Struktura afiniczna przestrzeni współrzędnych

Struktura afiniczna przestrzeni $ \K^n $ związana jest z warstwami - przesunięciami podprzestrzeni liniowych tej przestrzeni oraz przekształceniami afinicznymi - złożeniami endomorfizmów $ \K^n $ z przesunięciami.

O ile wektor zerowy w $ \K^n $ pełni wyróżnioną rolę względem klasy przekształceń liniowych, $ \K^n $ jest przestrzenią jednorodną ze względu na przekształcenia afiniczne - klasa takich przekształceń nie wyróżnia żadnego elementu $ \K^n $.

Definicja (#) Warstwą podprzestrzeni $ W\subset\K^n $ przechodzącą przez wektor $ X_0\in\K^n $ nazywamy zbiór $ X_0+W=\set{X_0+Z:Z\in W}\subset \K^n $.

Jeśli $ X_0\not\in W $, to warstwa $ X_0+W $ nie jest podprzestrzenią liniową $ \K^n $, bo $ \0\not\in X_0+W $.

W Twierdzeniu [link] pokazaliśmy, że zbiór rozwiązań niesprzecznego układu równań $ AX=B $, gdzie $ A\in\nolinebreak\M{m}{n}{\K} $, $ B\in\K^m $, jest warstwą $ X_\ast+N(A) $ podprzestrzeni $ N(A) $ rozwiązań jednorodnego układu $ AX=\0 $ przechodzącą przez (dowolne) rozwiązanie $ X_\ast $ układu $ AX=B $.

Zauważmy też, że dla macierzy $ A\in\nolinebreak\M{m}{n}{\K} $ warstwa $ X_0+N(A)\in\K^n $ jest zbiorem rozwiązań układu równań $ AX=B $, gdzie $ B=AX_0 $. Z Twierdzenia [link] wynika więc, że każda warstwa w $ \K^n $ jest zbiorem rozwiązań pewnego niesprzecznego układu równań liniowych.

Zbiór $ R $ rozwiązań niesprzecznego układu równań liniowych $ AX=B $ wyznacza zbiór $ \set{Y-X:X,Y\in R} $ rozwiązań układu jednorodnego, więc każda warstwa $ R $ jednoznacznie wyznacza podprzestrzeń $ W $ taką, że $ R=X_\ast+W $ dla dowolnego $ X_\ast\in R $. Wymiar $ W $ nazywamy wymiarem warstwy $ R $. Warstwy wymiaru \nolinebreak $ 1 $ nazywamy prostymi, a warstwy wymiaru $ n-1 $, hiperpłaszczyznami w $ \K^n $.

Definicja (#) Mówimy, że przekształcenie $ f:\K^n\to\K^m $ jest afiniczne, jeśli $ f(X)=AX+B $ dla $ A\in\M{m}{n}{\K} $, $ B=f(\0)\in\K^m $. Przekształcenie afiniczne $ f $ wyznacza przekształcenie liniowe $ \vp:\K^n\to\K^m $ dane wzorem $ \vp(X)=f(X)-f(\0)=AX $, które nazywamy częścią liniową $ f $ i \nolinebreak oznaczamy przez $ \p{f} $. Przekształcenie afiniczne $ f:\K^n\to\K^n $ nazywamy izomorfizmem afinicznym $ \K^n $, jeśli macierz $ A $ jest odwracalna.
Uwaga (#) Niech $ f(X)=AX+B $ będzie przekształceniem afinicznym $ \K^n $ w $ \K^m $.

  • [(a)] Dla dowolnego $ X\in\K^n $

    $ (\ast) $ $ f(X+Z)=f(X)+\p{f}(Z) $ dla $ Z\in \K^n $.

    Istotnie, $ f(X+Z)=A(X+Z)+B=AX+AZ+B=f(X)+AZ $.

  • [(b)] Jeśli $ m=n $ i $ f $ jest izomorfizmem afinicznym $ \K^n $, to $ f $ ma przekształcenie odwrotne, które też jest izomorfizmem afinicznym $ \K^n $, bo z $ Y=AX+B $ mamy $ f^{-1}(Y)=A^{-1}(Y-B)=A^{-1}Y+A^{-1}(-B) $.
  • [(c)] Złożenie przekształcenia afinicznego $ f $ z przekształceniem afinicznym $ g:\K^m\to\K^l $ jest przekształceniem afinicznym $ g\circ f:\K^n\to\K^l $, bo dla $ f(X)=AX+B $ i $ g(Y)=CY+D $ złożenie $ g\circ f $ jest dane wzorem $ g\circ f(X)=C(AX+B)+D=(CA)X+(CB+D) $.

Odnotujmy na koniec, że przekształcenia afiniczne $ f:\K^n\to\K^m $ przekształcają warstwy w $ \K^n $ na \nolinebreak warstwy w $ \K^m $, zob.\ $ (\ast) $ w Uwadze [link].