Suma prosta podprzestrzeni

W klasie podprzestrzeni liniowych ustalonej przestrzeni liniowej są dwie naturalne operacje: przecięcia oraz sumy algebraicznej. Podamy pewne użyteczne fakty dotyczące tych operacji.

Uwaga (#) Jeśli $ V_1,V_2 $ są podprzestrzeniami przestrzeni liniowej $ V $ to część wspólna $ V_1\cap V_2=\set{\al: \al\in V_1 \mbox{ i }\al\in V_2} $ i $ V_1+V_2 = \set{\al_1+\al_2:\al_1\in V_1, \al_2\in V_2} $ są podprzestrzeniami $ V $.
Definicja (#) Podprzestrzeń $ V_1+V_2 $ przestrzeni $ V $ nazywamy sumą algebraiczną podprzestrzeni $ V_1,V_2 $.
Definicja (#) Sumę algebraiczną $ V_1+V_2 $ nazywamy sumą prostą jeśli dla dowolnie wybranych $ \al_j\in V_j $ z $ \al_1+\al_2=\0 $ wynika, że $ \al_1=\al_2=\0 $. Sumę prostą $ V_1+V_2 $ oznaczamy przez $ V_1\oplus V_2 $.
Uwaga Suma $ V_1+V_2 $ jest sumą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor $ \al\in V_1+V_2 $ daje się przedstawić jako suma $ \al=\al_1+\al_2 $, gdzie $ \al_j\in V_j $, na dokładnie jeden sposób (bo z $ \al=\be_1+\be_2=\ga_1+\ga_2 $ wynika, że $ (\be_1-\ga_1)+(\be_2-\ga_2)=\0 $). Wektory $ \al_j $ nazywamy składowymi wektora $ \al\in V_1\oplus V_2 $.
Twierdzenie (#) Dla $ V_1,V_2\subset V $, \ $ V_1+V_2=V_1\oplus V_2 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ V_1\cap V_2=\set{\0} $.
Dowód: Teza wynika z faktu, że $ \0=\al_1+\al_2\in V_1+V_2 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \al_2=-\al_1\in V_1\cap V_2 $
Twierdzenie (#) Jeśli układ $ \A_j $ jest bazą przestrzeni $ V_j\subset V $ dla $ j=1,2 $ i układ $ \A=(\A_1,\A_2) $ powstaje przez dołączenie do $ \A_1 $ układu $ \A_2 $, to układ $ \A $ jest bazą $ V_1+V_2 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ V_1+V_2=V_1\oplus V_2 $.
Dowód: Układ $ \A $ oczywiście rozpina $ V_1+V_2 $. Każdy wektor $ \al_j\in V_j $ daje się jednoznacznie przedstawić jako kombinacja wektorów bazy $ \A_j $, zob.\ Uwaga [link]. Jednoznaczność rozkładu wektora $ \0 $ na składowe $ \al_j\in V_j $ jest więc równoważna z jednoznacznością zapisu $ \0 $ jako kombinacji wektorów układu $ \A $. □
Stwierdzenie (#) $ V_1+V_2=V_1\oplus V_2 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \dim V_1+\dim V_2=\dim(V_1+V_2) $.

Ważną własnością przestrzeni liniowych jest fakt, że każdą podprzestrzeń przestrzeni liniowej można uzupełnić do sumy prostej, tzn.\

Stwierdzenie (#) Dla dowolnej podprzestrzeni $ W $ przestrzeni liniowej $ V $ istnieje podprzestrzeń $ U\subset V $ taka, że $ W\oplus U=V $.

Wniosek jest natychmiastową konsekwencją Twierdzenia [link] i twierdzenia o rozszerzaniu dowolnego układu liniowo niezależnego do bazy (zob.\ [link]).

Wyprowadzimy stąd następującą formułę Grassmana.

Twierdzenie (#) Jeśli $ V_1,V_2 $ są podprzestrzeniami przestrzeni liniowej $ V $, to

$$\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2 - \dim(V_1\cap V_2).$$
Dowód: Połóżmy $ W=V_1\cap V_2 $ i niech $ U $ będzie podprzestrzenią $ V_2 $ taką, że $ V_2=W\oplus U $ ($ U=V_2 $ jeśli $ W=\set{\0} $). Zauważmy, że $ V_1+V_2=V_1+U $, bo dla $ \al_1+\al_2\in V_1+V_2 $ wektor $ \al_2=\be+\ga\in W\oplus U $, więc $ \al_1+\al_2=\al_1+(\be+\ga)=(\al_1+\be)+\ga\in V_1+U $.

Z $ U\subset V_2 $ mamy $ V_1\cap U=V_1\cap V_2\cap U=W\cap U=\set{\0} $, więc $ V_1+W=V_1\oplus U $ z Twierdzenia [link]. Z Wniosku [link] dostajemy $ \dim (V_1+V_2)=\dim (V_1+U)=\dim V_1+\dim U=\dim V_1+\dim V_2-\dim W $. □