t_p $ i ma postać $ X=t_1X_1+\ldots+t_pX_p $. Z Uwagi [link] wynika, że układ $ (X_1,\ldots,X_p) $ jest bazą $ N(A) $. □

Podprzestrzeń $ V $ przestrzeni $ \K^n $ mająca bazę $ (A_1,\ldots,A_r) $ jest przestrzenią kolumn macierzy $ A=[A_1,\ldots,A_r]\in\M{n}{r}{\K} $. Pokażemy, że $ V $ jest również przestrzenią zerową pewnej macierzy z $ \M{{n-r}}{n}{\K} $.

Twierdzenie (#) Jeśli $ V\subset\K^n $, $ \dim V=r $, to $ V $ jest przestrzenią zerową pewnej macierzy \mbox{$ C\in\M{{n-r}}{n}{\K} $.}
Dowód: Niech $ A\in\M{n}{r}{\K} $ będzie macierzą, której kolumny są bazą $ V $, $ V=K(A) $. Wektor $ Y\in \K^n $ jest w $ V $ wtedy i tylko wtedy, gdy układ równań $ AX=Y $ jest niesprzeczny, a więc gdy po redukcji macierzy $ [A|Y] $ do postaci schodkowej otrzymana macierz $ [A'|Y'] $ nie ma schodka w ostatniej kolumnie. Ponieważ $ \r A = \dim V=r $, to oznacza, że współrzędne $ Y' $ o indeksach $ \geq r+1 $ są zerami.

Wektor $ Y\in\K^n $ jest jedynym rozwiązaniem układu równań $ IX=Y $ o macierzy $ I=[\ep_1,\ldots,\ep_n]\in\M{n}{n}{\K} $, zob.\ Przykład [link] (a).

Wektory $ Y\in V $ można opisać następująco. Niech $ I' $ będzie macierzą otrzymaną z macierzy $ I $ przez prowadzenie na niej operacji elementarnych redukujących $ A $ do $ A' $ i niech $ C\in\M{{n-r}}{n}{\K} $ będzie macierzą złożoną z ostatnich $ n-r $ wierszy macierzy $ I' $. Jedynym rozwiązaniem układu równań $ I'X=Y' $ jest $ Y $, bo ten układ jest równoważny układowi $ IX=Y $, a więc $ Y\in V $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ I'Y $ ma zera na ostatnich $ n-r $ miejscach, tzn.\ gdy $ CY=\0 $. Zatem $ V=N(C) $. □

W praktyce macierz $ C $ układu równań opisującego przestrzeń $ K(A)\subset \K^n $ wymiaru $ r $ wyznacza się redukując macierz $ [A|I] $ do macierzy $ [A'|I'] $ takiej, że $ A' $ jest w postaci schodkowej ($ C $ jest złożona z ostatnich $ n-r $ wierszy macierzy $ I' $).

Wiersze macierzy $ A\in\M{m}{n}{\K} $ należą do przestrzeni liniowej macierzy jednowierszowych $ \M{1}{n}{\K} $, którą będziemy oznaczać przez $ \K_n $.

Definicja Przestrzenią wierszy macierzy $ A\in\M{m}{n}{\K} $ nazywamy podprzestrzeń $ W(A) $ przestrzeni $ \K_n $ rozpiętą przez wiersze $ A $.
Twierdzenie (#) Dla macierzy $ A\in\M{m}{n}{\K} $ \ $ \dim W(A)=\dim K(A) $.
Dowód: 0peracje elementarne na wierszach nie zmieniają przestrzeni wierszy. Jest to oczywiste dla operacji typu (II) i (III). Jeśli $ \widetilde{A} $ powstaje z $ A\in\M{m}{n}{\K} $ w wyniku zastosowania operacji (I)$ _{a(i)+(k)} $, to oczywiście $ W(\widetilde{A})\subset W(A) $. Równość wynika z faktu, że operacja (I)$ _{(-a)(i)+(k)} $ prowadzi od $ \widetilde{A} $ do $ A $.

Wystarczy teraz pokazać, ze dla macierzy $ A' $ w postaci schodkowej $ \dim W(A') $ jest równy liczbie schodków tej macierzy. Istotnie, $ W(A') $ jest rozpinana przez swoje niezerowe wiersze $ (w_1',\ldots,w_r') $, które są liniowo niezależne, bo po zmianie kolejności na $ (w_r',\ldots,w_2',w_1') $ spełniają warunek ($ iii $) Twierdzenia [link]. □