Sprzężenie endomorfizmu przestrzeni euklidesowej

W tej części opiszemy kanoniczny izomorfizm przestrzeni euklidesowej z przestrzenią sprzężoną i wyjaśnimy związek operacji sprzężenia endomorfizmu opisanej w Definicji [link] z pojęciem endomorfizmu samosprzężonego przestrzeni euklidesowej.

Niech $ (V,\is{\ }{\,}) $ będzie liniową przestrzenią euklidesową wymiaru $ n $. Każdemu wektorowi $ \al\in V $ przyporządkujmy funkcjonał $ f_\al\in V^\ast $ określony wzorem

\[ f_\al(\ga)=\is{\ga}{\al}. \]

Przekształcenie $ \al\to f_\al $ jest liniowe i jeśli $ \al\neq\0 $, to $ f_\al\neq\0 $ (w $ V^\ast $), bo $ f_\al(\al)=||\al||^2\neq 0 $, a więc to przyporządkowanie jest izomorfizmem $ V $ na $ V^\ast $. Ten kanoniczny izomorfizm pozwala utożsamiać $ V $ z $ V^\ast $, przy ustalonym iloczynie skalarnym w $ V $.

Zauważmy, że jeśli $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ jest bazą ortonormalną w $ V $, to układ $ (f_{\al_1},\ldots,f_{\al_n}) $ jest bazą dualną do niej w $ V^\ast $, bo $ f_{\al_i}(\al_j)=\is{\al_i}{\al_j} $.

Niech $ \vp:V\to V $ będzie endomorfizmem i niech $ \vp^\ast:V^\ast\to V^\ast $ będzie endomorfizmem sprzężonym określonym w [link]. Utożsamienie $ V^\ast $ z $ V $ pozwala interpretować $ \vp^\ast $ jako endomorfizm $ \vp^\ast:V\to V $ (oznaczany tak samo jak endomorfizm na $ V^\ast $) taki, że dla $ \al\in V $ mamy (w $ V^\ast $)

$$f_{\vp^\ast(\al)}=\vp^\ast(f_\al),$$

gdzie po prawej stronie równości występuje endomorfizm $ \vp^\ast:V^\ast\to V^\ast $, a po lewej jego odpowiednik $ \vp^\ast:\nolinebreak V\to\nolinebreak V $. Z \nolinebreak (1) obliczamy wartość funkcjonału $ f_{\vp^\ast(\al)} $ na wektorze $ \ga\in V $ jako $ f_{\vp^\ast(\al)}(\ga)=\is{\ga}{\vp^\ast(\al)} $, a z [link], prawa strona równości ma na $ \ga $ wartość $ \vp^\ast(f_\al)(\ga)=f_\al(\vp(\ga))=\is{\vp(\ga)}{\al} $.

Wykorzystując izomorfizm kanoniczny otrzymaliśmy więc endomorfizm $ \vp^\ast:V\to V $ taki, że

\[ \is{\ga}{\vp^\ast(\al)}=\is{\vp(\ga)}{\al}. \]

Endomorfizm $ \vp^\ast:V\to V $ opisany formułą (2) nazywamy endomorfizmem sprzężonym do $ \vp $ ze względu na iloczyn skalarny $ \is{\ }{\,} $.

W szczególności, samosprzężoność $ \vp $ oznacza, że $ \vp^\ast=\vp $, a warunek $ \vp^\ast=\vp^{-1} $ określa izometrie liniowe.